双対同型な結合構造の数え上げ

バーンサイドの補題より、
$|D_{IJ}/(S_I\times S_J,\cdot\,)|=\displaystyle\frac{1}{n!^2} \displaystyle\sum_{\theta\in S_I\times S_J}|D_{IJ}^{\theta\,\cdot}|$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\,=\displaystyle\frac{1}{n!^2}\displaystyle\sum_{\theta\in S_{I}\times S_{J}}|\{R\in D_{IJ}\,|\,\,\theta\cdot R=R\}| $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\,=\displaystyle\frac{1}{n!^2} \sum_{R\in D_{IJ}} |\{\theta\in S_I\times S_J\,|\,\,\theta\cdot R=R\}|$
ここで、$R\in D_{IJ}$に対して、
$|\{\theta\in S_I\times S_J\,|\,\,\theta\cdot R=R\}|=|\{\phi\in S_{JI}\times S_{IJ}\,|\,\,\phi* R=R\}|$を示す。
左辺を$A$、右辺を$B$と置き、次の$f$は全単射であることを示す。

$f:B\rightarrow A$
$\quad\,\,\phi\,\mapsto\phi*\phi_1$
(ただし、$\phi_1$は$\phi_1*R=R$を満たす$S_{JI}\times S_{IJ}$の元)

まず、$f$が写像であること($\phi*\phi_1$がきちんと$A$に入っていること)を確認します。
$(\phi*\phi_1)\cdot R=\phi*(\phi_1*R)=R$
より、$f$は写像です。
また、$f$の単射性は明らかなので、全射性を示します。
$\theta=(\alpha,\beta)\in S_I\times S_J $を任意にとり、$\phi_1=(\tau_1,\sigma_1)$とすると、$\phi=(\alpha\sigma_1^{-1},\beta\tau_1^{-1})\in B$ (※)
$\phi*\phi_1=(\alpha\sigma_1^{-1},\beta\tau_1^{-1})*(\tau_1,\sigma_1)=\theta$

※$\phi*R=(\alpha\sigma_1^{-1},\beta\tau_1^{-1})*R$
$\qquad\quad\,\,\,=(\alpha\sigma_1^{-1},\beta\tau_1^{-1})*((\tau_1,\sigma_1)*R)$
$\qquad\quad\,\,\,=((\alpha\sigma_1^{-1},\beta\tau_1^{-1})*(\tau_1,\sigma_1))\cdot R$
$\qquad\quad\,\,\,=\theta\cdot R$
$\qquad\quad\,\,\,= R$
よって、
$|D_{IJ}/(S_I\times S_J,\cdot\,)|=\displaystyle\frac{1}{n!^2} \sum_{R\in D_{IJ}} |\{\phi\in S_{JI}\times S_{IJ}\,|\,\,\phi* R=R\}|$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\,=\displaystyle\frac{1}{n!^2}\displaystyle\sum_{\phi\in S_{JI}\times S_{IJ}}\{R\in D_{IJ}\,|\,\,\phi*R=R\} $

一行目は明らかとしてよい。
$ \sigma(i_k^u)=j_k^u$の両辺に$\tau$を作用させると、
$ \tau\sigma(i_k^u)=\tau (j_k^u)$より、
$i_{k+1}^u=\tau (j_k^u)$
さらに両辺に$\sigma$を作用させると、
$j_{k+1}^u=\sigma\tau (j_k^u)$
これによって$\sigma\tau$ の表示が定まる。

$1.\,\,I^u\times J^u$の場合
$r=(i,j)\in I^u\times J^u$を任意にとる。
$[r]_\phi=\{r,\phi*r,\phi*(\phi*r),\phi*(\phi*(\phi*r)),...\}$
ある$k,l\in\mathbb{Z}/\!|I^u| \mathbb{Z}$がそれぞれ一意に定まり$r=(i_k^u,j_l^u)$であり、
$[r]_\phi=\{(i_k^u,j_l^u),(i_{l+1}^u,j_k^u),(i_{k+1}^u,j_{l+1}^u),(i_{l+2}^u,j_{k+1}^u),...\}$
ここで、$[r]_\phi$は第一成分が$i_0^u$である元を必ず持つことに注意すると、
$[r]_\phi=\{(i_0^u,j_{l'}^u),(i_{l'+1}^u,j_0^u), (i_{1}^u,j_{l'+1}^u),(i_{l'+2}^u,j_{1}^u)...\} $
と書き直せる。新たに、$r'=(i_0^u,j_{l'}^u)$とおき、
次の二つの集合$[r’]_\phi^e,[r’]_\phi^o$を考える:
$[r’]_\phi^e=\{r’,\phi*(\phi*r’),\phi*(\phi*(\phi*(\phi*r’)),...\}$
$[r’]_\phi^o=\{\phi*r’,\phi*(\phi*(\phi*r’)),\phi*(\phi*(\phi*(\phi*(\phi*r’))))...\} $
すると、$[r’]_\phi^e=[r’]_\phi^o=[r’]_\phi $または、$[r’]_\phi^e\sqcup[r’]_\phi^o=[r’]_\phi $であり、また、
$[r’]_\phi^e=\{(i_0^u,j_{l'}^u),(i_{1}^u,j_{l'+1}^u),(i_{2}^u,j_{l’+2}^u)...\}$
$[r’]_\phi^o=\{(i_{l'+1}^u,j_0^u),(i_{l'+2}^u,j_{1}^u),(i_{l'+3}^u,j_{2}^u)...\}$
より、$|[r’]_\phi^e|=|[r’]_\phi^o|=|I^u|$である。

$[r’]_\phi^e=[r’]_\phi^o=[r’]_\phi $を仮定する。
このとき、$r'$が$[r’]_\phi^o$に入っていることが必要十分であり、
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 0=l'+1+h \\ l'=h \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
をみたす$h\in\mathbb{Z}/\!|I^u| \mathbb{Z}$があればよいが、$2h+1=0,2l'+1=0$より、$|I^u|$は奇数であるしかなく、さらにそのとき$h=l'= \frac{|I^u|-1}{2} $より、このような極小固定点はただ一つ存在し、その大きさは$|[r’]_\phi |=|[r’]_\phi^e|=|[r’]_\phi^o|=|I^u|$である。
それ以外の場合は自動的に$[r’]_\phi^e\sqcup[r’]_\phi^o=[r’]_\phi $であり、極小固定点の大きさは
$|[r’]_\phi|=|[r’]_\phi^e|+|[r’]_\phi^o|=2|I^u|$となるので、
$|I^u|$が奇数のとき、$I^u\times J^u$に含まれる極小固定点の数は、
$\frac{|I^u\times J^u|-|I^u|}{2|I^u|} +1= \frac{|I^u|+1}{2}$
$|I^u|$が偶数のとき、$I^u\times J^u$に含まれる極小固定点の数は、
$\frac{|I^u\times J^u|}{2|I^u|}= \frac{|I^u|}{2}$

$2,\,\,(I^u\times J^v)\sqcup(I^v\times J^u)\quad(u\neq v)$の場合
$r=(i,j)\in (I^u\times J^v)\sqcup(I^v\times J^u)\quad(u\neq v)$を任意にとる。
$r\in I^u\times J^v$または$r\in I^v\times J^u$なので、
まず$r\in I^u\times J^v$の場合を考える。
$[r]_\phi=\{r,\phi*r,\phi*(\phi*r),\phi*(\phi*(\phi*r)),...\}$
ここで次の二つの集合$[r]_\phi^e,[r]_\phi^o$を考える:
$[r]_\phi^e=\{r,\phi*(\phi*r),\phi*(\phi*(\phi*(\phi*r)),...\}$
$[r]_\phi^o=\{\phi*r,\phi*(\phi*(\phi*r)),\phi*(\phi*(\phi*(\phi*(\phi*r))))...\} $
ある$k\in\mathbb{Z}/\!|I^u| \mathbb{Z},l\in\mathbb{Z}/\!|I^v| \mathbb{Z}$がそれぞれ一意に定まり$r=(i_k^u,j_l^v)$であり、
$[r]_\phi^e=\{(i_k^u,j_l^v),(i_{k+1}^u,j_{l+1}^v),(i_{k+2}^u,j_{l+2}^v)...\}$
$[r]_\phi^o=\{(i_{l+1}^v,j_k^u),(i_{l+2}^v,j_{k+1}^u),(i_{l+3}^v,j_{k+2}^u)...\}$
明らかに$[r]_\phi^e\sqcup[r]_\phi^o=[r]_\phi $であり、また、
$|[r]_\phi^e|=|[r]_\phi^o|=\mathrm{lcm}(|I^u|,|I^v|)$
よって$|[r]_\phi|=|[r]_\phi^e|+|[r]_\phi^o|=2\mathrm{lcm}(|I^u|,|I^v|)$
$r\in I^v\times J^u$の場合も同様なので、
すべての極小固定点の大きさは等しく、$2\mathrm{lcm}(|I^u|,|I^v|) $
よって、$(I^u\times J^v)\sqcup(I^v\times J^u)$に含まれる極小固定点の数は、
$ \frac{|(I^u\times J^v)\sqcup(I^v\times J^u)|}{2\mathrm{lcm}(|I^u|,|I^v|)} =\gcd(|I^u|,|I^v|)$

$\quad|D_{IJ}/(S_I\times S_J,\cdot\,)|$
$=\displaystyle\frac{1}{n!^2} \displaystyle\sum_{\phi\in S_{JI}\times S_{IJ}}|D_{IJ}^{\phi*}|$
$=\displaystyle\frac{1}{n!^2} \displaystyle\sum_{\phi\in S_{JI}\times S_{IJ}}2^{|I\times J/\langle\phi\rangle|}$
$=\displaystyle\frac{1}{n!^2} \displaystyle\sum_{\phi\in S_{JI}\times S_{IJ}}2^{|\left(\left(\bigsqcup_{1\leq u\leq m}(I^u\times J^u)\right)\sqcup\left(\bigsqcup_{1\leq u< v\leq m}((I^u\times J^v)\sqcup(I^v\times J^u))\right)\right)/\langle\phi\rangle|}$

$=\displaystyle\frac{1}{n!^2} \displaystyle\sum_{\phi\in S_{JI}\times S_{IJ}}2^{|\left(\bigsqcup_{1\leq u\leq m}(I^u\times J^u)/\langle\phi\rangle\right)|+|\left(\bigsqcup_{1\leq u< v\leq m}((I^u\times J^v)\sqcup(I^v\times J^u))/\langle\phi\rangle\right)|}$
$=\displaystyle\frac{1}{n!^2} \displaystyle\sum_{\tau,\sigma\in S_n}2^{f(\tau\sigma)}$
$=\displaystyle\frac{1}{n!} \displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}2^{f(\sigma)}$