エンタメ解説

定積分に対するアホ置換　(第二段)

遊び,天才置換,積分

こんちくは

こんにちは。喉の調子は良くなってきましたが、鼻がめっちゃ詰まってます。ｽﾞﾋﾞﾋﾞﾋﾞﾋﾞ...
今回のお話は前回の記事の第二段です。早速やっていきましょう。

本題

主役

\begin{align*} I=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\sqrt[3]{\tan{x}}dx \end{align*}

変な解き方という問題以前に、まず解きたくないですね。
そんな問題に対して暴力的な置換で解き、周りの人を怖がらせましょう！🦈

アホ

\begin{align*} I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt[3]{\tan{x}}dx \end{align*}
に対して、
\begin{align*} x=\arctan\left\{\left(\frac{1-u}{1+u}\right)^{\frac{3}{2}}\right\} \end{align*}
と置きます。すると、
\begin{align*} dx&=-\frac{3}{2}\frac{1+u}{1+3u^2}\sqrt{\frac{1-u}{1+u}}\:du \end{align*}
積分区間は$\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]$が$[1,0]$へと変わります。これを踏まえると積分は、
\begin{align*} I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt[3]{\tan{x}}dx\\ &=-\frac{3}{2}\int_{1}^{0}\sqrt{\frac{1-u}{1+u}}\frac{1+u}{1+3u^2}\sqrt{\frac{1-u}{1+u}}\:du\\ &=\frac{3}{2}\int_{0}^{1}\frac{(1-u)(1+u)}{(1+u)(1+3u^2)}du\\ &=\frac{3}{2}\int_{0}^{1}\frac{1-u}{1+3u^2}du\\ &=\frac{3}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+3u^2}du-\frac{3}{2}\frac{1}{6}\int_{0}^{1}\frac{6u}{1+3u^2}du\\ &=\frac{3}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{\sqrt{3}}d\theta-\frac{1}{4}\left[\ln(1+3u^2)\right]_{0}^{1}\\ &=\frac{\pi}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{2}\ln{2} \end{align*}

種明かしめんどくさい。

種明かしとして正攻法で解くのはめんどくさいのでどのような置換して、どのような変形をするのかだけ記したいと思います。
1.$t=\sqrt[3]{\tan{x}}$を置換する。
これをするだけで被積分関数が$t$の有理式になります。
2.$t^2=s$と置く。
分母の次数が半分になるという神な置換です。
3.$s=\dfrac{1-u}{1+u}$と置く。
こういうものだと思ってください。だまされたと思っておいてみてください。きっと楽になります()
4.簡単な積分になっているため、解けます。
これです。この三つの置換全てをまとめたのが、冒頭の$x=\arctan\left\{\left(\dfrac{1-u}{1+u}\right)^{\dfrac{3}{2}}\right\}$だったわけです！