サイコロのヨットとB.ストレートとフルハウスの確率

世界アソビ大全で有名になったあれです

5つのサイコロを振って、2回まで出目を残したり残さなかったりを出来る、ポーカーとダイスを合わせたようなゲーム、ヨット。
これの確率を色々出していきます。
因みにヨットの確率に関しては 先行研究 があります。

忙しい人向け

通常ヨット:${\displaystyle \frac{2783176}{60466176}}\approx 4.6029\mathrm{\%}$

Bストレート:$2,3,4,5$の目のうち3つ以上出ている状態で$1$または$6$を保存した場合、確率は最大になり、${\displaystyle \frac{20460492736}{78364164096}}\approx 26.11\mathrm{\%}$

フルハウス:点数を気にしなければ${\displaystyle \frac{3689896}{10077696}}\approx 36.61\mathrm{\%}$

$6$個サイコロのヨット:${\displaystyle \frac{267129016}{13060694016}}\approx 2.045\mathrm{\%}$

$7$個のサイコロのヨット:${\displaystyle \frac{710696596}{78364164096}}\approx 0.907\mathrm{\%}$

$8$個のサイコロのヨット:${\displaystyle \frac{67846952236}{16926659444736}}\approx 0.401\mathrm{\%}$

$9$個サイコロのヨット:${\displaystyle \frac{6433001382976}{3656158440062976}}\approx 0.176\mathrm{\%}$

ヨットの確率

ヨットとは、5つのサイコロ全ての出目が揃う役のことを指します。

レギュレーション

・サイコロは$1\sim 6$ですべて同じ${\displaystyle \frac{1}{6}}$の確率
・どんなにヨットを揃えるが絶望的な状況でもヨットを揃えるよう努める
・ヨットを揃えるのに最適な戦略で目を残す
・ノーペアなら全て振りなおす

計算

まず以下を定義します。

遷移確率を求めます。案外地味で長いので折りたたみで

$E$からの遷移確率

$D$からの遷移確率

$C$からの遷移確率

$C\to A:{\displaystyle \frac{1}{36}}$

$C\to B:{\displaystyle \frac{10}{36}}$

$C\to C:{\displaystyle \frac{25}{36}}$

$B$からの遷移確率

$B\to A:{\displaystyle \frac{1}{6}}$

$B\to B:{\displaystyle \frac{5}{6}}$

$A$からの遷移確率

$A\to A:1$

確率漸化式を立てる

遷移確率から、確率漸化式を立てる。
$$\begin{array}{rcl}{a}_{n+1}& =& a_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}{b}_n+{\displaystyle \frac{1}{36}}{c}_n+{\displaystyle \frac{1}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{1296}}{e}_n\\ b_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{5}{6}}{b}_n+{\displaystyle \frac{10}{36}}{c}_n+{\displaystyle \frac{15}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{25}{1296}}{e}_n\\ c_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{25}{36}}{c}_n+{\displaystyle \frac{80}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{250}{1296}}{e}_n\\ d_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{120}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{900}{1296}}{e}_n\\ e_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{120}{1296}}{e}_n\end{array}$$
$a_3$を求めればよいので、具体的に計算して求めましょう。

よって、ヨットの確率は${\displaystyle \frac{2783176}{60466176}}\approx 4.6029\mathrm{\%}$です。
頑張れば一般項も求められて、
$$a_n=1+{\displaystyle \frac{11}{1248}}{\left({\displaystyle \frac{20}{216}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{265}{78}}{\left({\displaystyle \frac{25}{36}}\right)}^n-{\displaystyle \frac{9}{8}}{\left({\displaystyle \frac{20}{36}}\right)}^n-{\displaystyle \frac{105}{32}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n$$
$$b_n=-{\displaystyle \frac{139}{1248}}{\left({\displaystyle \frac{20}{216}}\right)}^n-{\displaystyle \frac{265}{39}}{\left({\displaystyle \frac{25}{36}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{105}{32}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{29}{8}}{\left({\displaystyle \frac{20}{36}}\right)}^n$$
$$c_n={\displaystyle \frac{47}{78}}{\left({\displaystyle \frac{20}{36}}\right)}^n-4{\left({\displaystyle \frac{20}{36}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{265}{78}}{\left({\displaystyle \frac{25}{36}}\right)}^n$$
$$d_n={\displaystyle \frac{3}{2}}{\left({\displaystyle \frac{20}{36}}\right)}^n-{\displaystyle \frac{3}{2}}{\left({\displaystyle \frac{20}{216}}\right)}^n$$
$$e_n={\left({\displaystyle \frac{20}{216}}\right)}^n$$
となります。
このことから${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=1}$であることが分かります。揃えようとしているのでそうなります。

Bストレートの確率

同じようにしてBストレートの確率を求めたいのですが、ヨットの確率を求めるのと違うのは戦略が自明でないということです。
まずBストレートとは、5つの出目が$1,2,3,4,5$または$2,3,4,5,6$である役のことで、$2,3,4,5$は必須なので出たら残す一択なのですが、$1$または$6$が出たとき、今の出目がどれくらい揃っていれば残すべきかというのが明らかでないのです。そこで、5つの戦略を立てて、それぞれに対して確率を計算することで決着を付けます。
なお、必須の$2,3,4,5$の出目のことを$[\text{A組}]$、$1,6$の出目のことを$[\text{B}組]$と呼ぶことにします。

まず、出目の状態を次の$9$つの状態に分類します。
$a$:Bストレート
$b$:$[\text{A組}]$の中の4種類のみで構成された状態$(\text{e.g. 2,3,4,4,5})$
$c$:$[\text{A組}]$の中の3種類と$[\text{B組}]$で構成された状態$(\text{e.g. 1,3,4,5,6})$
$d$:$[\text{A組}]$の中の3種類のみで構成された状態$(\text{e.g. 3,3,4,4,5})$
$e$:$[\text{A組}]$の中の2種類と$[\text{B組}]$で構成された状態$(\text{e.g. 1,1,3,5,6})$
$f$:$[\text{A組}]$の中の2種類で構成された状態$(\text{e.g. 2,2,2,2,5})$
$g$:$[\text{A組}]$の中の1種類と$[\text{B組}]$で構成された状態$(\text{e.g. 1,1,3,3,3})$
$h$:$[\text{A組}]$の中の1種類で構成された状態$(\text{e.g. 2,2,2,2,2})$
$i$:全て$[\text{B組}]$で構成された状態$(\text{e.g. 1,1,1,1,6})$
この状態の中で、次の5つの戦略を考えます。
戦略1:すべての状態で$[\text{B組}]$を残す。
戦略2:状態$a,c,e,g$では$[\text{B組}]$を残す。
戦略3:状態$a,c,e$では$[\text{B組}]$を残す。
戦略4:状態$a,c$では$[\text{B組}]$を残す。
戦略5:状態$a$では$[\text{B組}]$を残す。
ではそれぞれで確率を求めます。

戦略1

戦略1では、全ての状態をそのまま保存するので、地道に求めます。
初期確率
$a_1={\displaystyle \frac{2\times 5!}{7776}}={\displaystyle \frac{240}{7776}}$

$b_1={\displaystyle \frac{4\times \frac{5!}{2!}}{7776}}={\displaystyle \frac{240}{7776}}$

$c_1={\displaystyle \frac{4\times 5!+4\times 4\times 2\times \frac{5!}{2!}}{7776}}={\displaystyle \frac{2400}{7776}}$

$d_1={\displaystyle \frac{4\times \frac{5!}{3!}\times 3+4\times \frac{5!}{2!2!}\times 3}{7776}}={\displaystyle \frac{600}{7776}}$

$e_1={\displaystyle \frac{3240}{7776}}(\text{導出が長いので割愛})$

$f_1={\displaystyle \frac{{}_4{\text{C}}_2\times (2^5-2)}{7776}}={\displaystyle \frac{180}{7776}}$

$g_1={\displaystyle \frac{4\cdot \sum _{k=1}^4{2}^k\cdot {}_5{\text{C}}_k}{7776}}={\displaystyle \frac{840}{7776}}$

$h_1={\displaystyle \frac{4}{7776}}$

$i_1={\displaystyle \frac{2^5}{7776}}={\displaystyle \frac{32}{7776}}$

そして確率漸化式を立てます。
$$\begin{array}{rcl}{a}_{n+1}& =& a_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}{c}_n+{\displaystyle \frac{1}{9}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{18}}{e}_n+{\displaystyle \frac{1}{18}}{f}_n+{\displaystyle \frac{1}{36}}{g}_n+{\displaystyle \frac{1}{27}}{h}_n+{\displaystyle \frac{1}{54}}{i}_n\\ b_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}{b}_n+{\displaystyle \frac{7}{36}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{12}}{f}_n+{\displaystyle \frac{5}{108}}{h}_n\\ c_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{5}{6}}{c}_n+{\displaystyle \frac{4}{9}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}_n+{\displaystyle \frac{7}{18}}{f}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{g}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{h}_n+{\displaystyle \frac{7}{27}}{i}_n\\ d_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}{d}_n+{\displaystyle \frac{19}{108}}{f}_n+{\displaystyle \frac{25}{216}}{h}_n\\ e_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{4}{9}}{e}_n+{\displaystyle \frac{7}{27}}{f}_n+{\displaystyle \frac{37}{72}}{g}_n+{\displaystyle \frac{10}{27}}{h}_n+{\displaystyle \frac{55}{108}}{i}_n\\ f_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{27}}{f}_n+{\displaystyle \frac{5}{144}}{h}_n\\ g_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{8}}{g}_n+{\displaystyle \frac{1}{81}}{h}_n+{\displaystyle \frac{65}{324}}{i}_n\\ h_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{1296}}{h}_n\\ i_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{81}}{i}_n\end{array}$$
$a_3={\displaystyle \frac{19520763840}{78364164096}}\approx 24.91\mathrm{\%}$

戦略2

戦略2では、状態$i$は、初期状態と同じであるとみなされるので初期確率は変わらず、遷移確率だけを初期状態と同じにします。つまり、
$$\begin{array}{rcl}{a}_{n+1}& =& a_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}{c}_n+{\displaystyle \frac{1}{9}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{18}}{e}_n+{\displaystyle \frac{1}{18}}{f}_n+{\displaystyle \frac{1}{36}}{g}_n+{\displaystyle \frac{1}{27}}{h}_n+{\displaystyle \frac{5}{162}}{i}_n\\ b_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}{b}_n+{\displaystyle \frac{7}{36}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{12}}{f}_n+{\displaystyle \frac{5}{108}}{h}_n+{\displaystyle \frac{5}{162}}{i}_n\\ c_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{5}{6}}{c}_n+{\displaystyle \frac{4}{9}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}_n+{\displaystyle \frac{7}{18}}{f}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{g}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{h}_n+{\displaystyle \frac{25}{81}}{i}_n\\ d_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}{d}_n+{\displaystyle \frac{19}{108}}{f}_n+{\displaystyle \frac{25}{216}}{h}_n+{\displaystyle \frac{25}{324}}{i}_n\\ e_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{4}{9}}{e}_n+{\displaystyle \frac{7}{27}}{f}_n+{\displaystyle \frac{37}{72}}{g}_n+{\displaystyle \frac{10}{27}}{h}_n+{\displaystyle \frac{5}{12}}{i}_n\\ f_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{27}}{f}_n+{\displaystyle \frac{5}{144}}{h}_n+{\displaystyle \frac{5}{216}}{i}_n\\ g_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{8}}{g}_n+{\displaystyle \frac{1}{81}}{h}_n+{\displaystyle \frac{35}{324}}{i}_n\\ h_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{1296}}{h}_n+{\displaystyle \frac{1}{1944}}{i}_n\\ i_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{243}}{i}_n\end{array}$$
$a_3={\displaystyle \frac{19531831696}{78364164096}}\approx 24.92\mathrm{\%}$

戦略3

戦略3では、状態$g$が状態$h$に帰着するので、
$h$の確率に$g$の確率をそのまま合体させれば良くて
初期確率は$h_1={\displaystyle \frac{844}{7776}}$となるのと$g$が消えること以外変わらない。
確率漸化式も同様に

$$\begin{array}{rcl}{a}_{n+1}& =& a_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}{c}_n+{\displaystyle \frac{1}{9}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{18}}{e}_n+{\displaystyle \frac{1}{18}}{f}_n+{\displaystyle \frac{1}{27}}{h}_n+{\displaystyle \frac{5}{162}}{i}_n\\ b_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}{b}_n+{\displaystyle \frac{7}{36}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{12}}{f}_n+{\displaystyle \frac{5}{108}}{h}_n+{\displaystyle \frac{5}{162}}{i}_n\\ c_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{5}{6}}{c}_n+{\displaystyle \frac{4}{9}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}_n+{\displaystyle \frac{7}{18}}{f}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{h}_n+{\displaystyle \frac{25}{81}}{i}_n\\ d_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}{d}_n+{\displaystyle \frac{19}{108}}{f}_n+{\displaystyle \frac{25}{216}}{h}_n+{\displaystyle \frac{25}{324}}{i}_n\\ e_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{4}{9}}{e}_n+{\displaystyle \frac{7}{27}}{f}_n+{\displaystyle \frac{10}{27}}{h}_n+{\displaystyle \frac{5}{12}}{i}_n\\ f_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{27}}{f}_n+{\displaystyle \frac{5}{144}}{h}_n+{\displaystyle \frac{5}{216}}{i}_n\\ h_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{16}}{h}_n+{\displaystyle \frac{211}{1944}}{i}_n\\ i_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{243}}{i}_n\end{array}$$
$a_3={\displaystyle \frac{19788646336}{78364164096}}\approx 25.25\mathrm{\%}$

戦略4

戦略4では戦略3での$e$が$f$に帰着されるので同じように
初期確率の変更:$f_1={\displaystyle \frac{3420}{7776}}$、$e$消滅
確率漸化式:
$$\begin{array}{rcl}{a}_{n+1}& =& a_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}{c}_n+{\displaystyle \frac{1}{9}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{18}}{f}_n+{\displaystyle \frac{1}{27}}{h}_n+{\displaystyle \frac{5}{162}}{i}_n\\ b_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}{b}_n+{\displaystyle \frac{7}{36}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{12}}{f}_n+{\displaystyle \frac{5}{108}}{h}_n+{\displaystyle \frac{5}{162}}{i}_n\\ c_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{5}{6}}{c}_n+{\displaystyle \frac{4}{9}}{d}_n+{\displaystyle \frac{7}{18}}{f}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{h}_n+{\displaystyle \frac{25}{81}}{i}_n\\ d_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}{d}_n+{\displaystyle \frac{19}{108}}{f}_n+{\displaystyle \frac{25}{216}}{h}_n+{\displaystyle \frac{25}{324}}{i}_n\\ f_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{8}{27}}{f}_n+{\displaystyle \frac{175}{432}}{h}_n+{\displaystyle \frac{855}{1944}}{i}_n\\ h_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{16}}{h}_n+{\displaystyle \frac{211}{1944}}{i}_n\\ i_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{243}}{i}_n\end{array}$$
$a_3={\displaystyle \frac{20460492736}{78364164096}}\approx 26.11\mathrm{\%}$

戦略5

今度は$c$を$d$に帰着させます。
初期確率の変更:$d_1={\displaystyle \frac{3000}{7776}}$、$c$消滅
確率漸化式:
$$\begin{array}{rcl}{a}_{n+1}& =& a_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_n+{\displaystyle \frac{1}{9}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{18}}{f}_n+{\displaystyle \frac{1}{27}}{h}_n+{\displaystyle \frac{5}{162}}{i}_n\\ b_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}{b}_n+{\displaystyle \frac{7}{36}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{12}}{f}_n+{\displaystyle \frac{5}{108}}{h}_n+{\displaystyle \frac{5}{162}}{i}_n\\ d_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{25}{36}}{d}_n+{\displaystyle \frac{61}{108}}{f}_n+{\displaystyle \frac{97}{216}}{h}_n+{\displaystyle \frac{125}{324}}{i}_n\\ f_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{8}{27}}{f}_n+{\displaystyle \frac{175}{432}}{h}_n+{\displaystyle \frac{855}{1944}}{i}_n\\ h_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{16}}{h}_n+{\displaystyle \frac{211}{1944}}{i}_n\\ i_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{1}{243}}{i}_n\end{array}$$
$a_3={\displaystyle \frac{18134480320}{78364164096}}\approx 23.14\mathrm{\%}$

結果

戦略4、つまり$[\text{A組}]$の目が3種類以上出てから$[\text{B組}]$の目を残すのが最適な戦略であり、その確率は約$26.11\mathrm{\%}$である。

フルハウスの確率

点数を考えないのであればフルハウスの生起確率は案外すんなり計算できます。
まずレギュレーションの確認から

・その点数に関係なく、また、どんなに絶望的な状況でも、フルハウスをとるように努める
・ヨット(5つ揃い)はフルハウスに含まれる
・ノーペアは全て振りなおす

確認したらフルハウスに合わせて段階を分けます
$a$:フルハウス(ヨットも含む)
$b$:ツーペア
$c$:フォーダイス/スリーダイス
$d$:ワンペア
$e$:ノーペア

初期確率を求めます
$a_1={\displaystyle \frac{6\times 5\times \frac{5!}{3!2!}+6}{7776}}={\displaystyle \frac{306}{7776}}$

$b_1={\displaystyle \frac{\frac{6\times 5}{2}\times 4\times \frac{5!}{2!2!}}{7776}}={\displaystyle \frac{1800}{7776}}$

$c_1={\displaystyle \frac{6\times \frac{5\times 4}{2}\times \frac{5!}{3!}+6\times 5\times \frac{5!}{4!}}{7776}}={\displaystyle \frac{1350}{7776}}$

$d_1={\displaystyle \frac{6\times \frac{5\times 4\times 3}{3!}\times \frac{5!}{2!}}{7776}}={\displaystyle \frac{3600}{7776}}$

$e_1={\displaystyle \frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times \frac{1}{5!}\times 5!}{7776}}={\displaystyle \frac{720}{7776}}$

確率漸化式は、
$$\begin{array}{rcl}{a}_{n+1}& =& a_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}{c}_n+{\displaystyle \frac{21}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{51}{1296}}{e}_n\\ b_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}{b}_n+{\displaystyle \frac{60}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{300}{1296}}{e}_n\\ c_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{5}{6}}{c}_n+{\displaystyle \frac{75}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{225}{1296}}{e}_n\\ d_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{60}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{600}{1296}}{e}_n\\ e_{n+1}& =& {\displaystyle \frac{120}{1296}}{e}_n\end{array}$$
よって、$a_3={\displaystyle \frac{3689896}{10077696}}\approx 36.61\mathrm{\%}$

おまけ:サイコロの個数を増やしてヨットの確率を求めてみたが

特段面白くなかったです
あえて面白いところをあげるなら、サイコロが$7$個以上になると鳩の巣原理からノーペアがなくなることくらいです。
残す出目が変わることがあり、その例外処理が地味にきつかったりします。
分母は見栄え重視で$6$の冪に揃えています。

$6$個のとき

$a_n$:$6$個揃う確率
$b_n$:$5$個揃う確率
$c_n$:$4$個揃う確率
$d_n$:$3$個揃う確率
$e_n$:$2$個揃う確率
$f_n$:全てバラバラの確率
$$a_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}{b}_n+{\displaystyle \frac{1}{36}}{c}_n+{\displaystyle \frac{1}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{1}{7776}}{f}_n$$
$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{5}{6}}{b}_n+{\displaystyle \frac{10}{36}}{c}_n+{\displaystyle \frac{15}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{20}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{30}{7776}}{f}_n$$
$$c_{n+1}={\displaystyle \frac{25}{36}}{c}_n+{\displaystyle \frac{75}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{155}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{375}{7776}}{f}_n$$
$$d_{n+1}={\displaystyle \frac{125}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{580}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{2450}{7776}}{f}_n$$
$$e_{n+1}={\displaystyle \frac{540}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{4800}{7776}}{f}_n$$
$$f_{n+1}={\displaystyle \frac{120}{7776}}$$

$a_3={\displaystyle \frac{267129016}{13060694016}}\approx 2.045\mathrm{\%}$

$7$個のとき

$a_n$:$7$個揃う確率
$b_n$:$6$個揃う確率
$c_n$:$5$個揃う確率
$d_n$:$4$個揃う確率
$e_n$:$3$個揃う確率
$f_n$:$2$個揃う確率

$$a_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}{b}_n+{\displaystyle \frac{1}{36}}{c}_n{\displaystyle \frac{1}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{1}{7776}}{f}_n$$
$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{5}{6}}{b}_n+{\displaystyle \frac{10}{36}}{c}_n+{\displaystyle \frac{15}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{20}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{25}{7776}}{f}_n$$
$$c_{n+1}={\displaystyle \frac{25}{36}}{c}_n+{\displaystyle \frac{75}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{150}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{255}{7776}}{f}_n$$
$$d_{n+1}={\displaystyle \frac{125}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{505}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{1375}{7776}}{f}_n$$
$$e_{n+1}={\displaystyle \frac{620}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{3900}{7776}}{f}_n$$
$$f_{n+1}={\displaystyle \frac{2220}{7776}}{f}_n$$

$a_3={\displaystyle \frac{710696596}{78364164096}}\approx 0.907\mathrm{\%}$

$8$個のとき

$a_n$:$8$個揃う確率
$b_n$:$7$個揃う確率
$c_n$:$6$個揃う確率
$d_n$:$5$個揃う確率
$e_n$:$4$個揃う確率
$f_n$:$3$個揃う確率
$g_n$:$2$個揃う確率

$$a_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}{b}_n+{\displaystyle \frac{1}{36}}{c}_n+{\displaystyle \frac{1}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{1}{7776}}{f}_n+{\displaystyle \frac{1}{46656}}{g}_n$$
$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{5}{6}}{b}_n+{\displaystyle \frac{10}{36}}{c}_n+{\displaystyle \frac{15}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{20}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{25}{7776}}{f}_n+{\displaystyle \frac{30}{46656}}{g}_n$$
$$c_{n+1}={\displaystyle \frac{25}{36}}{c}_n+{\displaystyle \frac{75}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{150}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{250}{7776}}{f}_n+{\displaystyle \frac{380}{46656}}{g}_n$$
$$d_{n+1}={\displaystyle \frac{125}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{500}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{1255}{7776}}{f}_n+{\displaystyle \frac{2650}{46656}}{g}_n$$
$$e_{n+1}={\displaystyle \frac{625}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{3225}{7776}}{f}_n+{\displaystyle \frac{11175}{46656}}{g}_n$$
$$f_{n+1}={\displaystyle \frac{3020}{7776}}{f}_n+{\displaystyle \frac{24320}{46656}}{g}_n$$
$$g_{n+1}={\displaystyle \frac{8100}{46656}}{g}_n$$

$a_3={\displaystyle \frac{67846952236}{16926659444736}}\approx 0.401\mathrm{\%}$

$9$個のとき

$a_n$:$9$個揃う確率
$b_n$:$8$個揃う確率
$c_n$:$7$個揃う確率
$d_n$:$6$個揃う確率
$e_n$:$5$個揃う確率
$f_n$:$4$個揃う確率
$g_n$:$3$個揃う確率
$h_n$:$2$個揃う確率

$$a_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}{b}_n+{\displaystyle \frac{1}{36}}{c}_n+{\displaystyle \frac{1}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{1}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{1}{7776}}{f}_n+{\displaystyle \frac{1}{46656}}{g}_n+{\displaystyle \frac{1}{279936}}{h}_n$$
$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{5}{6}}{b}_n+{\displaystyle \frac{10}{36}}{c}_n+{\displaystyle \frac{15}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{20}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{25}{7776}}{f}_n+{\displaystyle \frac{30}{46656}}{g}_n+{\displaystyle \frac{35}{279936}}{h}_n$$
$$c_{n+1}={\displaystyle \frac{25}{36}}{c}_n+{\displaystyle \frac{75}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{150}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{250}{7776}}{f}_n+{\displaystyle \frac{375}{46656}}{g}_n+{\displaystyle \frac{530}{279936}}{h}_n$$
$$d_{n+1}={\displaystyle \frac{125}{216}}{d}_n+{\displaystyle \frac{500}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{1250}{7776}}{f}_n+{\displaystyle \frac{2505}{46656}}{g}_n+{\displaystyle \frac{4550}{279936}}{h}_n$$
$$e_{n+1}={\displaystyle \frac{625}{1296}}{e}_n+{\displaystyle \frac{3130}{7776}}{f}_n+{\displaystyle \frac{9525}{46656}}{g}_n+{\displaystyle \frac{24500}{279936}}{h}_n$$
$$f_{n+1}={\displaystyle \frac{3120}{7776}}{f}_n+{\displaystyle \frac{19920}{46656}}{g}_n+{\displaystyle \frac{85120}{279936}}{h}_n$$
$$g_{n+1}={\displaystyle \frac{14300}{46656}}{g}_n+{\displaystyle \frac{140000}{279936}}{h}_n$$
$$h_{n+1}={\displaystyle \frac{25200}{279936}}{h}_n$$

$a_3={\displaystyle \frac{6433001382976}{3656158440062976}}\approx 0.176\mathrm{\%}$

おわりに

ミス、打ち間違い等あれば教えてください。