Smooth Ergodic Theory を志す方へ

この記事の目的

この記事は smooth ergodic theory (Pesin theory, non-uniformly hyperbolic theory)に興味を持っている方の助けになれば良いなと思い書いています。

自分がSmooth ergodic theory を学び始めた当初、わかりやすい文献がなく、何から勉強したらいいのか...と苦労しました。さらに誤植が多すぎる。(なお、自分もまだ勉強中です。)
せっかく面白い理論であるのに、このハードルの高さから挫折してしまう方がいたら勿体ないと感じるため、そういった方の助けになる何かしらを作れたらなぁと少し前から思っていました。

この記事では、自分が学んだなりの Smooth ergodic theory についての overview のようなものを書きつつ、何かしら作った PDF を置いていきます。随時更新します。

Katok の 1980年の論文

この論文について

Katok の 「Lyapunov exponents, entropy and periodic orbits for diffeomorphisms」です。下のURLからアクセスできます。

https://www.numdam.org/item/10.1007/BF02684777.pdf

smooth ergodic theory へ入門したい方は、この論文を読むのは1つの選択肢かなと思います。
自分は、Katok, Hasselblatt の書籍「Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems」の supplement を最初におすすめされたのですが、定義やロジックが致命的におかしいと感じるところがありました。
Katok のこの論文は、似たような内容を扱っていて(というか supplement の元ネタだと思います)、致命的なミスは見当たらないので、supplement を読むならこちらのほうが良いんじゃないかなぁと思っています。

この論文を読むにあたって Katok Hasselblatt を参考にするのはとても良いと思います。

つくったPDF

https://drive.google.com/file/d/136J7fToX65JYV3uatoAFMimMIx3WMaPq/view?usp=drive_link

誤植を修正しつつ命題を少し見やすくまとめ、どういうモチベーションで各節が書かれているのかを短めに説明しています。原論文と若干違う主張をしている部分もあります。
証明はないですが、もし要望があれば追加します。
まだ更新途中です。(2026.06.16 現在)

現在(2026.06.16)セミナーでこの論文を扱っています。セミナーにおけるこの論文の発表者は自分だけなのですが、細かい定義や命題が多く、聴講者がそれを全て覚えているとは考え難いので、それらを振り返ることができるメモなどがあったほうが良いと思い作成した PDF です。