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交代順列とEuler数

$n$ 次対称群 $S_{n}$ の元 $σ$ を $[n] := {1, 2, \dots, n}$ の順列 $σ (1) σ (2) \dots σ (n)$ と同一視する.

順列 $a_{1} \dots a_{n}$ が交代順列であるとは, $1 \leq i \leq n - 1$ が奇数のとき $a_{i} < a_{i + 1}$ を満たし, 偶数のとき, $a_{i} > a_{i + 1}$ を満たすもののことをいう. また, $1 \leq i \leq n - 1$ が奇数のとき $a_{i} > a_{i + 1}$ を満たし, 偶数のとき $a_{i} < a_{i + 1}$ を満たすものを反転交代順列という. $[n]$ の交代順列の個数を $E_{n}$ と表し, Euler数という.

$[n]$ の交代順列全体と反転交代順列全体は $a_{i} \mapsto n + 1 - a_{i}$ によって一対一に対応する. よって, Euler数は $[n]$ の反転交代順列の個数でもある.

以下は, Euler数の母関数を与えている.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{E_{n}}{n!} x^{n} & = \sec x + \tan x \end{aligned}$
が成り立つ.

$2 \leq n$ とする. $[n]$ の位数 $k$ の部分集合 $S$ の選び方は $(\binom{n}{k})$ 通りである. $\overset{―}{S} := [n] - S$ とする. $S$ の元からなる交代順列 $u_{1} \dots u_{k}$ と $\overset{―}{S}$ の元からなる交代順列 $v_{1} \dots v_{n - k}$ に対して, $u_{k} \dots u_{1} (n + 1) v_{1} \dots v_{n - k}$ は $[n + 1]$ 交代順列または反転交代順列である. また, $[n + 1]$ の反転交代順列が与えられたとき, 上の操作の逆によって, 部分集合 $S$ と $S$ の元からなる交代順列と $\overset{―}{S}$ の元からなる交代順列の組が定まる. この全単射によって,
$\begin{aligned} 2 E_{n + 1} & = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) E_{k} E_{n - k}, (2 \leq n) \end{aligned}$
を得る. よって, $E_{0} = E_{1} = 1$ より
$\begin{array}{r} y = \sum_{0 \leq n} \frac{E_{n}}{n!} x^{n} \end{array}$
とすれば, $y$ は微分方程式
$\begin{aligned} 2 y^{'} & = y^{2} + 1, y (0) = 1 \end{aligned}$
を満たす. この微分方程式は一意的な解
$\begin{array}{r} y = \sec x + \tan x \end{array}$
を持つ. よって, 定理が示された.

母関数を偶奇に分けると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{E_{2 n}}{(2 n)!} x^{2 n} & = \sec x \\ \sum_{0 \leq n} \frac{E_{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1} & = \tan x \end{aligned}$
が得られる. $E_{2 n}$ をセカント数, $E_{2 n + 1}$ をタンジェント数という.

Euler数は以下のような無限級数による表示も持つ.

$\begin{aligned} E_{n} & = \frac{n!}{π^{n + 1}} \sum_{k \in Z} \frac{(- 1)^{k (n + 1)}}{{(k + \frac{1}{2})}^{n + 1}} \end{aligned}$

三角関数の部分分数展開より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{E_{2 n}}{(2 n)!} x^{2 n} & = \sec x = \sum_{n \in Z} \frac{(- 1)^{n} (n + \frac{1}{2})}{{(n + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x^{2}}{π^{2}}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{E_{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1} & = \tan x = \frac{1}{π} \sum_{n \in Z} \frac{x}{{(n + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x^{2}}{π^{2}}} \end{aligned}$
であるから, 両辺の係数を比較して定理を得る.