世界一簡単な『1+2+3+4+…=-1/12』の証明

はじめに

YouTubeか何かで見たやつをまとめてみますね。
数式って、入力がめんどくさいけど、このシステム作った方々には感謝と尊敬。
間隔とか、うまいこと表示されるかな？

行くよー！

まずはー、
$S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+\cdots$
って置くよ。
そうして$S$の両辺を４倍して、右辺は１個ずつ間隔を空けます。
無限に項があるから、頑張って書いてね。
それができたら、$S$から$4S$を引くんだ。
こんなふうにね。
$S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+\cdots$
$$\begin{gathered} -)4S= \\ 4+8+12+16+20+24\cdots \end{gathered}$$
$--------------------------------\cdots$
$-3S=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+\cdots$

そうするとほら、$-3S$が出たよ。
ここまでで５合目くらいかな。
次は、右辺の先頭から１つずつずらした$-3S$を用意して、
元の$-3S$と上下で足し算するよ。

$-3S=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+\cdots$
$+)-3S=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+\cdots$
$--------------------------------\cdots$
$-6S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots$

やったー！$-6S$が出たねー。
これで８合目くらいかなー。もうちょいだよー、がんばー！
ここまで来たら、さっき$-3S$でやったみたいに、
右辺の先頭から１つずつずらした$-6S$を用意して、
元の$-6S$と上下で足し算するよ。

$-6S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-\cdots$
$+)-6S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-\cdots$
$--------------------------------\cdots$
$-12S=1+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0\cdots$

出たー！$-12S$ぅー!!
ここで『$+0+0\cdots$なんて書かんでええやん！』ってツッコミを
いただきそうですけど、『縦に足したら０ですねん』って感じで。
まぁまぁ、ここらで９合目ってことにして$\cdots$。
さぁ、最後やー！両辺を$-12$で割ったるでー！
ジャン！

$S=-\frac{1}{12}$

出た出たー！$S$ぅー!!　$S=1+2+3+4+\cdots$の$S$ぅー!!
ってことで、

$1+2+3+4+\cdots =-\frac{1}{12}$

が証明できたってことにしてもええかなー？

結びに

すみません、書いてるうちに『夢をかなえるゾウ』に出てくる
ガネーシャの気持ちになってしもたわ。
最後まで読んでくれておおきにー！