蛇の補題の系
蛇の補題の系的なものです．
$R$加群の可換図式があたえられてるとする：
$$
\begin{xy}
\xymatrix {
& L_1 \ar[r]^{f_1} \ar[d]^{\psi_1} & L_2 \ar[r]^{f_2} \ar[d]^{\psi_2} & L_3 \ar[r] \ar[d]^{\psi_3} & 0 \\
& M_1 \ar[r]^{g_1} \ar[d]^{\phi_1} & M_2 \ar[r]^{g_2} \ar[d]^{\phi_2} \ar@{}[lu]|{\circlearrowleft} & M_3 \ar[d]^{\phi_3} \ar@{}[lu]|{\circlearrowleft} & \\
0 \ar[r] & N_1 \ar[r]^{h_1} & N_2 \ar[r]^{h_2} \ar@{}[lu]|{\circlearrowleft}& N_3 \ar@{}[lu]|{\circlearrowleft} &
}
\end{xy}$$
ただし，横の列は完全であり，$i=1,2,3$に対し，$\phi_i \circ \psi_i=0$を満たすとする．このとき，
$$
\begin{xy}
\xymatrix {
\ker{\phi_1} / \Im\psi_1 \ar[r]^{g'_1} & \ker{\phi_2} / \Im\psi_2 \ar[r]^{g'_2} & \ker{\phi_3} / \Im\psi_3
}
\end{xy}$$
は完全になる．ここで，$g'_i(x+\Im\psi_i)=g_i(x)+\Im\psi_{i+1} $ , $ i=1,2$である．
$x\in \ker{\phi_1}$に対して，$\phi_2(g_1(x))=h_1(\phi_1(x))=h_1(0)=0$なので，$g_1(x)\in \ker{\phi_2}$.
また，$x_1+\Im\psi_1=x_2+\Im\psi_1\in \ker{\phi_1} / \Im\psi_1$のとき，$ x_1=x_2+\psi_1(y)$と書け，このとき\begin{align}g_1(x_1)+\Im\psi_{2}&= g_1(x_2+\psi_1(y))+\Im\psi_{2}\\
&=g_1(x_2)+g_1(\psi_1(y))+\Im\psi_{2}=g_1(x_2)+\psi_2(f_1(y))+\Im\psi_{2}=g_1(x_2)+\Im\psi_{2} \end{align}
なので，$g'_1 $はwell-definedな写像である．同様に$g'_2 $もwell-definedな写像である．
任意の$x+\Im\psi_2\in\ker{g'_2}$は$0+\Im\psi_3=g'_2(x+\Im\psi_2)=g_2(x)+\Im\psi_3$からある$y\in L_3$が存在して，$g_2(x)=\psi_3(y)$を満たす．$f_2$は全射なので，ある$z\in L_2$が存在して，$y=f_2(z) $.ここで
$g_2(x-\psi_2(z))=g_2(x)-g_2(\psi_2(z))=g_2(x)-\psi_3(f_2(z))=g_2(x)-\psi_3(y)=0$
なので，$ x-\psi_2(z)\in \ker{g_2}=\Im g_1$,よってある$w\in M_1$が存在して$g_1(w)=x-\psi_2(z)$.更に$h_1(\phi_1(w))=\phi_2(g_1(w))=\phi_2(x-\psi_2(z))=\phi_2(x)-\phi_2(\psi_2(z))=0$であり，$h_1$は単射なので，$\phi_1(w)=0$すなわち$w\in\ker{\phi_1} $.従って$g'_1(w+\Im\psi_1)=g_1(w)+\Im\psi_{2} =x-\psi_2(z)+\Im\psi_{2}=x+\Im\psi_{2}$なので，$\ker{g'_2} \subset \Im g'_1$
また，$g_2 \circ g_1=0$から，$g'_2 \circ g'_1=0$を満たすので完全性が言えた．
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