高校数学の二項係数って本当に自然数なの？

$n-1$ 以下のすべての自然数 $r$ に対して，
$$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}{}_{n-1}{C}_{r-1}+{}_{n-1}{C}_r& ={\displaystyle \frac{(n-1)!}{(r-1)!\{(n-1)-(r-1)\}!}}+{\displaystyle \frac{(n-1)!}{r!\{(n-1)-r\}!}}\\ & ={\displaystyle \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}}+{\displaystyle \frac{(n-1)!}{r!\{(n-1)-r\}!}}\\ & ={\displaystyle \frac{(n-1)!\cdot r}{r!(n-r)!}}+{\displaystyle \frac{(n-1)!\cdot (n-r)}{r!(n-r)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{(n-1)!\cdot \{r+(n-r)\}}{r!(n-r)!}}={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}={}_n{C}_r\mathbf{.}\end{array}\end{array}$$

数学的帰納法により示す。

1. まず，
   $$\begin{array}{rl}& \begin{array}{r}\sum _{k=0}^0{}_{r+k}{C}_r={}_r{C}_r=1={}_{r+1}{C}_{r+1}={}_{r+0+1}{C}_{r+1}\end{array}\end{array}$$
   となるので，$\left[\mathsf{\text{A}}\right]$ は $p=0$ のとき成立する。
   $$
2. 次に，$0$ 以上のある整数 $d$ について，$\left[\mathsf{\text{A}}\right]$ が $p=d$ のとき成立すると仮定する。このとき，
   $$\begin{array}{rl}& \begin{array}{r}\sum _{k=0}^d{}_{r+k}{C}_r={}_{r+d+1}{C}_{r+1}\end{array}\end{array}$$
   であるので，公式 1 より，
   $$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{d+1}{}_{r+k}{C}_r& =\sum _{k=0}^d{}_{r+k}{C}_r+{}_{r+d+1}{C}_r={}_{r+d+1}{C}_{r+1}+{}_{r+d+1}{C}_r\\ & ={}_{(r+d+1)+1}{C}_{r+1}={}_{r+(d+1)+1}{C}_{r+1}\mathbf{.}\end{array}\end{array}$$
   ゆえに，$\left[\mathsf{\text{A}}\right]$ は $p=d+1$ のときもまた成立する。

よって，以上のことから，$0$ 以上のすべての整数 $p$ に対して $\left[\mathsf{\text{A}}\right]$ が成り立つ。

公式 2 を用いると，すべての自然数 $n$ と，$0$ 以上のすべての整数 $p$ に対して，
$$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}\sum _{k=1}^{n}k(k+1)\cdots (k+p)& =\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{(k+p)!}{(k-1)!}}=(p+1)!\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{(p+k)!}{(p+1)!(k-1)!}}\\ & =(p+1)!\sum _{k=1}^n{}_{p+k}{C}_{p+1}=(p+1)!\sum _{j=0}^{n-1}{}_{p+j+1}{C}_{p+1}\\ & =(p+1)!\times {}_{p+n+1}{C}_{p+2}=(p+1)!\cdot {\displaystyle \frac{(p+n+1)!}{(p+2)!(n-1)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{(p+n+1)(p+n)\cdots (n+1)n}{p+2}}\\ & ={\displaystyle \frac{n(n+1)\cdots (n+p+1)}{p+2}}\mathbf{.}\end{array}\end{array}$$

数学的帰納法により示す。

1. 公式 3 を用いると，すべての自然数 $n$ に対して，
   $$\begin{array}{rl}& \begin{array}{r}{\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)=\sum _{k=1}^{n}k\end{array}\end{array}$$
   となるので，
   $$\begin{array}{rl}& \begin{array}{r}n(n+1)=2!\times \sum _{k=1}^{n}k\mathbf{.}\end{array}\end{array}$$
   ゆえに，すべての自然数 $n$ に対して ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k}$ が自然数であることに注意すると，命題 $\left[\mathsf{\text{B}}\right]$ は $p=2$ の場合に成立する。
   $$
2. 次に，$2$ 以上のある整数 $d$ について，命題 $\left[\mathsf{\text{B}}\right]$ が $p=d$ のとき成立すると仮定する。このとき，すべての自然数 $k$ に対して，
   $$\begin{array}{}\text{(1)}& & \begin{array}{r}k(k+1)\cdots (k+d-1)=d!\times Q_{k,d}\left(Q_{k,d}\mathsf{\text{ は }}k\mathsf{\text{ と }}d\mathsf{\text{ により決まる自然数}}\right)\end{array}\end{array}$$
   と表される。ゆえに，すべての自然数 $n$ に対して，公式 3 および (1) を用いると，
   $$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{n(n+1)\cdots (n+d-1)(n+d)}{(d+1)!}}& ={\displaystyle \frac{1}{d!}}\times {\displaystyle \frac{n(n+1)\cdots (n+d-1)(n+d)}{d+1}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{d!}}\times \sum _{k=1}^{n}k(k+1)\cdots (k+d-1)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{d!}}\times \sum _{k=1}^{n}d!\times Q_{k,d}\\ & =\sum _{k=1}^n{Q}_{k,d}\end{array}\end{array}$$
   となるので，
   $$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}n(n+1)\cdots (n+d-1)(n+d)& =(d+1)!\times \sum _{k=1}^n{Q}_{k,d}\mathbf{.}\end{array}\end{array}$$
   よって，すべての自然数 $n$ に対して ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{Q}_{k,d}}$ が自然数であることに注意すると，命題 $\left[\mathsf{\text{B}}\right]$ は $p=d+1$ の場合もまた成立する。

したがって，以上のことから，$2$ 以上のすべての整数 $p$ に対して命題 $\left[\mathsf{\text{B}}\right]$ が成り立つ。

自然数 $n$ が与えられたとする。

1. ${}_n{C}_0=1$ となるので，${}_n{C}_0$ は自然数である。
2. $n$ 以下のすべての自然数 $r$ に対して，定理 1 より，
   $$\begin{array}{rl}& \begin{array}{r}n(n-1)\cdots (n-r+1)=r!\times Q_{n,r}\left(Q_{n,r}\mathsf{\text{ は }}n\mathsf{\text{ と }}r\mathsf{\text{ により決まる自然数}}\right)\end{array}\end{array}$$
   と表されるので，
   $$\begin{array}{rl}& \begin{array}{r}{}_n{C}_r={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}={\displaystyle \frac{n(n-1)\cdots (n-r+1)}{r!}}=Q_{n,r}\mathbf{.}\end{array}\end{array}$$
   ゆえに，$n$ 以下のすべての自然数 $r$ に対して ${}_n{C}_r$ は自然数である。

よって，以上のことから，$0$ 以上 $n$ 以下のすべての整数 $r$ に対して ${}_n{C}_r$ は自然数である。