Galois接続について

[示すこと: $\phi_*(0) = 0$]
$\i$$\forall y \in \Lambda_1, \ \phi_*(0) \le y \iff 0 \le \phi^*(y)$である。
$\i$$0 \le \phi^*(y)$はすべての$y$で成り立つから、$\phi_*(0) \le y$もすべての$y$で成り立つ。
$\i$よって、$\phi_*(0) = 0$

[示すこと: $\phi^*(1) = 1$]
$\i$$\forall x \in \Lambda_0, \ \phi_*(x) \le 1 \iff x \le \phi^*(1)$である。
$\i$$\phi_*(x) \le 1$はすべての$x$で成り立つから、$x \le \phi^*(1)$もすべての$x$で成り立つ。
$\i$よって、$\phi^*(1) = 1$

[示すこと: $x \le \phi^* \phi_*(x) \qquad(\forall x \in \Lambda_0)$]
$\i$$x \in \Lambda_0$を任意に取り、$y := \phi_*(x)$とおく。
$\i$$\phi_*(x) \le \phi_*(x)$は自明に成り立つ。
$\i$Galois接続の定義($y = \phi_*(x)$の場合)より、これは$x \le \phi^*(\phi_*(x))$と同値である。

[示すこと: $\phi_* \phi^*(y) \le y \qquad(\forall y \in \Lambda_1)$]
$\i$$y \in \Lambda_1$を任意に取り、$x := \phi^*(y)$とおく。
$\i$$\phi^*(y) \le \phi^*(y)$は自明に成り立つ。
$\i$Galois接続の定義($x = \phi^*(y)$の場合)より、これは$\phi_*(\phi^*(y)) \le y$と同値である。

[示すこと: $\phi_* \phi^* \phi_* = \phi_*$]
$\i$$x \in \Lambda_0$を任意に取る。
$\i$[示すこと: $\phi_* \phi^* \phi_*(x) \le \phi_*(x)$]
$\ii$随伴不等式の2つ目を$y := \phi_*(x)$に適用すると、$\phi_* \phi^*(\phi_*(x)) \le \phi_*(x)$を得る。

$\i$[示すこと: $\phi_*(x) \le \phi_* \phi^* \phi_*(x)$]
$\ii$随伴不等式の1つ目より$x \le \phi^* \phi_*(x)$
$\ii$両辺に$\phi_*$を適用すると、$\phi_*$は順序を保つから、$\phi_*(x) \le \phi_* \phi^* \phi_*(x)$を得る。
$\i$以上より$\phi_* \phi^* \phi_*(x) = \phi_*(x)$

[示すこと: $\phi^* \phi_* \phi^* = \phi^*$]
$\i$$y \in \Lambda_1$を任意に取る。

$\i$[示すこと: $\phi^* \phi_* \phi^*(y) \le \phi^*(y)$]
$\ii$随伴不等式の2つ目より$\phi_* \phi^*(y) \le y$
$\ii$両辺に$\phi^*$を適用すると、$\phi_*$は順序を保つから、$\phi^* \phi_* \phi^*(y) \le \phi^*(y)$を得る。

$\i$[示すこと: $\phi^*(y) \le \phi^* \phi_* \phi^*(y)$]
$\ii$随伴不等式の1つ目を$x := \phi^*(y)$に適用すると、$\phi^*(y) \le \phi^* \phi_*(\phi^*(y))$を得る。

$\i$以上より$\phi^* \phi_* \phi^*(y) = \phi^*(y)$

[示すこと: $\phi_*(x \vee x') = \phi_*(x) \vee \phi_*(x')$]
$\i$[示すこと: $\ge$]
$\ii$$\phi_*$が順序を保つことより$\phi_*(x) \le \phi_*(x \vee x')$かつ$\phi_*(x') \le \phi_*(x \vee x')$
$\ii$ゆえに$\phi_*(x) \vee \phi_*(x') \le \phi_*(x \vee x')$

$\i$[示すこと: $\le$]
$\ii$随伴不等式の1つ目と$\phi^*$が順序を保つことより$x \le \phi^* \phi_*(x) \le \phi^*(\phi_*(x) \vee \phi_*(x'))$
$\ii$同様に$x' \le \phi^*(\phi_*(x) \vee \phi_*(x'))$
$\ii$ゆえに$x \vee x' \le \phi^*(\phi_*(x) \vee \phi_*(x'))$
$\ii$Galois接続の定義より、これは$\phi_*(x \vee x') \le \phi_*(x) \vee \phi_*(x')$と同値である。

[示すこと: $\phi^*(y \wedge y') = \phi^*(y) \wedge \phi^*(y')$]
$\i$[示すこと: $\le$]
$\ii$$\phi^*$が順序を保つことより$\phi^*(y \wedge y') \le \phi^*(y)$かつ$\phi^*(y \wedge y') \le \phi^*(y')$
$\ii$ゆえに$\phi^*(y \wedge y') \le \phi^*(y) \wedge \phi^*(y')$

$\i$[示すこと: $\ge$]
$\ii$随伴不等式の2つ目と$\phi_*$が順序を保つことより$\phi_*(\phi^*(y) \wedge \phi^*(y')) \le \phi_* \phi^*(y) \le y$
$\ii$同様に$\phi_*(\phi^*(y) \wedge \phi^*(y')) \le y'$
$\ii$ゆえに$\phi_*(\phi^*(y) \wedge \phi^*(y')) \le y \wedge y'$
$\ii$Galois接続の定義より、これは$\phi^*(y) \wedge \phi^*(y') \le \phi^*(y \wedge y')$と同値である。

[示すこと: $\chi \circ \phi$はGalois接続であること]

$\i$順序を保つ写像同士の合成は順序を保つ。
$\i$$x \in \Lambda_0, \ z \in \Lambda_2$を任意に取る。

$\i$$\chi_* \phi_*(x) \le z$
$\i$$\i$$\iff \phi_*(x) \le \chi^*(z)$($\chi$がGalois接続だから)
$\i$$\i$$\iff x \le \phi^* \chi^*(z)$($\phi$がGalois接続だから)

$\psi \circ (\chi \circ \phi) = (\psi_*, \psi^*) \circ ((\chi_*, \chi^*) \circ (\phi_*, \phi^*)) = (\psi_*, \psi^*) \circ (\chi_* \circ \phi_*, \phi^* \circ \chi^*) = (\psi_* \circ \chi_* \circ \phi_*, \phi^* \circ \chi^* \circ \psi^*)$
$(\psi \circ \chi) \circ \phi = ((\psi_*, \psi^*) \circ (\chi_*, \chi^*)) \circ (\phi_*, \phi^*) = (\psi_* \circ \chi_*, \chi^* \circ \psi^*) \circ (\phi_*, \phi^*) = (\psi_* \circ \chi_* \circ \phi_*, \phi^* \circ \chi^* \circ \psi^*)$

$\id_\Lambda$は順序を保つ。
$x \in \Lambda$を取る。

$x \le \id_\Lambda(x)$は常に成り立つ。
$\id_\Lambda(x) \le x$も常に成り立つ。

よって、$\id_\Lambda(x) \le x \iff x \le \id_\Lambda(x)$

[示すこと: $\Id_{\Lambda_1} \circ \phi = \phi$]
$\i$合成の定義より$\Id_{\Lambda_1} \circ \phi = (\id_{\Lambda_1} \circ \phi_*, \ \phi^* \circ \id_{\Lambda_1})$
$\i$$\id_{\Lambda_1} \circ \phi_* = \phi_*$かつ$\phi^* \circ \id_{\Lambda_1} = \phi^*$であるから、$\Id_{\Lambda_1} \circ \phi = (\phi_*, \phi^*) = \phi$

[示すこと: $\phi \circ \Id_{\Lambda_0} = \phi$]
$\i$合成の定義より$\phi \circ \Id_{\Lambda_0} = (\phi_* \circ \id_{\Lambda_0}, \ \id_{\Lambda_0} \circ \phi^*)$
$\i$$\phi_* \circ \id_{\Lambda_0} = \phi_*$かつ$\id_{\Lambda_0} \circ \phi^* = \phi^*$であるから、$\phi \circ \Id_{\Lambda_0} = (\phi_*, \phi^*) = \phi$

[示すこと: $\implies$]
$\i$$x \in \Lambda$を取る。

$\i$[示すこと: $x \le \phi^*(x)$]
$\ii$$\phi$はGalois接続だから、$\phi_*(x) \le x \iff x \le \phi^*(x)$
$\ii$$x = \phi_*(x) \le x$は真だから、$x \le \phi^*(x)$

$\i$[示すこと: $\phi^*(x) \le x$]
$\ii$$\phi$はGalois接続だから、$\phi_*(\phi^*(x)) \le x \iff \phi^*(x) \le \phi^*(x)$
$\ii$$\phi^*(x) \le \phi^*(x)$は真だから、$\phi_*(\phi^*(x)) = \phi^*(x) \le x$

[示すこと: $\impliedby$]
$\i$略

[示すこと: $\forall x \in \Lambda_0, \forall y \in \Lambda_1, 0(x) \le y \iff x \le 1(y)$]
$\i$$x \in \Lambda_0,\ y \in \Lambda_1$を取る。
$\i$両辺とも成り立つからok.

[示すこと: 1 $\implies$ 2]
$\i$このとき、$\forall x \in \Lambda_0,\ x \le \phi^*(0)$
$\i$よって、$\forall x \in \Lambda_0,\ \phi_*(x) \le 0$
$\i$すなわち、$\forall x \in \Lambda_0,\ \phi_*(x) = 0$

[示すこと: 2 $\impliedby$ 1]
$\i$このとき、$\forall y \in \Lambda_1,\ \phi_*(1) \le y$
$\i$よって、$\forall y \in \Lambda_1,\ 1 \le \phi^*(y)$
$\i$よって、$\forall y \in \Lambda_1,\ 1 = \phi^*(y)$

[示すこと: 1 $\implies$ 3]
$\i$明らか。

[示すこと: 1 $\impliedby$ 3]
$\i$このとき、$\forall y \in \Lambda_1,\ 0 \le y$
$\i$$\phi^*$は順序を保つから、$\forall y \in \Lambda_1,\ 1 = \phi^*(0) \le \phi^*(y)$
$\i$よって、$\forall y \in \Lambda_1,\ \phi^*(y) = 1$

[示すこと: 2 $\implies$ 4]
$\i$明らか。

[示すこと: 2 $\impliedby$ 4]
$\i$このとき、$\forall x \in \Lambda_0,\ x \le 1$
$\i$$\phi_*$は順序を保つから、$\forall x \in \Lambda_0,\ \phi_*(x) \le \phi_*(1) = 0$
$\i$よって、$\forall x \in \Lambda_0,\ \phi_*(x) = 0$