ホモロジカル予想のおはなし

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　この記事は Math Advent Calender 2023 の22日目の記事です．21日目は不等式Botさん，23日目は赤べこぬーぴーさんです．
　今回の記事は2023年8月26日（土）から2023年8月29日（火）に東京工業大学で行われた第18回可換環論サマースクールの講義ノートの一部です．セミナー自体のノートはこちらです．本記事では基本的に流れの紹介を目指すので，細かい証明には立ち入りません．証明はBruns―Herzogや拙稿をみてください．
（今回もサボって学内向けに書いたノートから抜粋しようかと思いましたが，直前でやめました．今年度から社会人ドクターをしているのでその話にしようかとも思いましたが，それもやめました．来年はわかりません．）

ホモロジカル予想

　この記事を通して，環といえば１を持つ可換環のこととします．Noether性は断らない限り課しません．（ホモロジカル予想の話をするのに？）
　また環$A$に対して $\mathrm{mod}\ A $ は$A$上の有限生成加群全体のなす圏を，$\mathrm{Mod}\ A$は$A$加群全体のなす圏を表すこととします．

　さて，ホモロジカル予想とは，（Noether）局所環上の（有限生成）加群の不変量のホモロジカルな解釈に基づく一連の予想のことです．例として，Krull次元とホモロジカル次元（射影次元，入射次元，大域次元，などなど）の関係を調べることが挙げられます．

　歴史の話をしましょう．1960年代から1970年代前半にかけて，Serre, Auslander, Peskin, Szpiro らが活躍しました．代表的なものに（新）交叉定理が挙げられます．

交叉定理（Serre, 1965）

$A$を正則局所環とする．$M,N\in\mathrm{mod}\ A$について，$M\otimes N$はArtinかつNoether（長さ有限）であるならば，$\dim N + \dim M \leq \dim A$がなりたつ．

　余談ですが，なぜ交叉なの？という疑問への答えは代数幾何的な解釈ができるためです．Hartshorne から引用しましょう．

Hartshorne, Chap. I, Prop. 7.1

$\mathbb{A}^n$をアファイン空間とし，$Y,Z$を$\mathbb{A}^n$の中にある$r,s$次元の多様体とする．このとき$W$を$Y\cap Z$の任意の既約成分とすると，$r+s-n\leq \dim W$である．

　さて，可換環論に戻ります．ここでAuslander―Bushsbaumの公式を思い出しましょう．

Auslander―Buchsbaum の公式

$(A,\ideal{m})$をNoether局所環とし，$M\neq 0 \in\mod A$とし，$\prjdim M $が有限であるとする（$\prjdim M$で$M$の射影次元を表すことにする）．このとき；
$$\prjdim M + \depth M = \depth A$$
が成り立つ．

　この公式を本記事では A-B 公式と呼ぶことにします（A-B formula だとそれっぽいのに日本語にするとチープですね）．A-B 公式と交叉定理により，次が分かります．
$$ \begin{align} \prjdim M &= \depth A - \depth M\\ &= \dim A - \depth M \\ &\geq \dim A - \depth M \geq \dim N \end{align}$$

　この不等式に正則性はいらないだろう，というものが次の予想です（今はもう定理ですが）．　

交叉予想

$(A,\ideal{m})$をNoether局所環とする．$M,N\in\mod A$ について$ N\neq 0$, $M\otimes N$はArtinかつNoetherであるとすると，$\dim N\leq\prjdim M$である．

　すると$M$が射影次元有限であるようなArtin かつ Noether 加群のとき，$\dim A\leq\prjdim M\leq\dim A$であることがわかります．右片はA-B 公式から導かれます．左辺は交叉予想そのものです（12/22 :ご質問受け追記しました）．

　これの左辺を一般化したものが次の新交叉予想（これも定理）です．　

新交叉予想

$(A,\ideal{m})$をNoether局所環とする．$F_\bullet:0\to F_m\to\cdots\to F_0\to 0$を完全でない複体とする．任意の$0\leq i\leq m$について$F_i$が有限自由であり，ホモロジー$H_i(F_\bullet))$がArtinかつNoetherならば，$\dim A\leq m$である．

　これらの定理はRoberts, Peskin, Szpiroらにより研究されました．まず等標数$p>0$の場合に示され，その後に一般の場合はRobertsにより1987年に証明されています．環$A$の標数を$\char A$で表すことにしましょう．復習しておくと，局所環$(A,\ideal{m},k)$の標数は次の４パターンしかないのでした．

等標数 $0$：$\char A = 0, \char k = 0.$
等標数 $p>0$：$\char A = p, \char k = p.$
混標数$(0,p)$：$\char A = 0, \char k = p.$
混標数$(p^n,p)$：$\char A = p^n, \char k = p.$

　このうち，ホモロジカルな環論は等標数$p>0$の場合から研究が進んでくることが多いのですが，その理由は環の標数が（$0$でない）素数であるのはその場合に限るため，と説明できます．$\char A = p$のとき，Frobenius射$F:A\to A;a\mapsto a^p$が環準同型となり，これが非常に強力な道具となるのです．

直和因子予想と単項式予想

　さて，次に直和因子予想について触れていきましょう．

直和因子予想（Direct Summand Conjecture, DSC）

$A$を正則局所環とし，$B$を$A$加群として有限生成であるような$A$代数とする．このとき，$B$は$A$加群として$A$を直和因子に持つ．

　この予想は André (2016)により証明されました．その本質には混標数の場合に big CM 加群と呼ばれる加群の存在を示したことにあります．本記事では，というよりもととなった講義では等標数の場合に big CM 加群の存在の証明のあらすじを伝えることを１つの目的としています．これは Hochster (1975) によって示されています．

　直和因子に持つって何が嬉しいの？を少しだけ考えてみましょう．$I\subset A$をイデアルとします．このとき$B$を$A$代数としたとき；

$A\to B$が忠実平坦．
$A\subset B$：直和因子に持つ．

のどちらかを満たすならば，$IB\cap A = I$となります．

　さて，ここで$B$がCohen―Macaulay（以後CMと略します）のとき，DSCが成り立つことのスケッチを見てみましょう．

$B$がCMのときのスケッチ

$d:=\dim A$とすると，$A\subset B$が整拡大なので$d=\dim B=\mathrm{depth}_B B$であって，$\underline{a}$を$A$の巴系とするとこれは$B$の巴系でもあり，$B$がCMだから$\underline{a}$は$B$正則列になる．すなわち；
$$ d\leq\mathrm{depth}_A B\leq\mathrm{depth}_B B=d$$
であり，また$A$が正則だから$\prjdim_A B<\infty$となる．するとA-B公式によって；
$$\prjdim_A B+\mathrm{depth}_A B=\mathrm{depth}_A A$$
であるので$B$は射影$A$加群でなければならない．よって$B$は自由$A$加群なので，$A$を直和因子に持つ．

　この予想と関係が深いのは，次の単項式予想です．

単項式予想（Monomial Conjecture, MC）

$A$をNoether局所環とし，$\underline{a}=a_1,\dots,a_d$を$A$の巴系とする．任意の$t>0$に対して$a_1^t\cdots a_d^t\not\in(a_1^{t+1},\dots,a_d^{t+1})$である．

　この予想は巴系は（多項式の不定元のように）「独立っぽく」振る舞う，と主張しています．これらの定理間の関係はつぎのようになっています．
$$\text{DSC}\Longleftrightarrow\text{MC}\Longrightarrow\text{新交叉予想}$$

　DSCとMCの関係を見ていきましょう．

$(A,\ideal{m})$を正則局所環，$\underline{a}=a_1,\dots,a_d$を正則巴系とする．$B$を$A$加群として有限生成であるような$A$代数とする．$B$が$A$加群として$A$を直和因子に持つことと，任意の$t>0$に対して$a_1^t\cdots a_r^t\not\in(a_1^{t+1},\dots,a_d^{t+1})B$であることは同値である

$(\Longrightarrow)$ $\underline{a}$が正則なので，$a_1^t\cdots a_d^t\not\in(a_1^{t+1},\cdots,a_d^{t+1})$である．いま$I$を$A$のイデアルととすると$IB\cap A=I$である．よって$a_1^t\cdots a_d^t\not\in(a_1^{t+1},\cdots,a_ d^{t+1})B$である．

$(\Longleftarrow)$ $A$を完備としてよい．$I_t:=(a_1^t,\dots,a_d^t), A_t:=A/I_t, B_t:= B/I_tB$とおく．いま$A\to B$から誘導される$\varphi_t:A_t\to B_t$は単射になる（テクい．$A_t$は$0$次元Gorensteinであり，$a_1^t\cdots a_r^t + I_t \in \mathrm{Soc}\ A_t\subset \ker \varphi_t$となって矛盾する）．
いま$A_t$は入射的$A_t$加群なので；
$$D_t:=\mkset{\psi\in\hom_{A_t}(B_t, A_t)}{\psi\circ\varphi_t=\mathrm{id}_{A_t}}\neq\emptyset$$
とおくと$(D_t)_t$はMittag―Lefflerな集合の射影系になる．一般にMittag―Lefflerな射影系$(X_i,\varphi_{ij})_{i\in I}$について，$I$が高々可算で，各$i$について$X_i\neq\emptyset$ならば空でない射影極限が存在する．よって$\mathop{\varprojlim}\limits D_i\neq\emptyset$であり，すなわち$A\to B$は分裂する．

$A$をNoether局所環とし，$\underline{a}=a_1,\dots,a_d$を$A$の巴系とする．ある$M\in\Mod A$が存在して$\underline{a}$が$M$正則ならば，任意の$t>0$に対して$a_1^t\cdots a_d^t\not\in(a_1^{t+1},\dots,a_d^{t+1})$である．

$a_1^t\cdots a_d^t\in(a_1^{t+1},\dots,a_d^{t+1})$であると仮定する．このとき$a_1^t\cdots a_d^t M\subset (a_1^{t+1},\dots,a_d^{t+1})M$である．いま$I=(a_1,\dots,a_d)$とおき，$\mathrm{G}_I(M)\cong M\otimes A/I[X_1,\dots,X_d]$について$X_1^t\cdots X_d^t\mathrm{G}_I(M)\subset(X_1^{t+1},\dots,X_d^{t+1})\mathrm{G}_I(M)$である．これは；
$$\mathrm{G}_I(M)/(X_1^{t+1},\cdots,X_d^{t+1})\mathrm{G}_I(M)\cong\oplus_{X_1^{e_1}\cdots X_d^{e_d}\not\in(X_1^{t+1},\dots,X_d^{t+1})}X^{e_1}\cdots X_d^{e_d}(M/IM)$$
に矛盾する．

　この$M$の存在こそが本質です．さきほど触れたbig CM加群がまさにこれに当てはまります．

big CM加群

$(A,\ideal{m})$をNoether局所環とする．$A$加群$M$に対して，ある巴系$\underline{a}=a_1,\dots,a_d\in A$が存在して，$\underline{a}$が$M$正則列であるとき，$M$を$A$の（$\underline{a}$に関する）big CM加群という．

Big CM予想（André,2016）

$(A,\ideal{m})$をNoether局所環とする．任意の巴系$\underline{a}$に対して，ある$A$加群$M$が存在して，$\underline{a}$は$M$正則列である．

　ちょっとだけ例をみてみましょう．

$k$を体，$A:= k[[X,Y]]$とする．すると$k[[X]]= A/(Y))$は$A$加群である．$M:= A\oplus \mathrm{Frac}(k[[X]])$について$X,Y$は$M$正則だが，$Y,X$はそうではない．よって$M$は$Y,X$に対してbig CMではない．

　$A$加群$M$について，すべての巴系$\underline{a}$に対して$\underline{a}$が$M$正則列となるとき，$M$を均衡(balanced) big CM 加群であるといいます．このとき次の事実が知られています．

$(A,\ideal{m})$をNoether局所環とし，$\underline{a}=a_1,\dots,a_d$を$A$の巴系，$M$を$A$加群，$\widehat{M}$を$M$の$\ideal{m}$進完備化とする．$M$が$\underline{a}$についてのbig CM加群ならば，$\widehat{M}$は均衡big CM加群である．

　Noether環のホモロジカルな議論では，基本的に環を完備と仮定してよい場面がほとんどです．$\dim A = \dim\widehat{A}$という非常にありがたい事実（一般の環では完備化すると次元が下がります．$A:=k[x,y,y/x,y/x^2,\cdots]_{(x)}$を考えてみましょう）と，Cohenの構造定理というこれまたありがたい事実のおかげです．ですので，big CM 加群が存在すれば均衡 big CM 加群が存在すると思えるのです．

　また，この均衡big CM加群の議論には，松村の16節に述べられている準正則列を本質的に用います．松村のその個所を読んだだけではあまりありがたみを感じられない準正則列が活躍する様は感動的です．ぜひBruns―Herzogで味わってみてください（一応拙稿にも書いてあります）．

　さて，big CM 予想がDSCを導くことのスケッチをみてみましょう．

$A$を整域とし，$B$を$A$の整拡大とする．すると$0$の上にある$B$の素イデアル$P'$に対して，$A$が$B/P'$の直和因子ならば$A$は$B$の直和因子でもある．

　証明は俯瞰定理(Lying over theorem)と可換図式のお絵描きです．

$(A,\ideal{m},k)$をHensel局所環とする．$A$代数$B$について$A\subset B$が整拡大で，$B$が整域であるならば$B$は局所環である．

$\ideal{n}\neq\ideal{n}'$を$B$の極大イデアルとする．$b\in\ideal{n},b\not\in\ideal{n}'$となる$b\in B$をとる．$A\subset B$が整拡大なので，モニック多項式$f=X^n+a_1X^{n-1}+\cdots+a_n\in A[X]$で$f(b)=0$となるものがある．いま；
$$ a_n=-(b^n+a_1b^{n-1}+\dots+a_{n-1}b)\in\ideal{n}\cap A=\ideal{m}$$
であり，また任意の$i$に対して$a_i\in\ideal{m}$なら$\ideal{n}'\cap A=\ideal{m}$なので$b^n\in\ideal{n}'$となって矛盾する．よってある$i$で$a_i\not\in\ideal{m}$となるものがある．そこで$a_n,\dots,a_{n-(l-1)}\in\ideal{m},a_{n-l}\not\in\ideal{m}$となる$l$がとれる．このとき$f$の$k[X]$への像は；
$$\bar{f}=X^n+\dots+a_{n-l}X^l=X^l(X^{n-l}+\dots+a_{n-l})$$
であるので，$A$がHensel環なのでモニックな$g,h\in A[X]$が存在して$f=gh$とかける．いま$B$が整域なので$g(b)=0$または$h(b)=0$であり，繰り返すと次数が真に減っていくので$b\in A$となり矛盾する．

big CM予想 $\Longrightarrow$ DSC のスケッチ

$A$は完備としてよい．補題12より$B$を整域，補題13より$B$を局所環としてよい．$\underline{a}$を$A$の正則巴系とすると$\underline{a}$は$B$の巴系でもあるので，定理9と8により$A$は$B$の直和因子である．

等標数の場合のbig CM予想の証明

　Hochster は等標数 $p>0$でbig CM予想を証明し，その後「メタ定理」をつかって等標数$0$の場合を示しました．そのあらすじを見ていきましょう．なお先に述べた通り，完全解決（混標数の場合）には2010年代まで待つ必要がありました．そこでは本質的にパーフェクトイド空間と概環論（Almost ring theory）という最先端の道具が使われています．

　さて，まず「改良」を定義しましょう．$\underline{a}=a_1,\dots,a_r$が$M$正則でないとき，それを補正していこう，というアイデアです．

加群の改良

$A$を環とし，$\underline{a}=a_1,\dots,a_r\in A, M$を$A$加群とし，$0\leq s< n$を１つ固定する．ある$y\in M$が存在して，$a_{s+1}y\in (a_1,\dots,a_s)M$であるとき，$e_1,\dots,e_s$を$A^s$の標準基底として；
$$ w:= y-\sum_{i=1}^s a_ie_i, M':= (M\oplus A^s)/Aw$$
とおく．このとき$M'$を$M$の（$y$による）$s$型$\underline{a}$改良($\underline{a}$-modification of type $s$)という．

　$A$加群$M$と$x\in M$の組$(M,x)$を考えるとき，$A$加群$N$と$y\in N$が存在して，これに対して$A$線型写像$f:M\to n$で$x\mapsto y$となるものが存在するとき$(M,x)\to (N,y)$のように書くことにします．いま列；
$$(M,x)\to(M_1,x_1),\dots,(M_q,x_q)$$
に対して$(M_{i+1}, x_{i+1})$が$(M_i, x_i)$の$s_{i+1}$型の$\underline{a}$改良となっているとき，この列を$M$の$(s_1,\dots,s_q)$型$\underline{a}$改良列といいます．特に$(M_q,x_q)$を$(M,x)$の$(s_1,\dots,s_q)$型の$\underline{a}$改良といいます．

非退化

$A$を環とし，$\underline{a}=a_1,\dots,a_r\in A, M$を$A$加群，$x\in M$とする．組$(M,x)$に対して$x\not\in\underline{a}M$であるとき，$(M,x)$は非退化(non degenerate)であるという．そうでないときに退化(degenerate)しているという．

　つぎのテクニカルな命題がカギとなります．

$A$をNoether環とし，$\underline{a}=a_1,\dots,a_n\in A$とする．次は同値である．

$A$加群$M$であって$\underline{a}$が$M$正則列であるようなものが存在する．
$(A,1)$の$\underline{a}$改良$(N,g)$はすべて非退化である．

　これらにより，big CM予想を等標数$p>0$の場合に示せます．

等標数$p>0$におけるbig CM予想の証明のスケッチ

$A$は完備であると仮定してよい．命題14によりすべての$(A,1)$の$\underline{a}$改良が非退化であることを示せばよい．$(N,g)$を$(A,1)$の退化する$\underline{a}$改良とする．すると任意の$e$に対して$(F^e(N),F^e(g))$は$(A,1)$の$\underline{a}^{p^e}$改良で，退化する．

ここで冪零でない$c\in A$が存在して，任意の$e$に対して$\varphi_r:(F^e(N),F^e(g))\to(A,c^r)$であって$c^r\in\varphi_r(F^e(g))$となるものが存在する（テクい．$(A,\ideal{m})$がGorenstein環の準同型像であればよい．ここでは完備性を使った）すると；$$ c^r=\varphi_r(\mathscr{F}^e(g))\subset\varphi_r(\underline{a}^{p^e}\mathscr{F}^e(N))\subset\underline{a}^{p^e}A$$ なので，$c^r\in\bigcap_{e\geq1}\underline{a}^{p^e}A=0$となって矛盾する．

　最後に「メタ定理」を紹介して，等標数$0$の場合を眺めましょう．

連立方程式系

$\mathbb{Z}[X,Y]:=\mathbb{Z}[X_1,\dots,X_n,Y_1,\dots,Y_m]$とする．有限部分集合$E\subset \mathbb{Z}[X,Y]$を連立方程式系(system of equations)という．
ある環$A$について，ある$\underline{a}=a_1,\dots,a_n,\underline{b}=b_1,\dots,b_m\in A$が存在して，任意の$f\in E$に対して$f(\underline{a},\underline{b})=0$であるとき，$E$は$A$で解を持つという．

Hochsterのメタ定理

$A$を等標数のNoether環，$E$を連立方程式系とする．$E$が$A$で解を持つとする．このとき等標数$p>0$のNoether局所環$A'$が存在して，$E$は解$\underline{a}',\underline{b}'\in A'$を持ち，$\underline{a}'$は$A'$の巴系であるようにとれる．さらに次が成り立つ．

$A'$は有限体$\mathbb{F}_p$上有限生成整域をその極大イデアルで局所化したものとして取れる．
$A$が正則局所環ならば$A'$も正則にとれ，$\underline{a}'$を正則巴系にできる．

　証明にはArtinの近似定理(approximation theorem)や，Hensel化がエタール代数の極限で表されること，など高度な結果を用います．

　メタ定理は「連立方程式系の言葉で表現できる性質は，等標数$p>0$で成り立つなら等標数$0$でも成り立つ」ということを意味しています．そのためにbig CM性を連立方程式系の言葉に翻訳しましょう．命題14によりそれは加群の改良と退化の言葉に言い換えられているので，さらにそれを翻訳します．

$n\geq 1, 0\leq s_1,\dots,s_r\leq n-1$とする．$m\geq 1$と連立方程式系$E\subset\mathbb{Z}[X_1,\dots,X_n,Y_1,\dots,Y_m]$が存在して，任意の環$A$と点列$\underline{a}=a_1,\dots,a_n\in A$に対して次が同値である．

$(A,1)$の$(s_1,\dots,s_r)$型の$\underline{a}$改良$(M,x)$で退化するものが存在する．
ある$b_1,\dots,b_m\in A$が存在して，$\underline{a},\underline{b}$は$E$の解である．すなわち，任意の$f\in E$に対して$f(\underline{a},\underline{b})=0$である．

　証明はひたすら手の運動をします．いよいよフィナーレです．

等標数$0$でbig CM予想が成り立つ．

任意の$A$加群$M$に対して，$\underline{a}$は$M$正則列ではないとする．すると命題14によって$(A,1)$の$(s_1,\dots,s_r)$型$\underline{a}$改良で退化するものが存在する．この$s_1,\dots,s_r$に対して命題16における$E$をとる．いま$E$は$A$で解をもち，メタ定理によってあるNoether局所環$A'$で等標数$p>0$のものが存在して，$E$は$A'$において解$\underline{a'},\underline{b'}$で$\underline{a'}$が$A'$の巴系であるようなものを持つ．すると命題16によって$(A',1)$の$(s_1,\dots,s_r)$型$\underline{a'}$改良で退化するものが存在する．すると命題14によって$A'$は$\underline{a'}$を正則列とする加群を持たないが，これは等標数$p>0$の場合に矛盾している．

投稿日：2023年12月21日

更新日：1月20日

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投稿者

RyoyaANDO

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可換環論専攻のD1です．松村，Hartshorne, Atiyah-Macdonald，Bruns-Herzogなどの有名所の教科書に書いてない話をまとめています． I am a doctoral student, studying Commutative Algebra. I am summarising a slightly different perspective on this site from the existing famous textbooks (in Japanese).

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