sin1°,cos1°を求めてみた！
まえがき
こんにちは。まぐな氏です。
三角関数には、加法定理というハイパー強い公式がありますよね。
この公式を組み合わせて、もし仮に$\sin1°,\cos1°$が求められれば、これを組み合わせて整数度の三角関数が求められる！！という事実にはどこかロマンを感じます。
そこで、今回は何とかして$\sin1°,\cos1°$の値を求めてみようと思います。
大丈夫です。三次方程式は使いません！!
ただし、オイラーの公式 を使いまくります。
$$\quad e^{ix}=\cos x+i \sin x$$
三角関数のオイラーの公式を用いた表現
$$\qquad\quad\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$
$$\qquad\quad\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$
これは代入して確かめてみよう！
本題
1.$\cos10°$の値を求める。
2.$\cos9°$の値を求める。
・36°を求める。
・9°を求める。
3.加法定理で$\cos1°$を求める。
$\sin10°,\cos10°$の値を求める。
$$\quad \cos10\degree=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}-i}{2}}\ \ \right)$$
$$\quad \sin10\degree=\frac{1}{2i}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}-i}{2}}\ \ \right)$$
\begin{align}
\qquad \cos\frac{\pi}{18}
&=\frac{e^{i\pi/18}+e^{-i\pi/18}}{2}\\[1mm]
&=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{e^{i\pi/6}}+\sqrt[3]{e^{-i\pi/6}}\right)\\[2mm]
&=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}-i}{2}}\ \ \right)
\end{align}
\begin{align}
\qquad \sin\frac{\pi}{18}
&=\frac{e^{i\pi/18}-e^{-i\pi/18}}{2i}\\[1mm]
&=\frac{1}{2i}\left(\sqrt[3]{e^{i\pi/6}}-\sqrt[3]{e^{-i\pi/6}}\right)\\[2mm]
&=\frac{1}{2i}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}-i}{2}}\ \ \right)
\end{align}
$\cos9\degree$の値を求める。
先に$36°$を求め、$45°-36°=9°$を用いて$9°$を求めることを考える。
$\sin36°,\cos36°$の値を求める。
$$\quad \sin36°=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$$
$$\quad \cos36°=\frac{1+\sqrt5}{4}$$
$\displaystyle x=\frac{\pi}{5}$であるとすると、$2x=\pi-3x$であるから、
\begin{align}
\qquad\quad \sin2x&=\sin (\pi-3x)\\
&=\sin3x\\
2\sin x\cos x&=3\sin x-4\sin^3x (二倍角と三倍角の公式)\\
2\cos x&=3-4\sin^2x (\sin x\neq0より)\\
2\cos x&=3-4(1-\cos^2x)\\
2\cos x&=-1+4\cos^2x\\
\therefore 4\cos^2x-&2\cos x-1=0
\end{align}
この二次方程式を解いて、
$$\quad\cos \frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt5}{4}$$
また、$\displaystyle \sin^2x=1-\cos^2x$より、
\begin{align}
\quad\sin\frac{\pi}{5}&=\sqrt{1-\frac{(1+\sqrt5)^2}{16}}\\
&=\sqrt{1-\frac{6+2\sqrt{5}}{16}}\\
&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}
\end{align}
$\sin9°,\cos9°$の値を求める。
$$\quad \sin9°=\frac{1+\sqrt5}{4\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{4}$$
$$\quad \cos9°=\frac{1+\sqrt5}{4\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{4}$$
\begin{align} \qquad \cos\frac{\pi}{20} &=\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{5}\right)\\ &=\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{5}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{5}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1+\sqrt5}{4}+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\right)\\ &=\frac{1+\sqrt5}{4\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{4} \end{align}
\begin{align} \qquad \sin\frac{\pi}{20} &=\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{5}\right)\\ &=\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{5}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos\frac{\pi}{5}-\sin\frac{\pi}{5}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1+\sqrt5}{4}-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\right)\\ &=\frac{1+\sqrt5}{4\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{4} \end{align}
漸く準備が整いましたね！
最後に我らが加法定理でトドメです！！
$\sin1°,\cos1°$の値を求める。
\begin{align}
\quad \sin1°&=\sin(10°-9°)\\
&=\sin10°\cos9°-\cos10°\sin9°\\
&=\quad \frac{1}{2i}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}-i}{2}}\ \ \right)\left(\frac{1+\sqrt5}{4\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{4}\right)\\
&\ \quad -\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}-i}{2}}\ \ \right)\left(\frac{1+\sqrt5}{4\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{4}\right)
\end{align}
\begin{align}
\quad \cos1°&=\cos(10°-9°)\\
&=\cos10°\cos9°+\sin10°\sin9°\\
&=\quad \frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}-i}{2}}\ \ \right)\left(\frac{1+\sqrt5}{4\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{4}\right)\\
&\ \quad +\frac{1}{2i}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}+i}{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}-i}{2}}\ \ \right)\left(\frac{1+\sqrt5}{4\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{4}\right)
\end{align}
お疲れさまでした。
あとがき
最後まで読んで頂きありがとうございます！
$\sin1°$を求める記事やサイトは数個見かけますが、三次方程式を用いてるものが多く、三次方程式なんて知らねぇよ！！って人は読み飛ばすか、三次方程式を学ぶしか無かったので、三次方程式を用いずに解く方法を紹介しました。面白かったらいいねを押して下さると嬉しいです！！
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
