ジュニア算数オリンピックの問題に挑戦

⊿ABEは、辺AB＝辺AEであることから、二等辺三角形であることが分かり、辺ABと辺AEの間の角である∠BAEが⊿ABEの頂角に当たります。そのため、残りの∠ABEと∠AEBが底角に当たることになり、その関係は

∠ABE＝∠AEB

です。

四角形BEDFは、辺BF＝辺DEであり、辺BFと辺DEは平行です。
さらに、

∠ABE＝□°

∠BED＝∠AEB＋106°
＝□°＋106°

であり、隣り合う角の大きさが異なるため、四角形BEDFは平行四辺形であることが分かります。平行四辺形は向かい合う辺の長さが等しく、かつ向かい合う角の大きさが等しいため、

辺BE＝辺DF

であり、

∠EDF＝∠EBF
＝∠ABE
＝∠AEB
＝□°

∠BED＝□°＋106°
＝∠BFD

という関係であることが分かります。
そのため、平行四辺形BEDFの内角の和は、

(□°＋106°)×2＋(□°×2)＝□°×2＋212°＋□°×2
＝□°×4＋212°

という構成であり、□°は、

(360°－212°)÷4＝148÷4
＝37°

であることが分かります(図3)。

一度、補助線を引く前の状態に戻ります。
そこから、

∠ADE＝180°－(106°＋53°)
＝180°－159°
＝21°

であることと、⊿ADEと⊿CDEで辺DEが共通であることに注目し、辺DEを軸に⊿CDEを折り返します。折り返してできた三角形を⊿DEGとします(図4)。

次に、AとGを結んで辺AGとなるように補助線を引きます(図5)。

⊿CDEは辺DCと辺DEが等しい二等辺三角形であり、⊿DEGは辺DEを軸に、⊿CDEを折り返した図形です。辺DGは辺DCに対応し、辺DEは共通、辺EGは辺CEに対応します。そのため、

辺DG＝辺DC＝辺DE

辺EG＝辺CE

という関係になります。

∠EDG＝∠CDE
＝42°

であり、

∠ADG＝∠EDG－21°
＝42°－21°
＝21°

です。
⊿ADGと⊿ADEは、辺AD共通で、辺DG＝辺DEです。
さらに、

∠ADG＝21°＝∠ADE

であるため、⊿ADGと⊿ADEは合同な三角形であることが分かります。
⊿ADGのうち、辺ADは共通で、辺DGは辺DEに対応するため、残りの辺AGは辺AEに対応することになります。そのため、

辺AG＝辺AE

という関係になります。

⊿AEGは、辺AGと辺AEが等しい二等辺三角形であり、その間の角である∠EAGが頂角に当たります。

∠EAG＝∠DAG＋∠DAE

であり、

∠DAE＝53°＝∠DAG

なので、

∠EAG＝53°＋53°
＝106°

となります。

辺AG＝辺AE＝辺AB

であり、

∠BAE＝180°－37°×2
＝180°－74°
＝106°
＝∠EAG

であるため、⊿ABEと⊿AEGは合同な二等辺三角形であることが分かります。
⊿ABEのうち、辺AEは共通で、辺AB＝辺AGで辺ABは辺AGに対応するため、残りの辺BEは辺EGに対応することになります。そのため、

辺BE＝辺EG＝辺CE

という関係になります。

⊿EBCは、辺BEと辺CEが等しい二等辺三角形であることが分かります。
辺BEと辺CEの間の角である∠BECが頂角に当たり、その大きさは、

360°－(∠AEB＋∠AED＋∠CED)
＝(37°＋106°＋{180°－42°}÷2)
＝360°－(37°＋106°＋138°÷2)
＝360°－(37°＋106°＋69°)
＝360°－212°
＝148°

です。
∠EBCと∠ECBは⊿EBCの底角に当たるため、∠EBC＝∠ECBです。その大きさは、

∠EBC＝∠ECB
＝(180°－148°)÷2
＝32°÷2
＝16°