1×2×3×7×8＝4×9＋5×6×10

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n=8

　 Y0ne 氏による以下の問題をアレンジしてみよう。

OMCB037-A

　 $(0, 1, 2, \dots, 9)$ の並び替えである $10$ 個の数の組 $(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{9})$ であって、以下の等式を満たすものの個数を求めてください。
　 $a_{0} = a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} a_{7} + a_{8} a_{9}$
（ https://onlinemathcontest.com/contests/omcb037/tasks/13919 より）

　 $1, 2, \dots, 8$ で、一般的な式を考えてみる。

n=8

　 $(1, 2, \dots, 8)$ の並び替えである $8$ 個の数の組 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{8})$ と整数 $1 \leq i < j \leq 8$ であって、以下の等式を満たすものをすべて求めよ。
　 $a_{1} a_{2} \dots a_{i} = a_{i + 1} a_{i + 2} \dots a_{j} + a_{j + 1} a_{j + 2} \dots a_{8}$

　式の $=$ と $+$ は一旦忘れて、 $1, 2, \dots, 8$ を三つのグループに分けることを考える。
　まず、 $3$ の倍数は $3, 6$ の二つのみである。もし $3$ と $6$ が異なるグループに属していたとすると、 $3$ も $6$ も属さないグループも $3$ の倍数でなければならないが、これは不可能。よって、 $3$ と $6$ は同じグループに属する。
　次に、偶数は $2, 4, 6, 8$ の四つある。四つすべてが同じグループに属しているとすると、残るは $1, 3, 5, 7$ しかない。さすがに無理やろ。というわけで、三つのグループすべてに、少なくとも一つの偶数が属している。 $2$ と $4$ が同じグループに属しているとすると、「 $2$ と $4$ 」「 $6$ 」「 $8$ 」は相異なるグループに属する。しかし、どのように $=$ と $+$ を組み合わせるとしても、 $2$ で割り切れる回数が合わない。同様の理由で、 $2$ と $8$ 、 $6$ と $8$ 、 $4$ と $6$ も同じグループであることはあり得ない。したがって、 $2$ と $6$ が同じグループであるか、 $4$ と $8$ が同じグループであるか。場合分けやね。

① $2$ と $6$ が同じグループ
　 $6$ と $3$ が同じグループなので、結局「 $2, 3, 6$ を含むグループ」「 $4$ を含むグループ」「 $8$ を含むグループ」に分かれる。あとは $5$ と $7$ を考えればよい（ $1$ はどこに入れても同じなので無視）。「 $2, 3, 6$ を含むグループ」に $5$ か $7$ が追加されるのはさすがに無理なので、「 $4$ を含むグループ」と「 $8$ を含むグループ」に $5$ と $7$ を追加してみる（ $4$ 通りある）。具体的に計算すると、 $7 \times 8 = 2 \times 3 \times 6 + 4 \times 5$ という解が見つかる。
② $4$ と $8$ が同じグループ
　 $6$ と $3$ が同じグループなので、結局「 $2$ を含むグループ」「 $3, 6$ を含むグループ」「 $4, 8$ を含むグループ」に分かれる。あとは、 $5$ と $7$ を追加することを考える。まあ高々 $9$ 通りなのでどうにでもなるが、 $5$ をどれかに追加して $\mod 7$ で考えると絞りやすい（というやり方しか思いつかなかった）。例えば「 $3, 6$ を含むグループ」に $5$ を追加したとして、それぞれのグループに属する数の積は $\mod 7$ で「 $2$ 」「 $6$ 」「 $4$ 」と等しい。これらのどれに $7$ を追加しても $\mod 7$ で合わない。まあそういう感じでちまちま調べれば、結局解はないことがわかる。

　以上より、 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{8}) = (7, 8, 1, 2, 3, 6, 4, 5), i = 2, j = 6$ と、その並び替えと、 $1$ を適当に移動させたものがすべての解ということになる。

n=9

　さて、 $9$ を加えよう。

n=9

　 $(1, 2, \dots, 9)$ の並び替えである $9$ 個の数の組 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{9})$ と整数 $1 \leq i < j \leq 9$ であって、以下の等式を満たすものをすべて求めよ。
　 $a_{1} a_{2} \dots a_{i} = a_{i + 1} a_{i + 2} \dots a_{j} + a_{j + 1} a_{j + 2} \dots a_{9}$

　先ほどと同様に、 $1, 2, \dots, 9$ を三つのグループに分けることを考える。
　 $2, 4, 6, 8$ が同じグループとする。さすがに $3$ も $9$ もそれと同じグループということはないので、「 $2, 4, 6, 8$ を含むグループ」「 $3$ を含むグループ」「 $9$ を含むグループ」に分かれるが、 $5$ と $7$ をどう入れても無理。よって、どのグループにも偶数があるので、先ほどと同じ場合分けをしよう。

① $2$ と $6$ が同じグループ
　 $3, 6, 9$ が同じグループとすると、「 $2, 3, 6, 9$ を含むグループ」「 $4$ を含むグループ」「 $8$ を含むグループ」に分かれるが、 $5$ と $7$ をどう入れても無理。よって、 $3, 6, 9$ は相異なるグループに属する。場合分け。
　1-1: $3$ と $4$ が同じグループ
　このとき、「 $2, 6$ を含むグループ」「 $3, 4$ を含むグループ」「 $8, 9$ を含むグループ」に分かれる。 $\mod 7$ で $5$ と $7$ を追加できるパターンを絞れば、結局解はないことがわかる。
　1-2: $3$ と $8$ が同じグループ
　このとき、「 $2, 6$ を含むグループ」「 $4, 9$ を含むグループ」「 $3, 8$ を含むグループ」に分かれる。 $\mod 7$ で $5$ と $7$ を追加できるパターンを絞れば、 $4 \times 5 \times 9 = 2 \times 6 + 3 \times 7 \times 8$ と、 $3 \times 5 \times 8 = 2 \times 6 \times 7 + 4 \times 9$ という二つの解が得られる。

② $4$ と $8$ が同じグループ
　 $3, 6, 9$ が同じグループとすると、「 $3, 6, 9$ を含むグループ」「 $4, 8$ を含むグループ」「 $2$ を含むグループ」に分かれるが、 $5$ と $7$ をどう入れても無理。よって、 $3, 6, 9$ は相異なるグループに属する。 $4, 8, 9$ が同じグループとすると、 $5, 7$ をどう入れても無理なので、「 $3, 4, 8$ を含むグループ」「 $2, 9$ を含むグループ」「 $6$ を含むグループ」に分かれるしかない。
$\mod 7$ で $5$ と $7$ を追加できるパターンを絞れば、 $2 \times 7 \times 9 = 3 \times 4 \times 8 + 5 \times 6$ という解が得られる。（5/26追記。 nissy 氏コメントにてご指摘あり。見落としてました。）

　以上より、 $4 \times 5 \times 9 = 2 \times 6 + 3 \times 7 \times 8$ か、 $3 \times 5 \times 8 = 2 \times 6 \times 7 + 4 \times 9$ か、 $2 \times 7 \times 9 = 3 \times 4 \times 8 + 5 \times 6$ の構造になるような数の並べ替えが解答となる。

n=10

　さて、 $10$ を加えよう。

n=10

　 $(1, 2, \dots, 10)$ の並び替えである $10$ 個の数の組 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10})$ と整数 $1 \leq i < j \leq 10$ であって、以下の等式を満たすものをすべて求めよ。
　 $a_{1} a_{2} \dots a_{i} = a_{i + 1} a_{i + 2} \dots a_{j} + a_{j + 1} a_{j + 2} \dots a_{10}$

　同じ考え方でいこう。偶数 $2, 4, 6, 8, 10$ について、 $2$ で割り切れる回数を考えると以下のパターンに限られる。
・「 $2$ を含むグループ」「 $6$ を含むグループ」「 $4, 8, 10$ を含むグループ」に分かれる
・「 $10$ を含むグループ」「 $6$ を含むグループ」「 $2, 4, 8$ を含むグループ」に分かれる
・「 $2$ を含むグループ」「 $10$ を含むグループ」「 $4, 6, 8$ を含むグループ」に分かれる
・「 $4$ を含むグループ」「 $2, 6$ を含むグループ」「 $8, 10$ を含むグループ」に分かれる
・「 $4$ を含むグループ」「 $2, 10$ を含むグループ」「 $6, 8$ を含むグループ」に分かれる
・「 $4$ を含むグループ」「 $6, 10$ を含むグループ」「 $2, 8$ を含むグループ」に分かれる
　 $3$ の倍数については、 $3, 6, 9$ がすべて同じグループであるか、相異なるグループであるかである。
　 $5$ の倍数については、 $5, 10$ は同じグループに属していなければならない。

①「 $2$ を含むグループ」「 $6$ を含むグループ」「 $4, 8, 10$ を含むグループ」に分かれる
　 $5, 10$ は同じグループなので、 $4, 5, 8, 10$ が同じグループである。しかし、それ以外の二つのグループの数の積の和は最大でも $2 + 6 \times 3 \times 7 \times 9 = 1135 < 4 \times 5 \times 8 \times 10$ なので、無理である。

②「 $10$ を含むグループ」「 $6$ を含むグループ」「 $2, 4, 8$ を含むグループ」に分かれる
　 $3, 6, 9$ を考えると、以下の $3$ パターンがある。
・「 $5, 10$ を含むグループ」「 $3, 6, 9$ を含むグループ」「 $2, 4, 8$ を含むグループ」に分かれる
・「 $3, 5, 10$ を含むグループ」「 $6$ を含むグループ」「 $2, 4, 8, 9$ を含むグループ」に分かれる
・「 $5, 9, 10$ を含むグループ」「 $6$ を含むグループ」「 $2, 3, 4, 8$ を含むグループ」に分かれる
しかし、いずれのパターンについても、どこに $7$ を入れても式は成立しない。

③「 $2$ を含むグループ」「 $10$ を含むグループ」「 $4, 6, 8$ を含むグループ」に分かれる
　 $3, 6, 9$ を考えると、以下の $3$ パターンがある。
・「 $2$ を含むグループ」「 $5, 10$ を含むグループ」「 $3, 4, 6, 8, 9$ を含むグループ」に分かれる
・「 $2, 3$ を含むグループ」「 $5, 9, 10$ を含むグループ」「 $4, 6, 8$ を含むグループ」に分かれる
・「 $2, 9$ を含むグループ」「 $3, 5, 10$ を含むグループ」「 $4, 6, 8$ を含むグループ」に分かれる
しかし、いずれのパターンについても、どこに $7$ を入れても式は成立しない。

④「 $4$ を含むグループ」「 $2, 6$ を含むグループ」「 $8, 10$ を含むグループ」に分かれる
　「 $8, 10$ を含むグループ」に $5$ が含まれるが、さらに $3$ か $9$ が入ることは無理（積が大きくなりすぎる）なので、「 $2, 6$ を含むグループ」に $3$ も $9$ も入るしかない。しかし、 $7$ をどこに入れても式は成立しない。

⑤「 $4$ を含むグループ」「 $2, 10$ を含むグループ」「 $6, 8$ を含むグループ」に分かれる
　 $3, 6, 9$ を考えると、以下の $3$ パターンがある。
・「 $4$ を含むグループ」「 $2, 5, 10$ を含むグループ」「 $3, 6, 8, 9$ を含むグループ」に分かれる
・「 $3, 4$ を含むグループ」「 $2, 5, 9, 10$ を含むグループ」「 $6, 8$ を含むグループ」に分かれる
・「 $4, 9$ を含むグループ」「 $2, 3, 5, 10$ を含むグループ」「 $6, 8$ を含むグループ」に分かれる
　それぞれに $7$ を入れて計算してみると、 $2 \times 3 \times 5 \times 10 = 4 \times 7 \times 9 + 6 \times 8$ と、 $6 \times 7 \times 8 = 2 \times 3 \times 5 \times 10 + 4 \times 9$ という二つの解が得られる。

⑥「 $4$ を含むグループ」「 $6, 10$ を含むグループ」「 $2, 8$ を含むグループ」に分かれる
　 $3, 6, 9$ を考えると、以下の $3$ パターンがある。
・「 $4$ を含むグループ」「 $3, 5, 6, 9, 10$ を含むグループ」「 $2, 8$ を含むグループ」に分かれる
・「 $3, 4$ を含むグループ」「 $5, 6, 10$ を含むグループ」「 $2, 8, 9$ を含むグループ」に分かれる
・「 $4, 9$ を含むグループ」「 $5, 6, 10$ を含むグループ」「 $2, 3, 8$ を含むグループ」に分かれる
　それぞれに $7$ を入れて計算してみると、 $5 \times 6 \times 10 = 4 \times 7 \times 9 + 2 \times 3 \times 8$ と、 $2 \times 3 \times 7 \times 8 = 5 \times 6 \times 10 + 4 \times 9$ という二つの解が得られる。⑤で得られた解について、 $6$ と $2 \times 3$ を入れ替えたやつやね。

　以上より、解答は以下の四つそれぞれに $1$ を加えたものと、その並び替えである。
$2 \times 3 \times 5 \times 10 = 4 \times 7 \times 9 + 6 \times 8$
$6 \times 7 \times 8 = 2 \times 3 \times 5 \times 10 + 4 \times 9$
$5 \times 6 \times 10 = 4 \times 7 \times 9 + 2 \times 3 \times 8$
$2 \times 3 \times 7 \times 8 = 5 \times 6 \times 10 + 4 \times 9$