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Bernoulliの不等式を用いた相加・相乗平均の不等式の証明

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相加・相乗平均の不等式（以下，AM-GM不等式と略）とは，次のようなものでした．

$n$ を任意の正整数とする． $n$ 項の正実数列 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ に対し，その相加平均 $A_{n}$ (Arithmetic-Mean)と相乗平均 $G_{n}$ (Geometric-Mean)を
$A_{n} : = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}, G_{n} : = (a_{1} a_{2} \dots a_{n})^{\frac{1}{n}}$
と定めたとき，不等式 $A_{n} \geq G_{n}$ が成り立つ．なお，等号成立条件は $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ ．

この不等式の証明には様々な方法が知られていますが，ここではBernoulliの不等式を用いた比較的簡潔な方法を紹介したいと思います．

Step1

まず，証明に用いるBernoulliの不等式を紹介します．

任意の正整数 $n$ と実数 $x \geq - 1$ に対し，不等式
$(1 + x)^{n} \geq 1 + n x$
が成り立つ．なお，等号成立条件は $x = 0$ ．

証明は簡単（受験数学的には差を取って微分か，数学的帰納法がパッと思いつきますが，どちらも教科書レベルの証明になります）なのでスルーします．

Step2

AM-GM不等式の証明に入ります．Bernoulliの不等式において $x$ を $(A_{n} / A_{n - 1} - 1)$ に置き換えれば，
${(\frac{A_{n}}{A_{n - 1}})}^{n} \geq 1 + n (\frac{A_{n}}{A_{n - 1}} - 1) = \frac{n A_{n} - (n - 1) A_{n - 1}}{A_{n - 1}} = \frac{a_{n}}{A_{n - 1}}$
となって， $(A_{n})^{n} \geq a_{n} (A_{n - 1})^{n - 1}$ を得ます．これを再帰的に用いれば， $A_{1} = a_{1}$ にも注意して
$(A_{n})^{n} \geq a_{n} a_{n - 1} \dots a_{1}$ がわかるので，結局 $A_{n} \geq G_{n}$ が言えます．
また，等号成立条件は
$\begin{aligned} \frac{A_{n}}{A_{n - 1}} - 1 = \frac{A_{n - 1}}{A_{n - 2}} - 1 = \dots = \frac{A_{2}}{A_{1}} - 1 = 0 \\ ⟺ A_{1} = A_{2} = \dots = A_{n} \\ ⟺ a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} ． ◻ \end{aligned}$