蛇の補題の系

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蛇の補題の系的なものです．

$R$ 加群の可換図式があたえられてるとする：
$L_{1} f_{1} ψ_{1} L_{2} f_{2} ψ_{2} L_{3} ψ_{3} 0 M_{1} g_{1} ϕ_{1} M_{2} g_{2} ϕ_{2} ↺ M_{3} ϕ_{3} ↺ 0 N_{1} h_{1} N_{2} h_{2} ↺ N_{3} ↺$
ただし，横の列は完全であり， $i = 1, 2, 3$ に対し， $ϕ_{i} \circ ψ_{i} = 0$ を満たすとする．このとき，
$\ker ϕ_{1} / Im ψ_{1} g_{1}^{'} \ker ϕ_{2} / Im ψ_{2} g_{2}^{'} \ker ϕ_{3} / Im ψ_{3}$
は完全になる．ここで， $g_{i}^{'} (x + Im ψ_{i}) = g_{i} (x) + Im ψ_{i + 1}$ , $i = 1, 2$ である．

$x \in \ker ϕ_{1}$ に対して， $ϕ_{2} (g_{1} (x)) = h_{1} (ϕ_{1} (x)) = h_{1} (0) = 0$ なので， $g_{1} (x) \in \ker ϕ_{2}$ .
また， $x_{1} + Im ψ_{1} = x_{2} + Im ψ_{1} \in \ker ϕ_{1} / Im ψ_{1}$ のとき， $x_{1} = x_{2} + ψ_{1} (y)$ と書け，このとき $\begin{aligned} g_{1} (x_{1}) + Im ψ_{2} & = g_{1} (x_{2} + ψ_{1} (y)) + Im ψ_{2} \\ = g_{1} (x_{2}) + g_{1} (ψ_{1} (y)) + Im ψ_{2} = g_{1} (x_{2}) + ψ_{2} (f_{1} (y)) + Im ψ_{2} = g_{1} (x_{2}) + Im ψ_{2} \end{aligned}$

なので， $g_{1}^{'}$ はwell-definedな写像である．同様に $g_{2}^{'}$ もwell-definedな写像である．
任意の $x + Im ψ_{2} \in \ker g_{2}^{'}$ は $0 + Im ψ_{3} = g_{2}^{'} (x + Im ψ_{2}) = g_{2} (x) + Im ψ_{3}$ からある $y \in L_{3}$ が存在して， $g_{2} (x) = ψ_{3} (y)$ を満たす． $f_{2}$ は全射なので，ある $z \in L_{2}$ が存在して， $y = f_{2} (z)$ .ここで
$g_{2} (x - ψ_{2} (z)) = g_{2} (x) - g_{2} (ψ_{2} (z)) = g_{2} (x) - ψ_{3} (f_{2} (z)) = g_{2} (x) - ψ_{3} (y) = 0$
なので， $x - ψ_{2} (z) \in \ker g_{2} = Im g_{1}$ ,よってある $w \in M_{1}$ が存在して $g_{1} (w) = x - ψ_{2} (z)$ .更に $h_{1} (ϕ_{1} (w)) = ϕ_{2} (g_{1} (w)) = ϕ_{2} (x - ψ_{2} (z)) = ϕ_{2} (x) - ϕ_{2} (ψ_{2} (z)) = 0$ であり， $h_{1}$ は単射なので， $ϕ_{1} (w) = 0$ すなわち $w \in \ker ϕ_{1}$ .従って $g_{1}^{'} (w + Im ψ_{1}) = g_{1} (w) + Im ψ_{2} = x - ψ_{2} (z) + Im ψ_{2} = x + Im ψ_{2}$ なので， $\ker g_{2}^{'} \subset Im g_{1}^{'}$
また， $g_{2} \circ g_{1} = 0$ から， $g_{2}^{'} \circ g_{1}^{'} = 0$ を満たすので完全性が言えた．

投稿日：2024年7月5日

更新日：2024年7月8日

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アレクサンダー鷹觜

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「ツクツクボーシ、ツクツクボーシ」ほら、カエルが鳴いてるよ春の訪れを感じながら落ち葉で黄色くなった道を歩いてく

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