自作問題あなぐら１３（より良い変数変換を探せ）

問題

　$a$を実定数とする．実数$x \in [0, \pi/2)$の関数
$$ f(x) = \left[\frac{1}{2} \log{\frac{1 + \sin{x}}{1 - \sin{x}}} - \log{a}\right]^2 - a \log{\frac{1 + \tan{\frac{x}{2}}}{a (1 - \tan{\frac{x}{2}})}} + 1 $$
の最大値と最小値を調べよ．

余話

　歌詞に数学用語が入っている楽曲を元ネタに，問題を作ってみようというアイデアからこの問題ができました．僕の好きなロックバンドの楽曲『世界はファンシー』に着想を得てます．

解説