非整数階時間微分を含む非線形拡散方程式における質量保存則

$u = u_1 - u_2$, $v = \Phi(u_1) - \Phi(u_2)$とおき, $\e > 0$に対して$C^\infty$関数
\begin{equation} H_{\e}(y) = \sqrt{y^2 + {\e}^2} - {\e}^2,\ \ y \in \R \end{equation}
を導入する. よって,
\begin{equation} H_{\e}'(y) = \frac{y}{\sqrt{y^2 + {\e}^2}},\ \ \ H_{\e}''(y) = \frac{{\e}^2}{(y^2+{\e}^2)^{3/2}},\ \ y \in \R \end{equation}
である. 特に, $H_{\e}$は凸関数であり, $H_{\e}', H_{\e}''$は有界である. よって, テスト関数に$H_{\e}(v) \in L^2(0,T; H_0^1(\om)) \cap L^\infty(Q_T)$を用いると,
\begin{equation} \int_0^t\int_{\om}H_{\e}'(v)\ds I^{1-\alpha}[u(x,\cdot)-u_0(x)](s)\ dxds + \int_0^t\int_{\om}|\nabla v(x,s)|^2H_{\e}''(v)\ dxds = 0 \end{equation}
が得られ, 左辺第2項は非負であることがわかる. ここで,
\begin{multline} \int_0^t\int_{\om}H_{\e}'(v)\ds I^{1-\alpha}[u(x,\cdot)-u_0(x)](s)\ dxds \\ = \int_0^t\int_{\om}H_{\e}'(u)\ds\biggl(g_{\alpha,n}*[u(x,\cdot)-u_0(x)]\biggl)(s)\ dxds + \int_0^t\int_{\om}H_{\e}'(u)\ds\biggl((g_{\alpha}-g_{\alpha,n})*[u(x,\cdot)-u_0(x)]\biggl)(s)\ dxds \\ \hspace{7cm} + \int_0^t\int_{\om}(H_{\e}'(v) - H_{\e}'(u))\ds\biggl(g_{\alpha}*[u(x,\cdot)-u_0(x)]\biggl)(s)\ dxds \\ =: \int_0^t\int_{\om}H_{\e}'(u)\ds\biggl(g_{\alpha,n}*[u(x,\cdot)-u_0(x)]\biggl)(s)\ dxds + I_{n} + I_{\e}, \end{multline}
とすると, $H_{\e}$の凸性からLemma 1より
\begin{align} \int_0^t\int_{\om}H_{\e}'(u)\ds\biggl(g_{\alpha,n}*[u(x,\cdot)-u_0(x)]\biggl)(s)\ dxds & \geqslant \int_0^t\int_{\om}\ds\biggl(g_{\alpha,n}*[H_{\e}(u)-H_{\e}(u_0)]\biggl)(x,s)\ dxds \\ & = \int_{\om}\biggl(g_{\alpha,n}*[H_{\e}(u)-H_{\e}(u_0)]\biggl)(x,t)\ dx \\ & = \biggl(g_{\alpha,n}*\left[\int_{\om}H_{\e}(u)\ dx - \int_{\om}H_{\e}(u_0)\ dx\right]\biggl)(t) \end{align}
と評価できる. したがって,
\begin{equation} \biggl(g_{\alpha,n}*\left[\int_{\om}H_{\e}(u)\ dx\right]\biggl)(t) \leqslant \|g_{\alpha,n}\|_{L^1(0,T)}\int_{\om}H_{\e}(u_0)\ dx + |I_{\e}| + |I_n| \end{equation}
が得られるので, $n\to\infty$とすれば, $I_n \to 0$より,
\begin{equation} I^{1-\alpha}\left[\int_{\om}H_{\e}(u)\ dx\right](t) \leqslant G_{\alpha}(T)\int_{\om}H_{\e}(u_0)\ dx + |I_{\e}| \end{equation}
となる. 最後に, $\e \to 0$とすれば, $H_{\e}(y) \to |y|$ and $H_{\e}(y) \leqslant |y|$ for all $y \in \R$であるので, 優収束定理より
\begin{equation} I^{1-\alpha}\left[\int_{\om}H_{\e}(u)\ dx\right](t) \to I^{1-\alpha}\left[\int_{\om}|u(x,\cdot)|\ dx\right](t)\ \ {\rm as}\ \ \e \to 0, \end{equation}
\begin{equation} \int_{\om}H_{\e}(u_0)\ dx \to \|u_0\|_{L^1(\om)}\ \ {\rm as}\ \ \e \to 0 \end{equation}
が得られる. 最後の項は, まず
\begin{align} I_{\e} & \leqslant \int_0^T\int_{\om}|H_{\e}'(v) - H_{\e}'(u)|\left|\caputo u(x,t)\right|\ dxdt \\ & \leqslant \|H_{\e}'(v) - H_{\e}'(u)\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))}\|\caputo u\|_{L^2(0,T; H^{-1}(\om))} \end{align}
とできるので,
\begin{align} \|H_{\e}'(v) - H_{\e}'(u)\|_{L^2(0,T; H_0^1(\om))} \to 0\ \ {\rm as}\ \ \e \to 0 \end{align}
を示せばよい. $|H_{\e}'(y)| \leqslant 1$, $H_{\e}'(y) \to {\rm sign}(y)$ as $\e\to0$であるので, 優収束定理から
\begin{equation} \|H_{\e}'(v) - H_{\e}'(u)\|_{L^2(0,T; L^2(\om))} \to \|{\rm sign}(\Phi(u_1) - \Phi(u_2)) - {\rm sign}(u_1 - u_2)\|_{L^2(0,T; L^2(\om))} = 0\ \ {\rm as}\ \ \e \to 0 \end{equation}
となる. さらに, $|H_{\e}''(y)| \leqslant 1$, $H_{\e}''(y) \to 0$ as $\e \to 0$, かつ $H_{\e}''(v)\nabla v \in L^2(0,T; L^2(\om))$, $H_{\e}''(u)\nabla u \in L^2(0,T; L^2(\om))$なので,
\begin{equation} \|\nabla H_{\e}'(v) - \nabla H_{\e}'(u)\|_{L^2(0,T; L^2(\om))} = \|H_{\e}''(v)\nabla v - H_{\e}''(u)\nabla u\|_{L^2(0,T; L^2(\om))} \to 0\ \ {\rm as}\ \ \e\to0 \end{equation}
となる. したがって,
\begin{equation} I^{1-\alpha}\|u_1(t) - u_2(t)\|_{L^1(\om)} \leqslant G_{\alpha}(T)\|u_{0,1} - u_{0,2}\|_{L^1(\om)} \end{equation}
が得られるので, 両辺$\alpha$階積分すれば, 式\eqref{3}の証明が完了する. 次に\eqref{3}は, テスト関数として$H_{\e}'(v)\zeta$を用いて同様に計算すれば証明することができる. $\square$

$u_n \in L^\infty(Q_T) \cap L^2(0,T; H_0^1(\om))$を近似問題
\begin{equation} \begin{cases} \caputo u_n = \Delta\Phi_n(u_n) & {\rm in}\ \ Q_T,\\ u_n = 0 & {\rm on}\ \ \Sigma_T,\\ u_n = u_{0,n} & {\rm on}\ \ \om\times\{t=0\} \end{cases} \end{equation}
の弱解とする. このとき, 前章の議論より,
\begin{equation} \|u_n - u_m\|_{L^1(0,T; L^1(\om))} \leqslant C\|u_{0,n} - u_{0,m}\|_{L^1(\om)}, \end{equation}
\begin{equation} \|\Phi_n(u_n) - \Phi_m(u_m)\|_{L^1(0,T; L^1(\om))} \leqslant C\|\zeta\|_{L^\infty(\om)}\|u_{0,n} - u_{0,m}\|_{L^1(\om)} \end{equation}
が成立する. 故に, $n,m\to\infty$とすれば,
\begin{equation} \|u_n - u_m\|_{L^1(0,T; L^1(\om))} + \|\Phi_n(u_n) - \Phi_m(u_m)\|_{L^1(0,T; L^1(\om))} \to 0\ \ {\rm as}\ \ n,m\to\infty \end{equation}
を得るので, $\{u_n\}$, $\{\Phi_n(u_n)\}$は$L^1(0,T; L^1(\om))$上のCauchy列である. したがって,
\begin{equation} u_n \to u\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^1(0,T; L^1(\om))\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty, \end{equation}
\begin{equation} \Phi_n(u_n) \to \Phi(u)\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^1(0,T; L^1(\om))\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty \end{equation}
となる$u, \Phi(u)$が一意に存在する. 得られた$u$が等式\eqref{4}をみたしていることを確認する. Youngの不等式より
\begin{align} & \left|\int_0^T\int_{\om}I^{1-\alpha}[u_n(x,\cdot) - u_{0,n}(x)](t)\varphi_t(x,t)\ dxdt - \int_0^T\int_{\om}I^{1-\alpha}[u(x,\cdot) - u_{0}(x)](t)\varphi_t(x,t)\ dxdt\right| \\ & \leqslant \|\varphi_t\|_{L^\infty(Q_T)}\|g_{\alpha}\|_{L^1(0,T)}\|(u_n - u_{0,n}) - (u - u_0)\|_{L^1(0,T; L^1(\om))} \\ & \to 0\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty, \end{align}
\begin{align} \left|\int_0^T\int_{\om}\Phi_n(u_n)\Delta\varphi(x,t)\ dxdt - \int_0^T\int_{\om}\Phi(u)\Delta\varphi(x,t)\ dxdt\right| & \leqslant \|\Delta\varphi\|_{L^\infty(Q_T)}\|\Phi_n(u_n) - \Phi(u)\|_{L^1(0,T; L^1(\om))} \\ & \to 0\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty \end{align}
とできる. 一意性は, $L^1$-contraction principleからしたがうので, 定理の証明が完了した. $\square$

カットオフ関数$\zeta_n \in C^{\infty}(\R^N)$を
\begin{equation} \zeta_n(x) = \begin{cases} 1 & {\rm if}\ \ 0 \leqslant |x| \leqslant n-1,\\ 0 & {\rm if}\ \ |x| \geqslant n, \end{cases} \ \ \ \ \ 0 \leqslant \zeta_n \leqslant 1 \end{equation}
と定義し, $J_{\e}$をmollifierとする. さらに,
\begin{equation} u_{0,n}(x) = (J_{1/n}*u_0)(x)\zeta_n(x) \end{equation}
とした初期値境界値問題
\begin{equation}\label{pn}\tag{$P_n$} \begin{cases} \caputo u_{n,k} = \Delta\Phi_k(u_{n,k}) & {\rm in}\ \ B_n\times(0,T) =: Q_n,\\ u_{n,k} = 0 & {\rm on}\ \ \partial B_n\times[0,T] =: \Sigma_n,\ \ {\rm and}\ \ {\rm outside}\ \ B_n, \\ u_{n,k} = u_{0,n} & {\rm on}\ \ B_n\times\{t=0\} \end{cases} \end{equation}
を考える. ただし, $B_n$は半径$n$の$N$次元球である. このとき, 問題\eqref{pn}は前回の議論から非負な弱解$u_{n,k} \in L^\infty(Q_n) \cap L^2(0,T; H_0^1(\om))$が一意に存在し,
\begin{equation} u_{n,k} \to u_n\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^1(0,T; L^1(B_n))\ \ {\rm as}\ \ k \to \infty \end{equation}
となる$u_n \in L^1(0,T; L^1(B_n))$が一意に存在する. $\{u_n\}$が$L^1(0,T; L^1(\R^N))$上のCauchy列であることを示す. $n > m$とすると, $u_n,u_m$に対して
\begin{align} \|u_n - u_m\|_{L^1(0,T; L^1(\R^N))} & = \|u_n - u_m\|_{L^1(0,T; L^1(B_n))} \\ & \leqslant T\|u_{0,n} - u_{0,m}\|_{L^1(B_n)} \\ & \to T\|u_0 - u_{0,m}\|_{L^1(\R^N)}\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty, \\ & \to 0\ \ {\rm as}\ \ m \to \infty \end{align}
と評価できる. よって,
\begin{equation} u_n \to u\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^1(0,T; L^1(\R^N))\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty \end{equation}
となる$u \in L^1(0,T; L^1(\R^N))$が一意に存在する. 次に, $\{\Phi(u_n)\}$が$L^1(0,T; L_{loc}^1(\R^N))$上のCauchy列であることを示す. $C_0>0$を任意定数とする. $\xi \in C_0^\infty(\R^N)$を
\begin{equation} \xi(x) = \left[1 - \frac{|x|^2}{C_0^2}\right]_+ \end{equation}
とすると, $0 \leqslant \xi \leqslant 1$であり, $\Delta\xi(x) = -\dfrac{2N}{C_0^2}$ if $|x| \leqslant C_0 =: K$である. 故に, 問題\eqref{pn}の弱形式においてテスト関数を$H_{\e}''(\Phi(u_n)-\Phi(u_m))\xi(x)$とすれば, $n > m$のときweighted $L^1$-contraction principleより
\begin{align} \|\Phi(u_n)-\Phi(u_m)\|_{L^1(0,T; L^1(\R^N\cap K))} & = \|\Phi(u_n) - \Phi(u_m)\|_{L^1(0,T; L^1(B_n\cap K))} \\ & \leqslant C(C_0,N,T)\|u_{0,n}-u_{0,m}\|_{L^1(B_n)} \\ & \to 0\ \ {\rm as}\ \ n,m \to \infty \end{align}
とできる. $C_0$の任意性より,
\begin{equation} \Phi(u_n) \to \Phi(u)\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^1(0,T; L_{loc}^1({\R}^N)) \end{equation}
となる$\Phi(u) \in L^1(0,T; L_{loc}^1(\R^N))$が一意に存在する. 得られた$u$が等式\eqref{6}をみたすことは前章と同様に計算すればよい. 最後に一意性を証明する. $u_1$, $u_2$を問題\eqref{cp}の$L^1$-solutionとし, $\{u_{1,n}\}, \{u_{2,n}\}$を
\begin{equation} u_{1,n}, u_{2,n} \to u_1, u_2\ \ {\rm strongly\ in}\ \ L^1(0,T; L^1(\R^N))\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty \end{equation}
をみたすものとする. このとき,
\begin{align} \|u_1-u_2\|_{L^1(0,T; L^1(\R^N))} & = \lim_{n\to\infty}\|u_{1,n}-u_{2,n}\|_{L^1(0,T; L^1(B_n))} \\ & \leqslant T\lim_{n\to\infty}\|u_{01,n}-u_{02,n}\|_{L^1(B_n)} \\ & = T\|u_{0,1}-u_{0,2}\|_{L^1(\R^N)} \end{align}
と評価できるので, $u_{0,1} = u_{0,2}$ a.e. in $\R^N$とすれば, $u_1 = u_2$ a.e. in $\R^N\times(0,T)$が得られる. 以上で定理の証明が完了した. $\square$

$u_{n,k} \in L^\infty(Q_n) \cap L^2(0,T; H_0^1(\om))$を問題\eqref{pn}の弱解とする. このとき, $\dfrac{(t-s)^{\alpha}}{\Gamma(1+\alpha)}\zeta_n(x)$をテスト関数とすると,
\begin{multline} \int_0^t\frac{(t-s)^{\alpha}}{\Gamma(1+\alpha)}\int_{B_n}\dt I^{1-\alpha}[u_{n,k}(x,\cdot) - u_{0,n}(x)](s)\zeta_n(x)\ dxds \\ = \int_0^t\frac{(t-s)^{\alpha}}{\Gamma(1+\alpha)}\int_{B_n}u_{n,k}^m(x,t)\Delta\zeta_n(x)\ dxds\ \ {\rm for\ all}\ \ t \in (0,T) \end{multline}
となる. $I^{1+\alpha} = \left(\dfrac{t^{\alpha}}{\Gamma(1+\alpha)}*\cdot\right)$かつ, 加法性$I^{1+\alpha} = I^{\alpha}I$を用いると,
\begin{equation} \int_0^t\int_{B_n}\bigl(u_{n,k}(x,s)-u_{0,n}(x)\bigl)\ dxds = \int_0^t\frac{(t-s)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^s\int_{B_n}u_{n,k}^m(x,\tau)\Delta \zeta_n(x)\ dxd\tau ds \end{equation}
が得られるので, $k\to\infty$とすれば, $u_{n,k},u_{n,k}^m \to u_n, u_n^m$ strongly in $L^1(0,T; L^1(B_n))$ as $k \to \infty$であるので,
\begin{equation} \int_0^t\int_{B_n}\bigl(u_{n}(x,s)-u_{0,n}(x)\bigl)\ dxds = \int_0^t\frac{(t-s)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^s\int_{B_n\setminus B_{n-1}}u_{n}^m(x,\tau)\Delta\zeta_n(x)\ dxd\tau ds \end{equation}
を得る. よって, $m > 1$のときは十分大きな$n$に対して$|u^m| \leqslant \e$であるので,
\begin{equation} \left|\int_0^t\int_{B_n}\bigl(u_{n}(x,s)-u_{0,n}(x)\bigl)\ dxds\right| = \left|\int_0^t\frac{(t-s)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^s\int_{B_n\setminus B_{n-1}}u_{n}^m(x,\tau)\Delta\zeta_n(x)\ dxd\tau ds\right| \to 0\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty \end{equation}
となる. 故に, 任意の$t \in (0,T)$に対して
\begin{equation} \left|\int_0^t\int_{\R^N}\bigl(u(x,s)-u_0(x)\bigl)\ dxds\right| = 0 \end{equation}
が得られる. これにより, $h > 0$とし, 任意の$t, t+h \in (0,T)$に対して
\begin{equation} \frac{1}{h}\left|\int_t^{t+h}\int_{\R^N}\bigl(u(x,s)-u_0(x)\bigl)\ dxds\right| = 0 \end{equation}
であるので, $h \to 0$とすれば, Lebesgueの微分定理より
\begin{equation} \int_{\R^N}\bigl(u(x,t)-u_0(x)\bigl)\ dx = 0\ \ \ {\rm a.e.}\ \ t \in (0,T) \end{equation}
がしたがう. $h < 0$のときも同様である. よって, $m>1$の場合の証明が得られた. 一方, $\dfrac{N-2}{N} < m < 1$のときは,
\begin{align} \left|\int_0^t\int_{B_n}\bigl(u_{n}(x,s)-u_{0,n}(x)\bigl)\ dxds\right| & = \left|\int_0^t\frac{(t-s)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^s\int_{B_n\setminus B_{n-1}}u_{n}^m(x,\tau)\Delta\zeta_n(x)\ dxd\tau ds\right| \\ & \leqslant \int_0^t\frac{(t-s)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^s\|u_n(\tau)\|_{L^1(B_n\setminus B_{n-1})}^m\|\Delta\zeta_n\|_{L^{\frac{1}{1-m}}(B_n\setminus B_{n-1})}\ d\tau ds \\ & \leqslant \|u_n\|_{L^1(0,T; L^1(B_n\setminus B_{n-1})}^m\|\Delta\zeta_n\|_{L^{\frac{1}{1-m}}(B_n\setminus B_{n-1})}\int_0^t\frac{(t-s)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}s^{1-m}\ ds \\ & \leqslant C(m,\alpha)T^{1+\alpha-m}\|u_n\|_{L^1(0,T; L^1(B_n\setminus B_{n-1})}^m\|\Delta\zeta_n\|_{L^{\frac{1}{1-m}}(B_n\setminus B_{n-1})} \end{align}
と評価できる. ここで, $\|\Delta\zeta_n\|_{L^{\frac{1}{1-m}}(B_n\setminus B_{n-1})} \to 0$ as $n \to \infty$を示す. 実際,
\begin{align} \left(\int_{B_n\setminus B_{n-1}}|\Delta\zeta_n(x)|^{\frac{1}{1-m}}\ dx\right)^{1-m} & = \left(\int_{B_n\setminus B_{n-1}}\left|\Delta\zeta\left(\frac{x}{n}\right)\right|^{\frac{1}{1-m}}\ dx\right)^{1-m} \\ & = n^{-2}\left(\int_{B_n\setminus B_{n-1}}\left|\Delta\zeta\left(\frac{x}{n}\right)\right|^{\frac{1}{1-m}}\ dx\right)^{1-m} \\ & = n^{-2+N(1-m)}\left(\int_{B_1\setminus B_{1-1/n}}\left|\Delta\zeta\left(y\right)\right|^{\frac{1}{1-m}}\ dy\right)^{1-m} \\ & \leqslant n^{-2+N(1-m)}C \to 0\ \ {\rm as}\ \ n \to \infty \end{align}
とできる. よって, 任意の$t \in (0,T)$に対して
\begin{equation} \left|\int_0^t\int_{\R^N}\bigl(u(x,s)-u_0(x)\bigl)\ dxds\right| = 0 \end{equation}
が得られる. これは$\|u(t)\|_{L^1(\R^N)} = \|u_0\|_{L^1(\R^N)}$ a.e. $t \in (0,T)$を意味する. $\square$