Bernoulliの不等式を用いた相加・相乗平均の不等式の証明

相加・相乗平均の不等式（以下，AM-GM不等式と略）とは，次のようなものでした．

この不等式の証明には様々な方法が知られていますが，ここではBernoulliの不等式を用いた比較的簡潔な方法を紹介したいと思います．

Step1

まず，証明に用いるBernoulliの不等式を紹介します．

証明は簡単（受験数学的には差を取って微分か，数学的帰納法がパッと思いつきますが，どちらも教科書レベルの証明になります）なのでスルーします．

Step2

AM-GM不等式の証明に入ります．Bernoulliの不等式において$x$を$(A_{n}/A_{n-1}-1) $に置き換えれば，
$$ \left( \frac{A_{n}}{A_{n-1}} \right)^{n} \geq 1 + n\left( \frac{A_{n}}{A_{n-1}} - 1 \right) = \frac{nA_{n} - (n-1)A_{n-1}}{A_{n-1}} = \frac{a_{n}}{A_{n-1}} $$
となって，$(A_{n})^{n} \geq a_{n}(A_{n-1})^{n-1}$を得ます．これを再帰的に用いれば，$A_1 = a_1$にも注意して
$(A_{n})^{n} \geq a_{n} a_{n-1} \cdots a_{1}$がわかるので，結局$A_n \geq G_n$が言えます．
また，等号成立条件は
\begin{align*} &\frac{A_{n}}{A_{n-1}} - 1 = \frac{A_{n-1}}{A_{n-2}} - 1 = \cdots = \frac{A_{2}}{A_{1}} - 1 = 0 \\ &\quad \Longleftrightarrow \quad A_1 = A_2 = \cdots = A_n \\ &\quad \Longleftrightarrow \quad a_1 = a_2 = \cdots = a_n． \quad \square \end{align*}