新しい望遠鏡和の構成法
あいさつ
んちゃ！
今回は、誰でも知っている望遠鏡和を元に魔改造していきます。
最終目標はWZ-methodに類似する方法を見つける事です。
それでは早速始めましょう。
- $\mathbb{N}_{0}\coloneqq\{0\}\cup\mathbb{N}$
- $\forall a\in K:a\mathbb{Z}\coloneqq \{az|z\in\mathbb{Z}\}$
元ネタ
まずは下記の誰でも知っている超簡単な級数について見てみましょう。
\begin{equation} \forall N\in\mathbb{N}\setminus\{2\}:\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{m=1}^{N}\frac{1}{n+m-1}=\frac{1}{N-1} \end{equation}
$A_{n}\coloneqq \prod_{m=1}^{N}\frac{1}{n+m-1},B_{n}=\prod_{m=1}^{N-1}\frac{1}{n+m-1}$とおくと
\begin{eqnarray}
A_{n}&=&\frac{1}{N-1}\prod_{m=2}^{N-1}\frac{1}{n+m-1}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+N-1})\\
&=&\frac{1}{N-1}(B_{n}-B_{n+1})
\end{eqnarray}
この級数をよく眺めてみますと下記の様に一般化出来ます。
任意の複素数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}\subset\mathbb{C}\setminus\{0\},\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}\subset\mathbb{C}$に対して下記の式が成り立つ。
\begin{equation}
\forall N\in\mathbb{N}:\sum_{n=1}^{M}\frac{a_{n+N-1}b_{n}-a_{n}b_{n+N-1}}{b_{n}b_{n+N-1}}\prod_{m=1}^{N}\frac{b_{n+m-1}}{a_{n+m-1}}=\prod_{m=1}^{N-1}\frac{b_{m}}{a_{m}}-\prod_{m=1}^{N-1}\frac{b_{M+m}}{a_{M+m}}
\end{equation}
$A_{n}\coloneqq \prod_{m=1}^{N-1}\frac{b_{n+m-1}}{a_{n+m-1}}$とおくと下記の式が得られるので証明完了。
\begin{eqnarray}
c_{n}\prod_{m=1}^{N}\frac{b_{n+m-1}}{a_{n+m-1}}&=&\frac{b_{n}b_{n+N-1}c_{n}}{a_{n+N-1}b_{n}-a_{n}b_{n+N-1}}\prod_{m=2}^{N-1}\frac{b_{n+m-1}}{a_{n+m-1}}(\frac{b_{n}}{a_{n}}-\frac{b_{n+N-1}}{a_{n+N-1}})\quad(c_{n}=\frac{a_{n+N-1}b_{n}-a_{n}b_{n+N-1}}{b_{n}b_{n+N-1}})\\
&=&A_{n}-A_{n+1}
\end{eqnarray}
魔改造してみる
さっき求めた級数は右辺が項数に依存していない事に僕は不満を持ちました。
そこで右辺が、項数に依存する様に魔改造いたしましょう。
すると下記の式が得られます。
任意の複素数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}},\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}\subset\mathbb{C}\setminus\{0\}$に対して下記の式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\forall N\in\mathbb{N}\setminus\{1\}:\sum_{n=2}^{N}\frac{(a_{2n-1}b_{n}-a_{n}b_{2n-1})b_{2n}}{a_{2n}b_{n}b_{2n-1}}\prod_{m=1}^{n}\frac{a_{2m}b_{n+m-1}}{a_{n+m-1}b_{2m}}=1-\prod_{m=1}^{N}\frac{a_{2m}b_{N+m}}{a_{N+m}b_{2m}}
\end{eqnarray}
$A_{n}\coloneqq \prod_{m=1}^{n-1}d_{m}\frac{b_{n+m-1}}{a_{n+m-1}}$とおくと下記の式が得られる。
\begin{eqnarray}
c_{n}\prod_{m=1}^{n}d_{m}\frac{b_{n+m-1}}{a_{n+m-1}}&=&\frac{b_{n}b_{2n-1}c_{n}d_{1}d_{n}}{a_{2n-1}b_{n}-a_{n}b_{2n-1}}\prod_{m=2}^{n-1}d_{m}\frac{b_{n+m-1}}{a_{n+m-1}}(\frac{b_{n}}{a_{n}}-\frac{b_{2n-1}}{a_{2n-1}})\\
&=&\frac{b_{n}b_{2n-1}c_{n}}{a_{2n-1}b_{n}-a_{n}b_{2n-1}}(d_{n}A_{n}-\frac{a_{2n}}{b_{2n}}A_{n+1})\\
&=&\frac{b_{n}b_{2n-1}c_{n}d_{n}}{a_{2n-1}b_{n}-a_{n}b_{2n-1}}(A_{n}-\frac{a_{2n}}{b_{2n}d_{n}}A_{n+1})\\
&=&A_{n}-A_{n+1}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
c_{n}d_{n}=\frac{a_{2n-1}b_{n}-a_{n}b_{2n-1}}{b_{n}b_{2n-1}}\\
d_{n}=\frac{a_{2n}}{b_{2n}}\\
c_{n}=\frac{(a_{2n-1}b_{n}-a_{n}b_{2n-1})b_{2n}}{a_{2n}b_{n}b_{2n-1}}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
そしてさっき得た式を用いると下記の様な驚くべき級数を得る事ができます！
下記の様に数列を定める。
ただし、$A_{k},B_{k}\not\in\frac{1}{2}\mathbb{Z}$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n}=\prod_{k=1}^{K}(\frac{n}{2}-A_{k})\\
b_{n}=\prod_{k=1}^{K}(\frac{n}{2}-B_{k})\\
\sum_{k=1}^{K}A_{k}=\sum_{k=1}^{K}B_{k}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
すると下記の計算が出来る。
\begin{equation}
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(a_{2n-1}b_{n}-a_{n}b_{2n-1})b_{2n}}{a_{2n}b_{n}b_{2n-1}}\prod_{m=1}^{n}\frac{a_{2m}b_{n+m-1}}{a_{n+m-1}b_{2m}}=1-\prod_{k=1}^{K}\frac{\Gamma(1-B_{k})}{\Gamma(1-A_{k})}
\end{equation}
特に次の様に記号を定めると
\begin{eqnarray}
\forall A,B\not\in\mathbb{Z},\frac{1}{2}\mathbb{Z}:\left\{
\begin{array}{l}
a_{n}=(\frac{n}{2}-A)(\frac{n}{2}-1+A)\\
b_{n}=(\frac{n}{2}-B)(\frac{n}{2}-1+B)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\begin{equation}
1-\frac{\sin{\pi A}}{\sin{\pi B}}=3(A-B)(A+B-1)\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(n-1)^{2}(n-B)(n-1+B)}{(n-A)(n-1+A)(n-1+A)(n-2B)(n-2+2B)(n-\frac{1}{2}-B)(n-\frac{3}{2}+B)}\prod_{m=1}^{n}\frac{(m-A)(m-1+A)(n+m-1-2B)(n+m-3+2B)}{(m-B)(m-1+B)(n+m-1-2A)(n+m-3+2A)}
\end{equation}
上記の公式だけでも十分面白いですが、さらにWZ-methodに類似した公式を発見できるように二重級数に一般化してみましょう。
WZ-methodに類似する望遠鏡和
以下の様に記号を定めます。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A_{m,n}=E(m,n)\prod_{k=1}^{m-1}\prod_{l=1}^{n}\frac{b_{k,n+l-1}b_{m+k-1,n+l-1}a_{2k-1,n+l-1}a_{2k,n+l-1}}{a_{k,n+l-1}a_{m+k-1,n+l-1}b_{2k-1,n+l-1}b_{2k,n+l-1}}\\
B_{m,n}=F(m,n)\prod_{k=1}^{m-1}\prod_{l=1}^{n}\frac{b_{m+k-1,l}b_{m+k-1,n+l-1}a_{m+k-1,2l-1}a_{m+k-1,2l}}{a_{m+k-1,l}a_{m+k-1,n+l-1}b_{m+k-1,2l-1}b_{m+k-1,2l}}\\
\prod_{l=1}^{n}\frac{a_{m,n+l-1}b_{2m,n+l-1}}{b_{m,n+l-1}a_{2m,n+l-1}}\{E(m,n)-E(m+1,n)\}\prod_{k=1}^{m}\prod_{l=1}^{n}\frac{b_{k,n+l-1}a_{2k-1,n+l-1}a_{2k,n+l-1}}{a_{k,n+l-1}b_{2k-1,n+l-1}b_{2k,n+l-1}}
=\prod_{k=1}^{m}\frac{a_{m+k-1,n}b_{m+k-1,2n}}{b_{m+k-1,n}a_{m+k-1,2n}}\{F(m,n)-F(m,n+1)\}\prod_{k=1}^{m}\prod_{l=1}^{n}\frac{b_{m+k-1,l}a_{m+k-1,2l-1}a_{m+k-1,2l}}{a_{m+k-1,l}b_{m+k-1,2l-1}b_{m+k-1,2l}}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
すると下記の式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\sum_{n=2}^{N}(A_{2,n}-A_{M+1,n})=\sum_{m=2}^{M}(B_{m,2}-B_{m,N+1})
\end{eqnarray}
逆向きに辿る事で証明します。
[1]$A_{m,n}\coloneqq e_{m,n}\prod_{k=1}^{m-1}\prod_{l=1}^{n}d_{k,l}\frac{b_{m+k-1,n+l-1}}{a_{m+k-1,n+l-1}}$の様におく。
\begin{eqnarray}
A_{m,n}-A_{m+1,n}&=&(\prod_{k=1}^{m-1}\prod_{l=1}^{n}d_{k,l}\frac{b_{m+k-1,n+l-1}}{a_{m+k-1,n+l-1}})(e_{m,n}-e_{m+1,n}\prod_{l=1}^{n}d_{m,l}\frac{a_{m,n+l-1}b_{2m-1,n+l-1}b_{2m,n+l-1}}{b_{m,n+l-1}a_{2m-1,n+l-1}a_{2m,n+l-1}})\\
&=&(\prod_{k=1}^{m}\prod_{l=1}^{n}d_{k,l}\frac{b_{m+k-1,n+l-1}}{a_{m+k-1,n+l-1}})(e_{m,n}\prod_{l=1}^{n}\frac{a_{2m-1,n+l-1}}{d_{m,l}b_{2m-1,n+l-1}}-e_{m+1,n}\prod_{l=1}^{n}\frac{a_{m,n+l-1}b_{2m,n+l-1}}{b_{m,n+l-1}a_{2m,n+l-1}})
\end{eqnarray}
[2]$B_{m,n}\coloneqq f_{m,n}\prod_{k=1}^{m}\prod_{l=1}^{n-1}d_{k,l}\frac{b_{m+k-1,n+l-1}}{a_{m+k-1,n+l-1}}$の様に置く。同じような計算を行うと
\begin{eqnarray}
B_{m,n}-B_{m,n+1}&=&(\prod_{k=1}^{m}\prod_{l=1}^{n-1}d_{k,l}\frac{b_{m+k-1,n+l-1}}{a_{m+k-1,n+l-1}})(f_{m,n}-f_{m,n+1}\prod_{k=1}^{m}d_{k,n}\frac{a_{m+k-1,n}b_{m+k-1,2n-1}b_{m+k-1,2n}}{b_{m+k-1,n}a_{m+k-1,2n-1}a_{m+k-1,2n}})\\
&=&(\prod_{k=1}^{m}\prod_{l=1}^{n}d_{k,l}\frac{b_{m+k-1,n+l-1}}{a_{m+k-1,n+l-1}})(f_{m,n}\prod_{k=1}^{m}\frac{a_{m+k-1,2n-1}}{d_{k,n}b_{m+k-1,2n-1}}-f_{m,n+1}\prod_{k=1}^{m}\frac{a_{m+k-1,n}b_{m+k-1,2n}}{b_{m+k-1,n}a_{m+k-1,2n}})
\end{eqnarray}
[3]そこで以下の式が成り立つ様に定める。
\begin{equation}
e_{m,n}\prod_{l=1}^{n}\frac{a_{2m-1,n+l-1}}{d_{m,l}b_{2m-1,n+l-1}}-e_{m+1,n}\prod_{l=1}^{n}\frac{a_{m,n+l-1}b_{2m,n+l-1}}{b_{m,n+l-1}a_{2m,n+l-1}}=f_{m,n}\prod_{k=1}^{m}\frac{a_{m+k-1,2n-1}}{d_{k,n}b_{m+k-1,2n-1}}-f_{m,n+1}\prod_{k=1}^{m}\frac{a_{m+k-1,n}b_{m+k-1,2n}}{b_{m+k-1,n}a_{m+k-1,2n}}
\end{equation}
[4]さらに定数変化法により適当な$E(m,n),F(m,n)$を用いて下記の様に記号を定める。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
e_{m,n}=E(m,n)\prod_{k=1}^{m-1}\prod_{l=1}^{n}\frac{b_{k,n+l-1}a_{2k-1,n+l-1}a_{2k,n+l-1}}{d_{k,l}a_{k,n+l-1}b_{2k-1,n+l-1}b_{2k,n+l-1}}\\
f_{m,n}=F(m,n)\prod_{k=1}^{m}\prod_{l=1}^{n-1}\frac{b_{m+k-1,l}a_{m+k-1,2l-1}a_{m+k-1,2l}}{d_{k,l}a_{m+k-1,l}b_{m+k-1,2l-1}b_{m+k-1,2l}}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[5]$E(m,n),F(m,n)$は下記の等式を満たすように設定する。
\begin{eqnarray}
&\prod_{l=1}^{n}&\frac{a_{m,n+l-1}b_{2m,n+l-1}}{b_{m,n+l-1}a_{2m,n+l-1}}\{E(m,n)-E(m+1,n)\}\prod_{k=1}^{m}\prod_{l=1}^{n}\frac{b_{k,n+l-1}a_{2k-1,n+l-1}a_{2k,n+l-1}}{a_{k,n+l-1}b_{2k-1,n+l-1}b_{2k,n+l-1}}\\
&=&\prod_{k=1}^{m}\frac{a_{m+k-1,n}b_{m+k-1,2n}}{b_{m+k-1,n}a_{m+k-1,2n}}\{F(m,n)-F(m,n+1)\}\prod_{k=1}^{m}\prod_{l=1}^{n}\frac{b_{m+k-1,l}a_{m+k-1,2l-1}a_{m+k-1,2l}}{a_{m+k-1,l}b_{m+k-1,2l-1}b_{m+k-1,2l}}
\end{eqnarray}
[6]上記の性質を満たす$E(m,n),F(m,n)$を定めると下記の結論が得られる。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A_{m,n}=E(m,n)\prod_{k=1}^{m-1}\prod_{l=1}^{n}\frac{b_{k,n+l-1}b_{m+k-1,n+l-1}a_{2k-1,n+l-1}a_{2k,n+l-1}}{a_{k,n+l-1}a_{m+k-1,n+l-1}b_{2k-1,n+l-1}b_{2k,n+l-1}}\\
B_{m,n}=F(m,n)\prod_{k=1}^{m-1}\prod_{l=1}^{n}\frac{b_{m+k-1,l}b_{m+k-1,n+l-1}a_{m+k-1,2l-1}a_{m+k-1,2l}}{a_{m+k-1,l}a_{m+k-1,n+l-1}b_{m+k-1,2l-1}b_{m+k-1,2l}}\\
\prod_{l=1}^{n}\frac{a_{m,n+l-1}b_{2m,n+l-1}}{b_{m,n+l-1}a_{2m,n+l-1}}\{E(m,n)-E(m+1,n)\}\prod_{k=1}^{m}\prod_{l=1}^{n}\frac{b_{k,n+l-1}a_{2k-1,n+l-1}a_{2k,n+l-1}}{a_{k,n+l-1}b_{2k-1,n+l-1}b_{2k,n+l-1}}
=\prod_{k=1}^{m}\frac{a_{m+k-1,n}b_{m+k-1,2n}}{b_{m+k-1,n}a_{m+k-1,2n}}\{F(m,n)-F(m,n+1)\}\prod_{k=1}^{m}\prod_{l=1}^{n}\frac{b_{m+k-1,l}a_{m+k-1,2l-1}a_{m+k-1,2l}}{a_{m+k-1,l}b_{m+k-1,2l-1}b_{m+k-1,2l}}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{m,n}=q^{Am+Bn}\\ b_{m,n}=1 \end{array} \right. \end{eqnarray}
[2-1]
\begin{eqnarray} \prod_{l=1}^{n}\frac{a_{m,n+l-1}b_{2m,n+l-1}}{b_{m,n+l-1}a_{2m,n+l-1}}&=&\prod_{l=1}^{n}\frac{q^{Am+B(n+l-1)}}{q^{2Am+B(n+l-1)}}\\ &=&\prod_{l=1}^{n}q^{-Am}\\ &=&q^{-Amn} \end{eqnarray}
[2-2]
\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^{m}\prod_{l=1}^{n}\frac{b_{k,n+l-1}a_{2k-1,n+l-1}a_{2k,n+l-1}}{a_{k,n+l-1}b_{2k-1,n+l-1}b_{2k,n+l-1}}&=&\prod_{k=1}^{m}\prod_{l=1}^{n}\frac{q^{A(2k-1)+B(n+l-1)}q^{2Ak+B(n+l-1)}}{q^{Ak+B(n+l-1)}}\\ &=&\prod_{k=1}^{m}\prod_{l=1}^{n}q^{Bn+3Ak+Bl-A-B}\\ &=&q^{mn(Bn-A-B)}\prod_{k=1}^{m}\prod_{l=1}^{n}q^{3Ak+Bl}\\ &=&q^{mn(Bn-A-B)}q^{\frac{3}{2}Amn(m+1)}q^{\frac{1}{2}Bmn(n+1)}\\ &=&q^{mn(\frac{3}{2}Am+\frac{3}{2}Bn+\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B)}\\ &=&q^{\frac{mn}{2}(3Am+3Bn+A-B)} \end{eqnarray}
[2-3]
\begin{eqnarray} q^{-Amn}q^{\frac{mn}{2}(3Am+3Bn+A-B)}&=&q^{\frac{mn}{2}(3Am+3Bn-A-B)} \end{eqnarray}
[3]同様の計算をすることで結局下記の式が得られる。
\begin{equation} E(m,n)-E(m+1,n)=F(m,n)-F(m,n+1) \end{equation}
[4]
\begin{eqnarray} A_{m,n}&=&E(m,n)\prod_{k=1}^{m-1}\prod_{l=1}^{n}\frac{b_{k,n+l-1}b_{m+k-1,n+l-1}a_{2k-1,n+l-1}a_{2k,n+l-1}}{a_{k,n+l-1}a_{m+k-1,n+l-1}b_{2k-1,n+l-1}b_{2k,n+l-1}}\\ &=&E(m,n)\prod_{k=1}^{m-1}\prod_{l=1}^{n}\frac{q^{A(2k-1)+B(n+l-1)}q^{2Ak+B(n+l-1)}}{q^{Ak+B(n+l-1)}q^{A(m+k-1)+B(n+l-1)}}\\ &=&E(m,n)\prod_{k=1}^{m-1}\prod_{l=1}^{n}q^{-Am+2Ak}\\ &=&E(m,n) \end{eqnarray}
[5]同様の計算により
\begin{equation} B_{m,n}=F(m,n) \end{equation}が得られる...
[6]結局[3]より確かに
\begin{eqnarray} \sum_{n=2}^{N}(A_{2,n}-A_{M+1,n})&=&\sum_{n=2}^{N}\{E(2,n)-E(M+1,n)\}\\ &=&\sum_{m=2}^{M}\sum_{n=2}^{N}\{E(m,n)-E(m+1,n)\}\\ &=&\sum_{m=2}^{M}\sum_{n=2}^{N}\{F(m,n)-F(m,n+1)\}\\ &=&\sum_{m=2}^{M}\{F(m,2)-F(m,N+1)\}\\ &=&\sum_{m=2}^{M}(B_{m,2}-B_{m,N+1}) \end{eqnarray}
最後に
どうでしたか？
誰でも知っている有名な級数から始めて、難しい理論を一切使わずにWZ-methodに類似する新しい望遠鏡和の構成法を構築できました。興味深い級数を得ることが出来ました。
ただ、WZ-methodに類似する新しい望遠鏡和の構成法に関しては失敗しました。
この失敗自体は残しておくので、新しい方法を思いついた方はぜひ教えてください。
それではばいちゃ!
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
