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Baileyによる有限和の3F2の和公式

まず, $_{3} F_{2}$ の和公式として, 次のWatsonの和公式が知られている.
$\begin{aligned} _{3} F_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ \frac{a + b + 1}{2}, 2 c \end{array}; 1] & = \frac{Γ (\frac{1}{2}) Γ (\frac{1}{2} + c) Γ (\frac{1 + a + b}{2}) Γ (\frac{1 - a - b}{2} + c)}{Γ (\frac{1 + a}{2}) Γ (\frac{1 + b}{2}) Γ (\frac{1 - a}{2} + c) Γ (\frac{1 - b}{2} + c)} \end{aligned}$

ここで, 左辺の $c \mapsto - n$ と極限を考えたとき, $2 n < k$ に対しては
$\begin{aligned} lim_{c \to - n} \frac{(c)_{k}}{(2 c)_{k}} & \neq 0 \end{aligned}$
なので, それは
$\begin{array}{r} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a, b, - n)_{k}}{k! {(\frac{a + b + 1}{2}, - 2 n)}_{k}} \end{array}$
に一致しない. それを閉形式で表すことができるのが次の公式である.

Bailey(1953)

正整数 $n$ に対して,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a, b, - n)_{k}}{k! {(\frac{a + b + 1}{2}, - 2 n)}_{k}} & = \frac{{(\frac{a + 1}{2}, \frac{b + 1}{2})}_{n}}{{(\frac{1}{2}, \frac{a + b + 1}{2})}_{n}} \end{aligned}$
が成り立つ.

Pfaffの変換公式
$\begin{aligned} (1 - x)^{d + n - 1}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x] & = (1 - x)^{d + n - b - 1}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} c - a, b \\ c \end{array}; \frac{x}{x - 1}] \end{aligned}$
の $x^{n}$ の係数を比較して得られる等式
$\begin{aligned} _{3} F_{2} [\begin{array}{c} a, b, - n \\ c, d \end{array}; 1] & = \frac{(d - b)_{n}}{(d)_{n}}_{3} F_{2} [\begin{array}{c} c - a, b, - n \\ c, 1 + b - d - n \end{array}; 1] \end{aligned}$
において, $c = \frac{a + b + 1}{2}, d = - 2 n$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a, b, - n)_{k}}{k! {(\frac{a + b + 1}{2}, - 2 n)}_{k}} & = \frac{(- 2 n - b)_{n}}{(- 2 n)_{n}}_{3} F_{2} [\begin{array}{c} \frac{b - a + 1}{2}, b, - n \\ \frac{a + b + 1}{2}, 1 + b + n \end{array}; 1] \end{aligned}$
ここで, Dixonの和公式より,
$\begin{aligned} _{3} F_{2} [\begin{array}{c} \frac{b - a + 1}{2}, b, - n \\ \frac{a + b + 1}{2}, 1 + b + n \end{array}; 1] & = \frac{(1 + b, \frac{1 + a}{2})_{n}}{(1 + \frac{b}{2}, \frac{1 + a + b}{2})_{n}} \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a, b, - n)_{k}}{k! {(\frac{a + b + 1}{2}, - 2 n)}_{k}} & = \frac{(- 2 n - b)_{n}}{(- 2 n)_{n}} \frac{(1 + b, \frac{1 + a}{2})_{n}}{(1 + \frac{b}{2}, \frac{1 + a + b}{2})_{n}} \\ = \frac{n! (1 + b)_{2 n}}{(2 n)!} \frac{(\frac{1 + a}{2})_{n}}{(1 + \frac{b}{2}, \frac{1 + a + b}{2})_{n}} \\ = \frac{(\frac{1 + a}{2}, \frac{1 + b}{2})_{n}}{(\frac{1}{2}, \frac{1 + a + b}{2})_{n}} \end{aligned}$
となって示される.