n=8
Y0ne
氏による以下の問題をアレンジしてみよう。
で、一般的な式を考えてみる。
n=8
の並び替えである個の数の組と整数であって、以下の等式を満たすものをすべて求めよ。
式のとは一旦忘れて、を三つのグループに分けることを考える。
まず、の倍数はの二つのみである。もしとが異なるグループに属していたとすると、もも属さないグループもの倍数でなければならないが、これは不可能。よって、とは同じグループに属する。
次に、偶数はの四つある。四つすべてが同じグループに属しているとすると、残るはしかない。さすがに無理やろ。というわけで、三つのグループすべてに、少なくとも一つの偶数が属している。とが同じグループに属しているとすると、「と」「」「」は相異なるグループに属する。しかし、どのようにとを組み合わせるとしても、で割り切れる回数が合わない。同様の理由で、と、と、とも同じグループであることはあり得ない。したがって、とが同じグループであるか、とが同じグループであるか。場合分けやね。
① とが同じグループ
とが同じグループなので、結局「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる。あとはとを考えればよい(はどこに入れても同じなので無視)。「を含むグループ」にかが追加されるのはさすがに無理なので、「を含むグループ」と「を含むグループ」にとを追加してみる(通りある)。具体的に計算すると、 という解が見つかる。
② とが同じグループ
とが同じグループなので、結局「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる。あとは、とを追加することを考える。まあ高々通りなのでどうにでもなるが、をどれかに追加してで考えると絞りやすい(というやり方しか思いつかなかった)。例えば「を含むグループ」にを追加したとして、それぞれのグループに属する数の積はで「」「」「」と等しい。これらのどれにを追加してもで合わない。まあそういう感じでちまちま調べれば、結局解はないことがわかる。
以上より、と、その並び替えと、を適当に移動させたものがすべての解ということになる。
n=9
さて、を加えよう。
n=9
の並び替えである個の数の組と整数であって、以下の等式を満たすものをすべて求めよ。
先ほどと同様に、を三つのグループに分けることを考える。
が同じグループとする。さすがにももそれと同じグループということはないので、「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれるが、とをどう入れても無理。よって、どのグループにも偶数があるので、先ほどと同じ場合分けをしよう。
① とが同じグループ
が同じグループとすると、「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれるが、とをどう入れても無理。よって、は相異なるグループに属する。場合分け。
1-1:とが同じグループ
このとき、「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる。でとを追加できるパターンを絞れば、結局解はないことがわかる。
1-2:とが同じグループ
このとき、「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる。でとを追加できるパターンを絞れば、 と、 という二つの解が得られる。
② とが同じグループ
が同じグループとすると、「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれるが、とをどう入れても無理。よって、は相異なるグループに属する。が同じグループとすると、をどう入れても無理なので、「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれるしかない。
でとを追加できるパターンを絞れば、 という解が得られる。(5/26追記。
nissy
氏コメントにてご指摘あり。見落としてました。)
以上より、 か、 か、 の構造になるような数の並べ替えが解答となる。
n=10
さて、を加えよう。
n=10
の並び替えである個の数の組と整数であって、以下の等式を満たすものをすべて求めよ。
同じ考え方でいこう。偶数について、で割り切れる回数を考えると以下のパターンに限られる。
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
の倍数については、がすべて同じグループであるか、相異なるグループであるかである。
の倍数については、は同じグループに属していなければならない。
①「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
は同じグループなので、が同じグループである。しかし、それ以外の二つのグループの数の積の和は最大でもなので、無理である。
②「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
を考えると、以下のパターンがある。
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
しかし、いずれのパターンについても、どこにを入れても式は成立しない。
③「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
を考えると、以下のパターンがある。
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
しかし、いずれのパターンについても、どこにを入れても式は成立しない。
④「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
「を含むグループ」にが含まれるが、さらにかが入ることは無理(積が大きくなりすぎる)なので、「を含むグループ」にもも入るしかない。しかし、をどこに入れても式は成立しない。
⑤「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
を考えると、以下のパターンがある。
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
それぞれにを入れて計算してみると、 と、 という二つの解が得られる。
⑥「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
を考えると、以下のパターンがある。
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
・「を含むグループ」「を含むグループ」「を含むグループ」に分かれる
それぞれにを入れて計算してみると、 と、 という二つの解が得られる。⑤で得られた解について、とを入れ替えたやつやね。
以上より、解答は以下の四つそれぞれにを加えたものと、その並び替えである。
11以上のとき(5/26追記)
nissy
氏が、コメントにて、以上のときの結果を挙げてくださっている。解がない場合が意外と多い印象。解がない数に特徴はあるのだろうか?時間があれば考えたい。
終
解の個数についての一般論や、解を構成する一般的な方法はあるのだろうか……。私の行ったゴミみたいな場合分けをせずに何かわかる方法があれば、教えてください。