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新しい望遠鏡和の構成法

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あいさつ

んちゃ!
今回は、誰でも知っている望遠鏡和を元に魔改造していきます。
最終目標はWZ-methodに類似する方法を見つける事です。
それでは早速始めましょう。

表記
  1. N0:={0}N
  2. aK:aZ:={az|zZ}

元ネタ

まずは下記の誰でも知っている超簡単な級数について見てみましょう。

NN{2}:n=1m=1N1n+m1=1N1

An:=m=1N1n+m1,Bn=m=1N11n+m1とおくと
An=1N1m=2N11n+m1(1n1n+N1)=1N1(BnBn+1)

この級数をよく眺めてみますと下記の様に一般化出来ます。

任意の複素数列{an}nN0C{0},{bn}nN0Cに対して下記の式が成り立つ。
NN:n=1Man+N1bnanbn+N1bnbn+N1m=1Nbn+m1an+m1=m=1N1bmamm=1N1bM+maM+m

An:=m=1N1bn+m1an+m1とおくと下記の式が得られるので証明完了。
cnm=1Nbn+m1an+m1=bnbn+N1cnan+N1bnanbn+N1m=2N1bn+m1an+m1(bnanbn+N1an+N1)(cn=an+N1bnanbn+N1bnbn+N1)=AnAn+1

魔改造してみる

さっき求めた級数は右辺が項数に依存していない事に僕は不満を持ちました。
そこで右辺が、項数に依存する様に魔改造いたしましょう。
すると下記の式が得られます。

任意の複素数列{an}nN0,{bn}nN0C{0}に対して下記の式が成り立つ。
NN{1}:n=2N(a2n1bnanb2n1)b2na2nbnb2n1m=1na2mbn+m1an+m1b2m=1m=1Na2mbN+maN+mb2m

An:=m=1n1dmbn+m1an+m1とおくと下記の式が得られる。
cnm=1ndmbn+m1an+m1=bnb2n1cnd1dna2n1bnanb2n1m=2n1dmbn+m1an+m1(bnanb2n1a2n1)=bnb2n1cna2n1bnanb2n1(dnAna2nb2nAn+1)=bnb2n1cndna2n1bnanb2n1(Ana2nb2ndnAn+1)=AnAn+1
{cndn=a2n1bnanb2n1bnb2n1dn=a2nb2ncn=(a2n1bnanb2n1)b2na2nbnb2n1

そしてさっき得た式を用いると下記の様な驚くべき級数を得る事ができます!

下記の様に数列を定める。
ただし、Ak,Bk12Z
{an=k=1K(n2Ak)bn=k=1K(n2Bk)k=1KAk=k=1KBk
すると下記の計算が出来る。
n=2(a2n1bnanb2n1)b2na2nbnb2n1m=1na2mbn+m1an+m1b2m=1k=1KΓ(1Bk)Γ(1Ak)

特に次の様に記号を定めると
A,BZ,12Z:{an=(n2A)(n21+A)bn=(n2B)(n21+B)
1sinπAsinπB=3(AB)(A+B1)n=2(n1)2(nB)(n1+B)(nA)(n1+A)(n1+A)(n2B)(n2+2B)(n12B)(n32+B)m=1n(mA)(m1+A)(n+m12B)(n+m3+2B)(mB)(m1+B)(n+m12A)(n+m3+2A)

上記の公式だけでも十分面白いですが、さらにWZ-methodに類似した公式を発見できるように二重級数に一般化してみましょう。

WZ-methodに類似する望遠鏡和

以下の様に記号を定めます。
{Am,n=E(m,n)k=1m1l=1nbk,n+l1bm+k1,n+l1a2k1,n+l1a2k,n+l1ak,n+l1am+k1,n+l1b2k1,n+l1b2k,n+l1Bm,n=F(m,n)k=1m1l=1nbm+k1,lbm+k1,n+l1am+k1,2l1am+k1,2lam+k1,lam+k1,n+l1bm+k1,2l1bm+k1,2ll=1nam,n+l1b2m,n+l1bm,n+l1a2m,n+l1{E(m,n)E(m+1,n)}k=1ml=1nbk,n+l1a2k1,n+l1a2k,n+l1ak,n+l1b2k1,n+l1b2k,n+l1=k=1mam+k1,nbm+k1,2nbm+k1,nam+k1,2n{F(m,n)F(m,n+1)}k=1ml=1nbm+k1,lam+k1,2l1am+k1,2lam+k1,lbm+k1,2l1bm+k1,2l
すると下記の式が成り立ちます。
n=2N(A2,nAM+1,n)=m=2M(Bm,2Bm,N+1)

逆向きに辿る事で証明します。
[1]Am,n:=em,nk=1m1l=1ndk,lbm+k1,n+l1am+k1,n+l1の様におく。
Am,nAm+1,n=(k=1m1l=1ndk,lbm+k1,n+l1am+k1,n+l1)(em,nem+1,nl=1ndm,lam,n+l1b2m1,n+l1b2m,n+l1bm,n+l1a2m1,n+l1a2m,n+l1)=(k=1ml=1ndk,lbm+k1,n+l1am+k1,n+l1)(em,nl=1na2m1,n+l1dm,lb2m1,n+l1em+1,nl=1nam,n+l1b2m,n+l1bm,n+l1a2m,n+l1)
[2]Bm,n:=fm,nk=1ml=1n1dk,lbm+k1,n+l1am+k1,n+l1の様に置く。同じような計算を行うと
Bm,nBm,n+1=(k=1ml=1n1dk,lbm+k1,n+l1am+k1,n+l1)(fm,nfm,n+1k=1mdk,nam+k1,nbm+k1,2n1bm+k1,2nbm+k1,nam+k1,2n1am+k1,2n)=(k=1ml=1ndk,lbm+k1,n+l1am+k1,n+l1)(fm,nk=1mam+k1,2n1dk,nbm+k1,2n1fm,n+1k=1mam+k1,nbm+k1,2nbm+k1,nam+k1,2n)
[3]そこで以下の式が成り立つ様に定める。
em,nl=1na2m1,n+l1dm,lb2m1,n+l1em+1,nl=1nam,n+l1b2m,n+l1bm,n+l1a2m,n+l1=fm,nk=1mam+k1,2n1dk,nbm+k1,2n1fm,n+1k=1mam+k1,nbm+k1,2nbm+k1,nam+k1,2n
[4]さらに定数変化法により適当なE(m,n),F(m,n)を用いて下記の様に記号を定める。
{em,n=E(m,n)k=1m1l=1nbk,n+l1a2k1,n+l1a2k,n+l1dk,lak,n+l1b2k1,n+l1b2k,n+l1fm,n=F(m,n)k=1ml=1n1bm+k1,lam+k1,2l1am+k1,2ldk,lam+k1,lbm+k1,2l1bm+k1,2l
[5]E(m,n),F(m,n)は下記の等式を満たすように設定する。
l=1nam,n+l1b2m,n+l1bm,n+l1a2m,n+l1{E(m,n)E(m+1,n)}k=1ml=1nbk,n+l1a2k1,n+l1a2k,n+l1ak,n+l1b2k1,n+l1b2k,n+l1=k=1mam+k1,nbm+k1,2nbm+k1,nam+k1,2n{F(m,n)F(m,n+1)}k=1ml=1nbm+k1,lam+k1,2l1am+k1,2lam+k1,lbm+k1,2l1bm+k1,2l
[6]上記の性質を満たすE(m,n),F(m,n)を定めると下記の結論が得られる。
{Am,n=E(m,n)k=1m1l=1nbk,n+l1bm+k1,n+l1a2k1,n+l1a2k,n+l1ak,n+l1am+k1,n+l1b2k1,n+l1b2k,n+l1Bm,n=F(m,n)k=1m1l=1nbm+k1,lbm+k1,n+l1am+k1,2l1am+k1,2lam+k1,lam+k1,n+l1bm+k1,2l1bm+k1,2ll=1nam,n+l1b2m,n+l1bm,n+l1a2m,n+l1{E(m,n)E(m+1,n)}k=1ml=1nbk,n+l1a2k1,n+l1a2k,n+l1ak,n+l1b2k1,n+l1b2k,n+l1=k=1mam+k1,nbm+k1,2nbm+k1,nam+k1,2n{F(m,n)F(m,n+1)}k=1ml=1nbm+k1,lam+k1,2l1am+k1,2lam+k1,lbm+k1,2l1bm+k1,2l

検証
とりあえず一番簡単そうな条件で検証してみます。
[1]
{am,n=qAm+Bnbm,n=1
[2-1]
l=1nam,n+l1b2m,n+l1bm,n+l1a2m,n+l1=l=1nqAm+B(n+l1)q2Am+B(n+l1)=l=1nqAm=qAmn
[2-2]
k=1ml=1nbk,n+l1a2k1,n+l1a2k,n+l1ak,n+l1b2k1,n+l1b2k,n+l1=k=1ml=1nqA(2k1)+B(n+l1)q2Ak+B(n+l1)qAk+B(n+l1)=k=1ml=1nqBn+3Ak+BlAB=qmn(BnAB)k=1ml=1nq3Ak+Bl=qmn(BnAB)q32Amn(m+1)q12Bmn(n+1)=qmn(32Am+32Bn+12A12B)=qmn2(3Am+3Bn+AB)
[2-3]
qAmnqmn2(3Am+3Bn+AB)=qmn2(3Am+3BnAB)
[3]同様の計算をすることで結局下記の式が得られる。
E(m,n)E(m+1,n)=F(m,n)F(m,n+1)
[4]
Am,n=E(m,n)k=1m1l=1nbk,n+l1bm+k1,n+l1a2k1,n+l1a2k,n+l1ak,n+l1am+k1,n+l1b2k1,n+l1b2k,n+l1=E(m,n)k=1m1l=1nqA(2k1)+B(n+l1)q2Ak+B(n+l1)qAk+B(n+l1)qA(m+k1)+B(n+l1)=E(m,n)k=1m1l=1nqAm+2Ak=E(m,n)
[5]同様の計算により
Bm,n=F(m,n)が得られる...
[6]結局[3]より確かに
n=2N(A2,nAM+1,n)=n=2N{E(2,n)E(M+1,n)}=m=2Mn=2N{E(m,n)E(m+1,n)}=m=2Mn=2N{F(m,n)F(m,n+1)}=m=2M{F(m,2)F(m,N+1)}=m=2M(Bm,2Bm,N+1)

最後に

どうでしたか?
誰でも知っている有名な級数から始めて、難しい理論を一切使わずにWZ-methodに類似する新しい望遠鏡和の構成法を構築できました。興味深い級数を得ることが出来ました。
ただ、WZ-methodに類似する新しい望遠鏡和の構成法に関しては失敗しました。
この失敗自体は残しておくので、新しい方法を思いついた方はぜひ教えてください。
それではばいちゃ!

投稿日:527
更新日:61
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