Chebyshev多項式について

よく知られた三角関数の直交性
\begin{align*} \int_0^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)\,dx&=\frac{\pi}2\delta_{n,m}\\ \int_0^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)\,dx&=\frac{\pi}2(1+\delta_{n,0})\delta_{n,m} \end{align*}
において, $x\mapsto \arccos x$と変数変換すると,
\begin{align*} \int_{-1}^1\sin(n\arccos x)\sin(m\arccos x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\frac{\pi}2\delta_{n,m}\\ \int_{-1}^1\cos(n\arccos x)\cos(m\arccos x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\frac{\pi}2(1+\delta_{n,0})\delta_{n,m} \end{align*}
が得られる. $n$倍角の公式によれば, $\cos nx$は$\cos x$の$n$次多項式で表され, $\frac{\sin(n+1)x}{\sin x}$も$\cos x$の$n$次多項式で表される. よって,
\begin{align*} T_n(\cos x)&=\cos nx\\ U_n(\cos x)&=\frac{\sin(n+1)x}{\sin x} \end{align*}
となるような$n$次多項式がある. $T_n,U_n$をそれぞれ第1種, 第2種のChebyshev多項式という. 先ほどの直交性
\begin{align*} \int_{-1}^1\sin(n\arccos x)\sin(m\arccos x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\pi\delta_{n,m}\\ \int_{-1}^1\cos(n\arccos x)\cos(m\arccos x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\pi\delta_{n,m} \end{align*}
をChebyshev多項式を用いて書き直すと,
\begin{align*} \int_{-1}^1U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx&=\frac{\pi}2\delta_{n,m}\\ \int_{-1}^1T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}&=\frac{\pi}2(1+\delta_{n,0})\delta_{n,m} \end{align*}
となるので, Chebyshev多項式は区間$(-1,1)$でそれぞれ重み関数$\sqrt{1-x^2},\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$における直交多項式になっている. 直交性は第2種の方が$n=0$の場合分けが不要で綺麗な形をしており, 積和の公式から
\begin{align*} \cos nx&=\frac 12\left(\frac{\sin(n+1)x}{\sin x}-\frac{\sin(n-1)x}{\sin x}\right) \end{align*}
より, $T_n(x)=\frac 12(U_n(x)-U_{n-2}(x))$と第1種の方を第2種で簡単に表すことができるので, ここからは第2種の方だけを考えることにする.
\begin{align*} \sigma_n(x):=U_{2n}(\sqrt x) \end{align*}
とすると, $U_{2n}(x)$は偶関数だから, これは区間$(0,1)$における直交多項式となり, その直交性は
\begin{align*} \int_0^1\sigma_n(x)\sigma_m(x)\sqrt{\frac{1-x}{x}}\,dx&=\frac{\pi}2\delta_{n,m} \end{align*}
で表される. これは重み関数$\sqrt{\frac{1-x}x}$の直交多項式だから, $(0,1)$における重み関数$t^{a-1}(1-t)^{b-1}$に関するJacobi多項式を
\begin{align*} \rho_n^{(a,b)}(x)&:=(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+b+n-1)_k}{k!(a)_k}x^k \end{align*}
とすると,
\begin{align*} \sigma_n(x)=C\rho_n^{\left(\frac 12,\frac 32\right)}(x) \end{align*}
となるような定数$C$がある. $x=0$とすると, $C=(-1)^n\frac{n!}{(\frac 12)_n}$であることが分かる. よって, $\sigma_n(x)$は
\begin{align*} \sigma_n(x)&=\sum_{k=0}^n\frac{(-n,n+1)_k}{k!\left(\frac 12\right)_k}x^k \end{align*}
という表示を持つことが分かる. 次に母関数表示について調べてみる.
\begin{align*} \sum_{0\leq n}t^n \sin nx&=\frac 1{2i}\sum_{0\leq n}((te^{ix})^n-(te^{-ix})^n)\\ &=\frac 1{2i}\left(\frac 1{1-te^{ix}}-\frac 1{1-te^{-ix}}\right)\\ &=\frac{t\sin x}{1-2t\cos x+t^2} \end{align*}
であるから,
\begin{align*} \sum_{0\leq n}t^n \frac{\sin (n+1)x}{\sin x}&=\frac{1}{1-2t\cos x+t^2} \end{align*}
つまり,
\begin{align*} \sum_{0\leq n}t^nU_n(x)&=\frac{1}{1-2tx+t^2} \end{align*}
を得る. よって,
\begin{align*} \sum_{0\leq n}t^{n}\sigma_n(x)&=\frac 12\left(\frac{1}{1-2\sqrt{tx}+t}+\frac{1}{1+2\sqrt{tx}+t}\right)\\ &=\frac{1+t}{(1+t)^2-4tx}\\ &=\frac 1{1+t}\sum_{0\leq n}\left(\frac{4t}{(1+t)^2}\right)^nx^n \end{align*}
という関係があることが分かる. $\beta_n:=\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}$として, 第1種完全楕円積分のLanden変換
\begin{align*} \sum_{0\leq n}\beta_n^2t^{2n}&=\frac 1{1+t}\sum_{0\leq n}\beta_n^2\left(\frac{4t}{(1+t)^2}\right)^n \end{align*}
から,
\begin{align*} g(t)=\frac 1{1+t}f\left(\frac{4t}{(1+t)^2}\right) \end{align*}
という$g$を$f$のLanden変換ということにして, べき級数とその係数となる数列を同一視することにすれば, $\sigma_n(x)$は$x^n$のLanden変換として解釈することができる.