競技数学解説

OMC対策（A分野：床関数・天井関数）

OMC,競技数学,床関数

本記事の前提知識

　床関数をある程度見たことがないと，本記事を読むのは少し難しいように思う．

床関数・天井関数の基本

床関数・天井関数

（床関数）　 $⌊ x ⌋$ で， $x$ 以下の最大の整数を表す．
（天井関数） $⌈ x ⌉$ で， $x$ 以上の最小の整数を表す．

（注）床関数 $⌊ x ⌋$ については，受験数学ではガウス記号 $[x]$ を使うことがほとんどである．

　床関数に関連して， $⌊ x ⌋$ を $x$ の整数部分と呼ぶことも多い．ただしこれについては， $- 1.5$ の整数部分が $- 2$ になるなど， $x < 0$ の範囲では直観と異なる表現になる．（また，あまり一般的な表現ではないが， $- 1.5$ の整数部分を $- 1$ とする流儀もある．○○の整数部分と言う表現は正の数に限って使うのが無難だろう．）
　床関数・天井関数に関連して，小数部分 $x - ⌊ x ⌋$ を ${x}$ で表す場合もあるが，この記法はそう頻繁には見ない．

(1)　任意の整数 $n$ に対して $⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n$
(2)　整数でない任意の実数 $x$ に対して $⌈ x ⌉ = ⌊ x ⌋ + 1$
(3)　任意の実数 $x$ に対して $⌊ x ⌋ + ⌈ - x ⌉ = 0$
(4)　任意の整数 $n$ に対して $⌊ \frac{n}{2} ⌋ = \frac{2 n - 1 + (- 1)^{n}}{4}$

（確認問題）全て確かめよ．

略解

(1)は定義を見よ．
(2)(3)は，

x = n + a

（

n = ⌊ x ⌋

）とおけば確かめられるだろう．
(4)については，

k

を整数として，

n = 2 k, 2 k + 1

を代入すればよい．
　

床関数・天井関数を用いた問題の解き方

　床関数・天井関数に関する問題について，最も基本的なアイディアは，実数を整数部分 $⌊ x ⌋$ と小数部分 $x - ⌊ x ⌋$ に分けることである．
　次の例題を見てほしい．

　 $⌊ x ⌋^{2} = ⌊ x^{2} ⌋$ を満たす正の実数 $x$ を答えよ．

（解答） $x = n + a$ とおく（当然 $⌊ x ⌋ = n$ である）．
　 $⌊ x ⌋^{2} = n^{2}, ⌊ x^{2} ⌋ = ⌊ (n + a)^{2} ⌋$ なので， $2 a n + a^{2} < 1$ を満たすとき，等式が成立する．
　 $a$ に関する二次不等式を解いて $- \sqrt{n^{2} + 1} - n < a < \sqrt{n^{2} + 1} - n$ となるが， $a ≧ 0$ なので $0 ≦ a < \sqrt{n^{2} + 1} - n$ である．
　以上より，ある非負整数 $n$ に対して， $n ≦ x < \sqrt{n^{2} + 1}$ を満たす実数が答えとなる．

　方程式 $x = {(⌊ x ⌋ + \frac{1}{3})}^{2}$ を解け．

解答

x = n + a

とおくと，

n^{2} - \frac{1}{3} n + (\frac{1}{9} - a) = 0

となる．
　ここで

n

が整数であることから，

\frac{1}{9} - a

は

\frac{*}{3}

という形になる必要がある．よって

a

は

\frac{1}{9}, \frac{4}{9}, \frac{7}{9}

のいずれかである．それぞれの場合に方程式を解くことで，

x = \frac{1}{3}, \frac{16}{9}

のみが答えとなる．
　

別解

　明らかに

x ≧ 0

であり，これより

⌊ x ⌋ ≧ 0

．
　よって

x = {(⌊ x ⌋ + \frac{1}{3})}^{2} > ⌊ x ⌋^{2}

であり，

x ≧ 2

では不等式

x > ⌊ x ⌋^{2}

が満たされないため

⌊ x ⌋ = 0 or 1

である．あとは

⌊ x ⌋ = 0, 1

をそれぞれ代入して

x

を求め，それぞれの場合に方程式を満たすか確認すればよい．
　

　 $0 < x < 2$ の範囲で，次の不等式を満たす $x$ を答えよ．
　　 $⌊ x + \frac{1}{5} ⌋ = ⌊ x + \frac{1}{4} ⌋ < ⌊ x + \frac{1}{3} ⌋ = ⌊ x + \frac{1}{2} ⌋$

ヒント

⌊ x + \frac{1}{4} ⌋ < ⌊ x + \frac{1}{3} ⌋

さえ満たせば残りの等式も満たす．
　
（証明）このとき，

⌊ x + \frac{1}{4} ⌋ < ⌊ x + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} ⌋

より，

x + \frac{1}{4}

の小数部分は

\frac{11}{12}

以上である．よって

⌊ x + \frac{1}{5} ⌋ = ⌊ x + \frac{1}{4} ⌋

も満たす．

⌊ x + \frac{1}{3} ⌋ = ⌊ x + \frac{1}{2} ⌋

も同様．
　

解答

⌊ x + \frac{1}{4} ⌋ < ⌊ x + \frac{1}{3} ⌋

を解けば十分である．すなわち

x + \frac{1}{4} < n ≦ x + \frac{1}{3}

となるような整数

n

が存在すればよい．これより

n - \frac{1}{3} ≦ x < n - \frac{1}{4}

　よって解は

\frac{2}{3} ≦ x < \frac{3}{4}, \frac{5}{3} ≦ x < \frac{7}{4}

である．
　

OMCの例題

OMCB033(A)
OMC105(B)
OMC163(D)
OMCB027(E)
OMCB028(E)
OMC117(E) ←天井関数・床関数以外の内容を含む
　

床関数・天井関数と規則性

　ここからは問題を解きながら，床関数・天井関数に関連する規則性を身に着けてほしい．

　 $\sum_{k = 1}^{100} ⌊ \sqrt{k} ⌋$ の値を求めよ．

解答

　整数

m

に対して，

m^{2} ≦ k < m^{2} + 2 m

の範囲で

⌊ \sqrt{k} ⌋ = m

となる．つまり

⌊ \sqrt{k} ⌋ = m

となる整数

k

は

2 m + 1

個存在する．よって
　

\sum_{k = 1}^{100} ⌊ \sqrt{k} ⌋ = \sum_{m = 1}^{9} m (2 m + 1) + ⌊ \sqrt{100} ⌋ = 625

　 $100 \sqrt{1}, 100 \sqrt{2}, 100 \sqrt{3}, \dots 100 \sqrt{10000}$ の整数部分としてあり得る値はいくつあるか．

ヒント1

100 \sqrt{1}, 100 \sqrt{2}, 100 \sqrt{3}, 100 \sqrt{4}

までを考えると，整数部分は

100, 141, 173, 200

となっており，全て異なるように見える．
　ところが

100 \sqrt{9875} = 100 \sqrt{9876} = 9937

となるように，大きな値になると，全て異なるわけではない．
　

ヒント2

　ヒント1で見たように，

100 \sqrt{1}, 100 \sqrt{2}, 100 \sqrt{3}, 100 \sqrt{4}

の整数部分を見ると，非常にばらばらな値を取っているように見えるが，

n

の値が十分大きくなると，ある整数より大きい全ての正整数の値を全てとるようになる．
　

ヒント3

100 \sqrt{n + 1} - 100 \sqrt{n} < 1

の範囲では，

⌊ 100 \sqrt{n} ⌋

たちが連続する正整数を全て取る．
　

解答

　以下のように，

100 \sqrt{n + 1} - 100 \sqrt{n} < 1

を解く．

\begin{aligned} 100 \sqrt{n + 1} & < 1 + 100 \sqrt{n} \\ 10000 (n + 1) & < 1 + 200 \sqrt{n} + 10000 n \\ 9999 & < 200 \sqrt{n} \\ 9999^{2} & < 200^{2} n \end{aligned}

　よって，以下のことがわかる．

1.

n < 2500

の範囲では，

100 \sqrt{n + 1} - 100 \sqrt{n} ≧ 1

を満たすので，

⌊ 100 \sqrt{n} ⌋

たちは全て異なる値である．
2.

n = 2500

で

100 \sqrt{n} = 5000

であり，

100 \sqrt{n}

たちは

n > 2500

の範囲で

5000

以降の全ての自然数を取る．

　よって求めるべき値は

2499 + 5001 = 7500

．
　

（やや難）
　整数 $m, n$ が互いに素であるとき $\sum_{k = 1}^{n - 1} ⌊ \frac{k m}{n} ⌋ = \frac{(m - 1) (n - 1)}{2}$ を示せ．

ヒント（補題）

　整数でない任意の実数

r

と整数

x

に対して，

⌊ r ⌋ + ⌊ x - r ⌋ = x - 1

である．（証明は略）
　

解答

n

が奇数であるときは，補題を使えば

\sum_{k = 1}^{n - 1} ⌊ \frac{k m}{n} ⌋ = \sum_{k = 1}^{(n - 1) / 2} (⌊ \frac{k m}{n} ⌋ + ⌊ m - \frac{k m}{n} ⌋)

より示せる．
　
　

n

が偶数であるときも，補題を使って

\sum_{k = 1}^{n - 1} ⌊ \frac{k m}{n} ⌋ = \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} (⌊ \frac{k m}{n} ⌋ + ⌊ m - \frac{k m}{n} ⌋) + ⌊ \frac{m}{2} ⌋

となる．

m

が奇数であることから

⌊ \frac{m}{2} ⌋ = \frac{m - 1}{2}

となり，これを使えば示せる．

OMCの例題

OMC183(C)
OMC070(F)
OMCB035(G)
　

おまけ

　以下に $2$ つの公式を挙げているが，これらは床関数を用いた非常に美しいものである．OMC対策というわけではないが，面白いので紹介しておく．

エルミートの恒等式（Hermite’s identity）

　実数 $x$ ，正整数 $n$ に対して
　　 $⌊ n x ⌋ = \sum_{k = 0}^{n - 1} ⌊ x + \frac{k}{n} ⌋$

　証明は数学の景色を参照．

レイリーの定理

　 $1$ より大きい無理数 $r, s$ が $\frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1$ を満たすとき， $S_{r} = {⌊ n r ⌋ | n \in N_{> 0}}$ , $S_{s} = {⌊ n s ⌋ | n \in N_{> 0}}$ とすると， $S_{r} \cup S_{s} = N_{> 0}, S_{r} \cap S_{s} = \emptyset$ が成り立つ．
（つまり，無理数を用いて自然数全体の集合を $2$ つに分割できる．）