Baileyによる有限和の3F2の和公式
まず, ${}_3F_2$の和公式として, 次の
Watsonの和公式
が知られている.
\begin{align}
\F32{a,b,c}{\frac{a+b+1}2,2c}{1}&=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac 12+c\right)\Gamma\left(\frac{1+a+b}2\right)\Gamma\left(\frac{1-a-b}2+c\right)}{\Gamma\left(\frac{1+a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+b}2\right)\Gamma\left(\frac{1-a}2+c\right)\Gamma\left(\frac{1-b}2+c\right)}
\end{align}
ここで, 左辺の$c\mapsto -n$と極限を考えたとき, $2n< k$に対しては
\begin{align}
\lim_{c\to -n}\frac{(c)_k}{(2c)_k}&\neq 0
\end{align}
なので, それは
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,-n)_k}{k!\left(\frac{a+b+1}2,-2n\right)_k}
\end{align}
に一致しない. それを閉形式で表すことができるのが次の公式である.
正整数$n$に対して,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,-n)_k}{k!\left(\frac{a+b+1}2,-2n\right)_k}&=\frac{\left(\frac{a+1}2,\frac{b+1}2\right)_n}{\left(\frac 12,\frac{a+b+1}2\right)_n}
\end{align}
が成り立つ.
Pfaffの変換公式
\begin{align}
(1-x)^{d+n-1}\F21{a,b}{c}{x}&=(1-x)^{d+n-b-1}\F21{c-a,b}{c}{\frac{x}{x-1}}
\end{align}
の$x^n$の係数を比較して得られる等式
\begin{align}
\F32{a,b,-n}{c,d}1&=\frac{(d-b)_n}{(d)_n}\F32{c-a,b,-n}{c,1+b-d-n}1
\end{align}
において, $c=\frac{a+b+1}2, d=-2n$とすると,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,-n)_k}{k!\left(\frac{a+b+1}2,-2n\right)_k}&=\frac{(-2n-b)_n}{(-2n)_n}\F32{\frac{b-a+1}2,b,-n}{\frac{a+b+1}2,1+b+n}1
\end{align}
ここで, Dixonの和公式より,
\begin{align}
\F32{\frac{b-a+1}2,b,-n}{\frac{a+b+1}2,1+b+n}1&=\frac{(1+b,\frac{1+a}2)_n}{(1+\frac b2,\frac{1+a+b}2)_n}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,-n)_k}{k!\left(\frac{a+b+1}2,-2n\right)_k}&=\frac{(-2n-b)_n}{(-2n)_n}\frac{(1+b,\frac{1+a}2)_n}{(1+\frac b2,\frac{1+a+b}2)_n}\\
&=\frac{n!(1+b)_{2n}}{(2n)!}\frac{(\frac{1+a}2)_n}{(1+\frac b2,\frac{1+a+b}2)_n}\\
&=\frac{(\frac{1+a}2,\frac{1+b}2)_n}{(\frac 12,\frac{1+a+b}2)_n}
\end{align}
となって示される.
追記
Watsonの和公式
から直接導出することもできるのでそれについて書いておく.
\begin{align}
\F32{a,b,c}{\frac{a+b+1}2,2c}{1}&=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac 12+c\right)\Gamma\left(\frac{1+a+b}2\right)\Gamma\left(\frac{1-a-b}2+c\right)}{\Gamma\left(\frac{1+a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+b}2\right)\Gamma\left(\frac{1-a}2+c\right)\Gamma\left(\frac{1-b}2+c\right)}
\end{align}
において$c\to -n$とすると, 左辺は
Watsonの和公式
より,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,-n)_k}{k!\left(\frac{a+b+1}2,-2n\right)_k}+\lim_{c\to -n}\frac{(a,b,c)_{2n+1}}{\left(1,\frac{a+b+1}2,2c\right)_{2n+1}}\F43{1,a+2n+1,b+2n+1,c+2n+1}{\frac{a+b+1}2+2n+1,2c+2n+1,2n+2}1\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,-n)_k}{k!\left(\frac{a+b+1}2,-2n\right)_k}+\frac{(a,b)_{2n+1}(-n)_nn!}{2\left(1,\frac{a+b+1}2\right)_{2n+1}(-2n)_{2n}}\F32{a+2n+1,b+2n+1,n+1}{\frac{a+b+1}2+2n+1,2n+2}1\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,-n)_k}{k!\left(\frac{a+b+1}2,-2n\right)_k}+\frac{(-1)^n(a,b)_{2n+1}n!^2}{2\left(\frac{a+b+1}2\right)_{2n+1}(2n)!(2n+1)!}\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac 32+n\right)\Gamma\left(\frac{1+a+b}2+2n+1\right)\Gamma\left(\frac{1-a-b}2-n\right)}{\Gamma\left(1+\frac{a}2+n\right)\Gamma\left(1+\frac{b}2+n\right)\Gamma\left(1-\frac{a}2\right)\Gamma\left(1-\frac b2\right)}\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,-n)_k}{k!\left(\frac{a+b+1}2,-2n\right)_k}+\frac{\left(\frac{a+1}2,\frac{b+1}2\right)_n}{\left(\frac 12,\frac{a+b+1}2\right)_n}\frac{\pi\Gamma\left(\frac{1+a+b}2\right)\Gamma\left(\frac{1-a-b}2\right)}{\Gamma\left(\frac{a}2\right)\Gamma\left(\frac{b}2\right)\Gamma\left(1-\frac{a}2\right)\Gamma\left(1-\frac b2\right)}\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,-n)_k}{k!\left(\frac{a+b+1}2,-2n\right)_k}+\frac{\left(\frac{a+1}2,\frac{b+1}2\right)_n}{\left(\frac 12,\frac{a+b+1}2\right)_n}\frac{\sin\frac{\pi a}2\sin\frac{\pi b} 2}{\cos\frac{\pi(a+b)}2}
\end{align}
また, 右辺は
\begin{align}
&\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac 12-n\right)\Gamma\left(\frac{1+a+b}2\right)\Gamma\left(\frac{1-a-b}2-n\right)}{\Gamma\left(\frac{1+a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+b}2\right)\Gamma\left(\frac{1-a}2-n\right)\Gamma\left(\frac{1-b}2-n\right)}\\
&=\frac{\left(\frac{a+1}2,\frac{b+1}2\right)_n}{\left(\frac 12,\frac{a+b+1}2\right)_n}\frac{\pi\Gamma\left(\frac{1+a+b}2\right)\Gamma\left(\frac{1-a-b}2\right)}{\Gamma\left(\frac{1+a}2\right)\Gamma\left(\frac{1-a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+b}2\right)\Gamma\left(\frac{1-b}2\right)}\\
&=\frac{\left(\frac{a+1}2,\frac{b+1}2\right)_n}{\left(\frac 12,\frac{a+b+1}2\right)_n}\frac{\cos\frac{\pi a}2\cos\frac{\pi b} 2}{\cos\frac{\pi(a+b)}2}\\
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\sum_{k=0}^n\frac{(a,b,-n)_k}{k!\left(\frac{a+b+1}2,-2n\right)_k}&=\frac{\left(\frac{a+1}2,\frac{b+1}2\right)_n}{\left(\frac 12,\frac{a+b+1}2\right)_n}\frac{\cos\frac{\pi a}2\cos\frac{\pi b} 2-\sin\frac{\pi a}2\sin\frac{\pi b} 2}{\cos\frac{\pi(a+b)}2}\\
&=\frac{\left(\frac{a+1}2,\frac{b+1}2\right)_n}{\left(\frac 12,\frac{a+b+1}2\right)_n}
\end{align}
となって示される.
