正n角形に外接する正n+1角形

ネット上や文献を探せば、この記事と同じ内容・より進んだ内容を先にやってる人が絶対いると思いますが、折角なので記事にしようと思います。

正n角形を完全に覆う正n+1角形で、面積が小さいものを見つけたよ、という内容です。$(n=3,4,…,10)$
下のdesmosのリンクは、その図示になります。
desmos

任意の$n$で完全に覆っているかの証明はできません。(4つの接点ができるようにしてあるのですが、その４つの接点が飛び出してないことは愚直に計算すれば証明できます。)
また、最小であるかは全くわかりません。

以下では、パラメータなどの説明をします。

パラメータなどの説明

• 赤が正n角形、緑が正n+1角形です。
• 正n角形(赤)の中心と座標の原点が一致しています。
• 正n角形(赤)の一辺の長さは1で固定されてます。
• $t$は正n+1角形(緑)の傾き角度を表します。(正n+1角形(緑)の一番右にある辺がy軸に平行な時を傾き角度０としています。)
• $i$は正n+1角形(緑)の重心のx座標、$j$は同じくy座標を表します。
• $a$は正n角形(赤)の外接円の半径を表します。
• $b$は正n+1角形(緑)の外接円の半径を表します。
• $p$,$q$は式を簡潔に見せるためのもので、値に意味はありません。

以上がパラメータの説明です。

一番下にある無限積は、1辺が1の正三角形に外接する正方形に外接する正５角形に外接する…というふうに、正多角形を(今回の手法で)生成していった場合、正$floor(x)$角形の面積はいくらかというのを表しています。

最後に

最初に書いた通り、この内容は初出でない可能性が高いです。（そもそも証明さえできてませんが）
ですので、何か情報を知ってる方のコメントをお待ちしております。
ここまで読んでいただきありがとうございました。