Bernoulliの不等式を用いた相加・相乗平均の不等式の証明
相加・相乗平均の不等式（以下，AM-GM不等式と略）とは，次のようなものでした．
$n$を任意の正整数とする．$n$項の正実数列$(a_1, a_2, \cdots, a_n)$に対し，その相加平均$A_n$(Arithmetic-Mean)と相乗平均$G_n$(Geometric-Mean)を
$$
A_n \coloneqq \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n},
\quad
G_n \coloneqq (a_1 a_2 \cdots a_n)^{\frac{1}{n}}
$$
と定めたとき，不等式$A_n \geq G_n$が成り立つ．なお，等号成立条件は$a_1 = a_2 = \cdots = a_n$．
この不等式の証明には様々な方法が知られていますが，ここではBernoulliの不等式を用いた比較的簡潔な方法を紹介したいと思います．
Step1
まず，証明に用いるBernoulliの不等式を紹介します．
任意の正整数$n$と実数$x \geq -1$に対し，不等式
$$(1+x)^n \geq 1 + nx$$
が成り立つ．なお，等号成立条件は$x=0$．
証明は簡単（受験数学的には差を取って微分か，数学的帰納法がパッと思いつきますが，どちらも教科書レベルの証明になります）なのでスルーします．
Step2
AM-GM不等式の証明に入ります．Bernoulliの不等式において$x$を$(A_{n}/A_{n-1}-1) $に置き換えれば，
$$
\left( \frac{A_{n}}{A_{n-1}} \right)^{n}
\geq
1 + n\left( \frac{A_{n}}{A_{n-1}} - 1 \right) =
\frac{nA_{n} - (n-1)A_{n-1}}{A_{n-1}} =
\frac{a_{n}}{A_{n-1}}
$$
となって，$(A_{n})^{n} \geq a_{n}(A_{n-1})^{n-1}$を得ます．これを再帰的に用いれば，$A_1 = a_1$にも注意して
$(A_{n})^{n} \geq a_{n} a_{n-1} \cdots a_{1}$がわかるので，結局$A_n \geq G_n$が言えます．
また，等号成立条件は
\begin{align*}
&\frac{A_{n}}{A_{n-1}} - 1 =
\frac{A_{n-1}}{A_{n-2}} - 1 =
\cdots =
\frac{A_{2}}{A_{1}} - 1 = 0 \\
&\quad \Longleftrightarrow \quad
A_1 = A_2 = \cdots = A_n \\
&\quad \Longleftrightarrow \quad
a_1 = a_2 = \cdots = a_n．
\quad \square
\end{align*}