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Chebyshev多項式について

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よく知られた三角関数の直交性
0πsin(nx)sin(mx)dx=π2δn,m0πcos(nx)cos(mx)dx=π2(1+δn,0)δn,m
において, xarccosxと変数変換すると,
11sin(narccosx)sin(marccosx)dx1x2=π2δn,m11cos(narccosx)cos(marccosx)dx1x2=π2(1+δn,0)δn,m
が得られる. n倍角の公式によれば, cosnxcosxn次多項式で表され, sin(n+1)xsinxcosxn次多項式で表される. よって,
Tn(cosx)=cosnxUn(cosx)=sin(n+1)xsinx
となるようなn次多項式がある. Tn,Unをそれぞれ第1種, 第2種のChebyshev多項式という. 先ほどの直交性
11sin(narccosx)sin(marccosx)dx1x2=πδn,m11cos(narccosx)cos(marccosx)dx1x2=πδn,m
をChebyshev多項式を用いて書き直すと,
11Un(x)Um(x)1x2dx=π2δn,m11Tn(x)Tm(x)dx1x2=π2(1+δn,0)δn,m
となるので, Chebyshev多項式は区間(1,1)でそれぞれ重み関数1x2,11x2における直交多項式になっている. 直交性は第2種の方がn=0の場合分けが不要で綺麗な形をしており, 積和の公式から
cosnx=12(sin(n+1)xsinxsin(n1)xsinx)
より, Tn(x)=12(Un(x)Un2(x))と第1種の方を第2種で簡単に表すことができるので, ここからは第2種の方だけを考えることにする.
σn(x):=U2n(x)
とすると, U2n(x)は偶関数だから, これは区間(0,1)における直交多項式となり, その直交性は
01σn(x)σm(x)1xxdx=π2δn,m
で表される. これは重み関数1xxの直交多項式だから, (0,1)における重み関数ta1(1t)b1に関するJacobi多項式を
ρn(a,b)(x):=(1)n(a)nn!k=0n(n,a+b+n1)kk!(a)kxk
とすると,
σn(x)=Cρn(12,32)(x)
となるような定数Cがある. x=0とすると, C=(1)nn!(12)nであることが分かる. よって, σn(x)
σn(x)=k=0n(n,n+1)kk!(12)kxk
という表示を持つことが分かる. 次に母関数表示について調べてみる.
0ntnsinnx=12i0n((teix)n(teix)n)=12i(11teix11teix)=tsinx12tcosx+t2
であるから,
0ntnsin(n+1)xsinx=112tcosx+t2
つまり,
0ntnUn(x)=112tx+t2
を得る. よって,
0ntnσn(x)=12(112tx+t+11+2tx+t)=1+t(1+t)24tx=11+t0n(4t(1+t)2)nxn
という関係があることが分かる. βn:=(12)nn!として, 第1種完全楕円積分のLanden変換
0nβn2t2n=11+t0nβn2(4t(1+t)2)n
から,
g(t)=11+tf(4t(1+t)2)
というgfのLanden変換ということにして, べき級数とその係数となる数列を同一視することにすれば, σn(x)xnのLanden変換として解釈することができる.

投稿日:2024319
更新日:2024319
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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