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IMO201702の解説

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ここでは国際数学オリンピック2017(2)、関数等式の問題を解説していきます。解答に当たっては難しい箇所がいくつかあり、 こちらのサイト を大いに参照させていただきました。特におそらくこの問題のいちばんのハイライトであろうfの単射性を示すパートは殆ど丸パクリの状態になっています。なのでオリジナリティのない内容になってしまいましたが、個人的な備忘録として存在を許していただけると幸いです。

IMO201702

関数f:RRで、任意のx,yRについて等式
f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)
を満たすものを全て挙げなさい。

関数決定の常套手段の一つに「とりあえず良さげな値を代入してみる」というのがあります。そこでまずy=0を代入すると
f(f(x)f(0))+f(x)=f(0)
がわかり、次にx=0を代入してみると
f(f(0)2)=0
がわかります。さてここで「f(0)=0であって欲しい」と感じるのが人間です(定義)。しかしf(0)=0を第一の式に代入すると任意のxに対してf(x)=0になってしまいます。なのでf=0f(0)0のどちらかが満たされていることがわかります。以下f(0)0なものを見つけていきましょう。

さて関数決定の常套手段の一つとして「f(a)=0なるaを探す」というものがあります。特に今回はf(0)0なことがわかったばかりなので、「じゃあf(a)=0なるaは何なのか?(そもそも存在するか)」と考えるのは自然なことです。f(a)=0なるaを(とりあえず存在するとして)とり、x=aを代入すると
f(0)+f(a+y)=f(ay)
が成り立ちます。一見これがわかったからなんなんだと思いますが、f(0)0なこととyが任意だったことを思い出しましょう。ここで
y=aa1
を代入するとf(0)=0が従いまい矛盾します。なので矛盾を避けるにはa=1の場合しかありません。ここからf(a)=0なるaは(存在するなら)a=1のみなことがわかります。さて初めの段階でf(f(0)2)=0なことを言っていたので、これによって
f(0)=±1
f(1)=0
なことがわかりました。まずf(0)=1を満たすものを考えていきます。条件式にy=1を代入することで
1=f(0)=f(f(x)f(1))=f(x+1)f(x)
がわかります。

ここで関数等式の常套手段「とりあえず良さげな値を代入」を使っていきます。y=xを代入し、上で求めた式と合わせて
f(f(x)f(x))=f(x2)f(0)=f(x2)1=f(1x2)
がえられます。さてここでもし「fが単射である」ことがわかっていたとします。このとき上の式から
f(x)f(x)=1x2
がわかります。またy=1xを代入すると
f(f(x)f(1x))=f(x(1x))f(1)=f(x(1x))
であり、いま「fは単射である」ことがわかっている体で話をしていたので
f(x)+(1x2)=f(x)(1+f(x))=f(x)f(1x)=x(1x)
がわかります。以上からf(0)=1なる解はf(x)=1xなことがわかりました。さてf(0)=1なる解は、1を掛けると01を満たす解になることを考慮すれば、f(x)=x1なことがわかります。

さてラスボスはfの単射性です。これを示すために何ができるか考えていきましょう。まずfの単射性はf(0)=1の場合で示せばよかったですが、問題の式にy=1を代入すると
f(x+1)=f(x)1
がわかります。なので今から示すのはf(a)=f(b)ならばa=bであることですが、上記の漸化式によってa<1として大丈夫です。ここで2次方程式
X2bX+(a1)=0
を考えます。a<1の仮定からこの方程式は相異なる実数解r,sを持ち、これらは
r+s=b
rs=a1
を満たしています。元々の式に(x,y)=(r,s)を代入すると上の漸化式と合わせて
f(f(r)f(s))=f(b)+f(a1)=1
が従い、ここからf(r)f(s)=0が従い、前半の議論からr=1ないしs=1のいずれかが満たされています。このとき
a=rs+1=r+s=b
が従い、以上でfの単射性が示せました。

投稿日:202485
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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