相加・相乗平均の不等式(以下,AM-GM不等式と略)とは,次のようなものでした.
$n$を任意の正整数とする.$n$項の正実数列$(a_1, a_2, \cdots, a_n)$に対し,その相加平均$A_n$(Arithmetic-Mean)と相乗平均$G_n$(Geometric-Mean)を
$$
A_n \coloneqq \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n},
\quad
G_n \coloneqq (a_1 a_2 \cdots a_n)^{\frac{1}{n}}
$$
と定めたとき,不等式$A_n \geq G_n$が成り立つ.なお,等号成立条件は$a_1 = a_2 = \cdots = a_n$.
この不等式の証明には様々な方法が知られていますが,ここではBernoulliの不等式を用いた比較的簡潔な方法を紹介したいと思います.
まず,証明に用いるBernoulliの不等式を紹介します.
任意の正整数$n$と実数$x \geq -1$に対し,不等式
$$(1+x)^n \geq 1 + nx$$
が成り立つ.なお,等号成立条件は$x=0$.
証明は簡単(受験数学的には差を取って微分か,数学的帰納法がパッと思いつきますが,どちらも教科書レベルの証明になります)なのでスルーします.
AM-GM不等式の証明に入ります.Bernoulliの不等式において$x$を$(A_{n}/A_{n-1}-1) $に置き換えれば,
$$
\left( \frac{A_{n}}{A_{n-1}} \right)^{n}
\geq
1 + n\left( \frac{A_{n}}{A_{n-1}} - 1 \right) =
\frac{nA_{n} - (n-1)A_{n-1}}{A_{n-1}} =
\frac{a_{n}}{A_{n-1}}
$$
となって,$(A_{n})^{n} \geq a_{n}(A_{n-1})^{n-1}$を得ます.これを再帰的に用いれば,$A_1 = a_1$にも注意して
$(A_{n})^{n} \geq a_{n} a_{n-1} \cdots a_{1}$がわかるので,結局$A_n \geq G_n$が言えます.
また,等号成立条件は
\begin{align*}
&\frac{A_{n}}{A_{n-1}} - 1 =
\frac{A_{n-1}}{A_{n-2}} - 1 =
\cdots =
\frac{A_{2}}{A_{1}} - 1 = 0 \\
&\quad \Longleftrightarrow \quad
A_1 = A_2 = \cdots = A_n \\
&\quad \Longleftrightarrow \quad
a_1 = a_2 = \cdots = a_n.
\quad \square
\end{align*}