お久しぶりです.春合宿の問題を漁っていたら計算がブッ刺さるむずめの幾何があったのでご紹介します.
鋭角三角形 があり, から辺 に下ろした垂線の足を とする. 直線 BC 上にない点 を, の二等分線 k と の二等分線 が線分 上 (端点を除く) で 交わるようにとる. と直線 の交点を , と直線 の交点を , 直線 と直線 の交点を とする. このとき, ある点 があり, のとり方によらず は直線 上にある ことを示せ.
画像の名前
まず気づくこと
の交点をとするとこれは三角形の内心なので,はの二等分線です.また,が成り立つので,はを焦点とし,を通る双曲線上にあります.この双曲線をとしましょう.
上のつの事実と,多少の二次曲線についての知識によりはのでの接線であることがわかります.
次に気づくこと
かに関わらず,(すなわちは調和点列)が成り立ちます.
以上より,次のお気持ちになります.
ということで次のことを示せば良いです.
双曲線上の点と,定点がある.でのの接線との交点をとし,を満たす線分上の点をとる.の位置に関わらず直線はある定点を通ることを示せ.
解いてみよう
の両辺をで微分することでを得る.したがってなのでに注意してについて解くと,となる.
とすると,より,を得る.
に先ほど求めたを代入して整理するととなる.(途中でを使っているので注意)
これはに関わらず定点を通るので示された.
式が与えられている曲線の接線は扱いやすいので結構刺さります.を二等分線から接線に捉え直した時点で座標計算に分があると判断します.段落の式整理は少し大変ですが,その途中に両辺をで割る過程があり,そのおかげで得られる直線の式はについての次式となりました.勝ちを確信します.をうまく調整すればを消せます.
以上がISL2022G6の解説になります.読んでいただきありがとうございました.