世界一簡単な『1+2+3+4+…=-1/12』の証明

はじめに

YouTubeか何かで見たやつをまとめてみますね。
数式って、入力がめんどくさいけど、このシステム作った方々には感謝と尊敬。
間隔とか、うまいこと表示されるかな？

行くよー！

まずはー、
$ S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+ \cdots $
って置くよ。
そうして$S$の両辺を４倍して、右辺は１個ずつ間隔を空けます。
無限に項があるから、頑張って書いてね。
それができたら、$S$から$4S$を引くんだ。
こんなふうにね。
$ \quad \ \ \ \quad S= \ 1+2+3+4+5 \ +6+7+8+9+10+11+12+ \cdots $
$-) \ \quad 4S= \ \ \ \\ \quad 4 \ \ \ \quad +8 \ \ \quad +12 \ \quad +16 \ \ \quad +20 \ \quad \quad +24 \quad \cdots $
$--------------------------------\cdots $
$ \ \quad -3S=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+ \cdots $

そうするとほら、$-3S$が出たよ。
ここまでで５合目くらいかな。
次は、右辺の先頭から１つずつずらした$-3S$を用意して、
元の$-3S$と上下で足し算するよ。

$ \ \quad -3S=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+ \cdots $
$ +) -3S= \ \ \ \quad 1-2+3-4+5-6+7-8 \ \ +9-10+11-12+ \cdots $
$--------------------------------\cdots $
$ \ \quad -6S=1-1+1-1+1-1+1-1+1 \ \ -1 \ \ +1 \ \ -1 \ \ + \cdots $

やったー！$-6S$が出たねー。
これで８合目くらいかなー。もうちょいだよー、がんばー！
ここまで来たら、さっき$-3S$でやったみたいに、
右辺の先頭から１つずつずらした$-6S$を用意して、
元の$-6S$と上下で足し算するよ。

$ \ \quad -6S=1-1+1-1+1-1+1-1+1- \cdots $
$ +) -6S= \ \ \ \quad 1-1+1-1+1-1+1-1+1- \cdots $
$--------------------------------\cdots $
$ \quad -12S=1+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0 \cdots $

出たー！$-12S$ぅー!!
ここで『$ +0+0 \cdots $なんて書かんでええやん！』ってツッコミを
いただきそうですけど、『縦に足したら０ですねん』って感じで。
まぁまぁ、ここらで９合目ってことにして$ \cdots $。
さぁ、最後やー！両辺を$-12$で割ったるでー！
ジャン！

$ \quad S=-\frac{1}{12} $

出た出たー！$S$ぅー!!　$S=1+2+3+4+ \cdots $の$S$ぅー!!
ってことで、

$ \quad 1+2+3+4+ \cdots =-\frac{1}{12} $

が証明できたってことにしてもええかなー？

結びに

すみません、書いてるうちに『夢をかなえるゾウ』に出てくる
ガネーシャの気持ちになってしもたわ。
最後まで読んでくれておおきにー！