2026! を 5⁵⁰⁶ で割った余り

180

入試対策講座　夏期演習　(数学 A)

$2026!$ を $5^{506}$ で割った余りを求めよ。

[解答]

$ \displaystyle a_{k} = \left[ \frac{2026}{5^{k}} \right] \quad \left( \textsf{$k$ は自然数} \boldsymbol{,} \ \ \textsf{$\left[ \, \cdot \, \right]$ はガウス記号} \right) $ とする。このとき，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} a_{1} = 405 \, \boldsymbol{,} \quad a_{2} = 81 \, \boldsymbol{,} \quad a_{3} = 16 \, \boldsymbol{,} \quad a_{4} = 3 \, \boldsymbol{,} \quad \end{aligned} \\[5pt] & \begin{aligned} a_{k} = 0 \quad \left( \, k \geqq 5 \, \right) \end{aligned} \end{align}
であるので，$2026!$ における素因数 $5$ の個数は，
\begin{align} \qquad \begin{aligned} a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 505 \ \ \left( \textsf{個} \right) \end{aligned} \end{align}
となる。ゆえに，
\begin{align} \qquad \begin{aligned} \dfrac{2026!}{5^{505}} \ \ \textsf{は自然数である。} \end{aligned} \tag*{\textsf{[1]}} \end{align}

また，
\begin{align} \qquad \begin{aligned} b_{k} = \left( 5k-4 \right) \left( 5k-3 \right) \left( 5k-2 \right) \left( 5k-1 \right) \qquad \left( \, \textsf{$k$ は自然数} \, \right) \end{aligned} \end{align}
と定めると，すべての自然数 $k$ に対して，
\begin{align} \qquad \begin{aligned} b_{k} \equiv 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \equiv 24 \equiv -1 \pmod 5 \end{aligned} \tag*{\textsf{[2]}} \end{align}
が成り立つ。

よって，$\textsf{[1]} \boldsymbol{,} \ \textsf{[2]}$ より，
\begin{align} \qquad \begin{aligned} \dfrac{2026!}{5^{505}} &\equiv \frac{5 \times 10 \times 15 \times \cdots \times 2025}{5^{405} \times 5^{100}} \times b_{1} b_{2} \cdots b_{405} \times 2026 \pmod 5 \\[5pt] &\equiv \frac{405!}{5^{100}} \times (-1)^{405} \times 1 \pmod 5 \\[5pt] &\equiv \frac{5 \times 10 \times 15 \times \cdots \times 405}{5^{81} \times 5^{19}} \times b_{1} b_{2} \cdots b_{81} \times (-1)^{405} \pmod 5 \\[5pt] &\equiv \frac{81!}{5^{19}} \times (-1)^{81} \times (-1)^{405} \pmod 5 \\[5pt] &\equiv \frac{81!}{5^{19}} \times (-1)^{486} \pmod 5 \\[5pt] &\equiv \frac{5 \times 10 \times 15 \times \cdots \times 80}{5^{16} \times 5^{3}} \times b_1 b_2 \cdots b_{16} \times 81 \times (-1)^{486} \pmod 5 \\[5pt] &\equiv \frac{16!}{5^{3}} \times \left( -1 \right)^{16} \times 1 \times (-1)^{486} \pmod 5 \\[5pt] &\equiv \frac{16!}{5^{3}} \times (-1)^{502} \pmod 5 \\[5pt] &\equiv \frac{5 \times 10 \times 15}{5^{3}} \times b_1 b_2 b_3 \times 16 \times (-1)^{502} \pmod 5 \\[5pt] &\equiv 3! \times (-1)^{3} \times 1 \times (-1)^{502} \pmod 5 \\[5pt] &\equiv 6 \times (-1)^{505} \pmod 5 \\[5pt] &\equiv -6 \pmod 5 \\[5pt] &\equiv 4 \pmod 5 \end{aligned} \end{align}
となるので，
\begin{align} \qquad \begin{aligned} \frac{2026!}{5^{505}} = 5 N + 4 \qquad \left( \, \textsf{$N$ は自然数} \, \right) \end{aligned} \end{align}
と表される。

したがって，
\begin{align} \qquad \begin{aligned} 2026! = 5^{506} N + 4 \times 5^{505} \end{aligned} \end{align}
となるので，求める余りは，$4 \times 5^{505}$ である。

### COMMENT ###

唐突に投げられて困った問題。
この解法を応用すれば，$n!$ を $p^{m}$ で割った余りも求められるのでは？と思っていますが，試していません。

投稿日：7月28日