OMC対策（A分野：床関数・天井関数）
本記事の前提知識
床関数をある程度見たことがないと，本記事を読むのは少し難しいように思う．
床関数・天井関数の基本
（床関数） $\lfloor x \rfloor$で，$x$以下の最大の整数を表す．
（天井関数）$\lceil x \rceil$で，$x$以上の最小の整数を表す．
（注）床関数$\lfloor x \rfloor$については，受験数学ではガウス記号$[x]$を使うことがほとんどである．
床関数に関連して，$\lfloor x \rfloor$を$x$の整数部分と呼ぶことも多い．ただしこれについては，$-1.5$の整数部分が$-2$になるなど，$x < 0$の範囲では直観と異なる表現になる．（また，あまり一般的な表現ではないが，$-1.5$の整数部分を$-1$とする流儀もある．○○の整数部分と言う表現は正の数に限って使うのが無難だろう．）
床関数・天井関数に関連して，小数部分$ x - \lfloor x \rfloor $を$\{x\}$で表す場合もあるが，この記法はそう頻繁には見ない．
(1) 任意の整数$n$に対して$\lfloor n \rfloor =\lceil n \rceil =n$
(2) 整数でない任意の実数$x$に対して$\lceil x \rceil =\lfloor x \rfloor +1$
(3) 任意の実数$x$に対して$\lfloor x \rfloor + \lceil -x \rceil = 0$
(4) 任意の整数$n$に対して$\left\lfloor \dfrac{n}{2} \right\rfloor =\dfrac{2n-1+(-1)^n}{4}$
（確認問題）全て確かめよ．
略解
(1)は定義を見よ．
(2)(3)は，$x=n+a$（$n=\lfloor x \rfloor$）とおけば確かめられるだろう．
(4)については，$k$を整数として，$n=2k,2k+1$を代入すればよい．
床関数・天井関数を用いた問題の解き方
床関数・天井関数に関する問題について，最も基本的なアイディアは，実数を整数部分$\lfloor x \rfloor$と小数部分$x- \lfloor x \rfloor$に分けることである．
次の例題を見てほしい．
$\lfloor x \rfloor ^2=\lfloor x^2 \rfloor$を満たす正の実数$x$を答えよ．
（解答）$x=n+a$とおく（当然$\lfloor x \rfloor=n$である）．
$\lfloor x \rfloor ^2=n^2, \lfloor x^2 \rfloor=\lfloor (n+a)^2 \rfloor$なので，$2an+a^2 <1$を満たすとき，等式が成立する．
$a$に関する二次不等式を解いて$-\sqrt{n^2+1}-n< a<\sqrt{n^2+1}-n$となるが，$a≧0$なので$0≦a<\sqrt{n^2+1}-n$である．
以上より，ある非負整数$n$に対して，$n≦x<\sqrt{n^2+1}$を満たす実数が答えとなる．
方程式$x=\left(\lfloor x \rfloor +\dfrac{1}{3}\right)^2$を解け．
解答
$x=n+a$とおくと，$n^2-\dfrac{1}{3}n+\left(\dfrac{1}{9}-a\right)=0$となる．
ここで$n$が整数であることから，$\dfrac{1}{9}-a$は$\dfrac{*}{3}$という形になる必要がある．よって$a$は$\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{9},\dfrac{7}{9}$のいずれかである．それぞれの場合に方程式を解くことで，$x=\dfrac{1}{3},\dfrac{16}{9}$のみが答えとなる．
別解
明らかに$x≧0$であり，これより$\lfloor x \rfloor ≧0$．
よって$x=\left(\lfloor x \rfloor +\dfrac{1}{3}\right)^2> \lfloor x \rfloor ^2$であり，$x≧2$では不等式$x > \lfloor x \rfloor ^2$が満たされないため$\lfloor x \rfloor=0 \text{ or } 1$である．あとは$\lfloor x \rfloor=0,1$をそれぞれ代入して$x$を求め，それぞれの場合に方程式を満たすか確認すればよい．
$0< x<2$の範囲で，次の不等式を満たす$x$を答えよ．
$\left\lfloor x+\dfrac{1}{5} \right\rfloor=\left\lfloor x+\dfrac{1}{4} \right\rfloor<\left\lfloor x+\dfrac{1}{3} \right\rfloor=\left\lfloor x+\dfrac{1}{2} \right\rfloor$
ヒント
$\left\lfloor x+\dfrac{1}{4} \right\rfloor<\left\lfloor x+\dfrac{1}{3} \right\rfloor$さえ満たせば残りの等式も満たす．
（証明）このとき，$\left\lfloor x+\dfrac{1}{4}\right\rfloor<\left\lfloor x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}\right\rfloor$より，$x+\dfrac{1}{4}$の小数部分は$\dfrac{11}{12}$以上である．よって$\left\lfloor x+\dfrac{1}{5} \right\rfloor=\left\lfloor x+\dfrac{1}{4} \right\rfloor$も満たす．$\left\lfloor x+\dfrac{1}{3} \right\rfloor=\left\lfloor x+\dfrac{1}{2} \right\rfloor$も同様．
解答
$\left\lfloor x+\dfrac{1}{4} \right\rfloor<\left\lfloor x+\dfrac{1}{3} \right\rfloor$を解けば十分である．すなわち$x+\dfrac{1}{4} < n≦ x+\dfrac{1}{3} $となるような整数$n$が存在すればよい．これより$n-\dfrac{1}{3}≦x< n-\dfrac{1}{4}$
よって解は$\dfrac{2}{3}≦x<\dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{3}≦x<\dfrac{7}{4}$である．
床関数・天井関数と規則性
ここからは問題を解きながら，床関数・天井関数に関連する規則性を身に着けてほしい．
$\sum\limits_{k=1}^{100} \lfloor \sqrt{k} \rfloor$の値を求めよ．
解答
整数$m$に対して，$m^2≦k< m^2+2m$の範囲で$\lfloor \sqrt{k} \rfloor=m$となる．つまり$\lfloor \sqrt{k} \rfloor=m$となる整数$k$は$2m+1$個存在する．よって
$\sum\limits_{k=1}^{100} \lfloor \sqrt{k} \rfloor=\sum\limits_{m=1}^{9} m(2m+1)+\lfloor \sqrt{100} \rfloor=625$
$100 \sqrt{1}, 100\sqrt{2}, 100\sqrt{3}, \cdots 100\sqrt{10000}$の整数部分としてあり得る値はいくつあるか．
ヒント1
$100\sqrt{1}, 100\sqrt{2}, 100\sqrt{3},100\sqrt{4}$までを考えると，整数部分は$100,141,173,200$となっており，全て異なるように見える．
ところが$100\sqrt{9875}=100\sqrt{9876}=9937$となるように，大きな値になると，全て異なるわけではない．
ヒント2
ヒント1で見たように，$100\sqrt{1}, 100\sqrt{2}, 100\sqrt{3},100\sqrt{4}$の整数部分を見ると，非常にばらばらな値を取っているように見えるが，$n$の値が十分大きくなると，ある整数より大きい全ての正整数の値を全てとるようになる．
ヒント3
$100\sqrt{n+1}-100\sqrt{n}<1$の範囲では，$\lfloor 100\sqrt{n} \rfloor$たちが連続する正整数を全て取る．
解答
以下のように，$100\sqrt{n+1}-100\sqrt{n} < 1$を解く．
$\begin{aligned} 100\sqrt{n+1} &< 1+100\sqrt{n}\\ 10000(n+1) &< 1+200\sqrt{n}+10000n\\ 9999 &<200\sqrt{n}\\ 9999^2 &< 200^2n \end{aligned}$
よって，以下のことがわかる．
1. $n<2500$の範囲では，$100\sqrt{n+1}-100\sqrt{n} ≧ 1$を満たすので，$\lfloor 100\sqrt{n} \rfloor$たちは全て異なる値である．
2. $n=2500$で$100\sqrt{n}=5000$であり，$100\sqrt{n}$たちは$n>2500$の範囲で$5000$以降の全ての自然数を取る．
よって求めるべき値は$2499+5001=7500$．
（やや難）
整数$m,n$が互いに素であるとき$\sum\limits_{k=1}^{n-1} \left\lfloor \dfrac{km}{n} \right\rfloor=\dfrac{(m-1)(n-1)}{2}$を示せ．
ヒント（補題）
整数でない任意の実数$r$と整数$x$に対して，$\lfloor r \rfloor + \lfloor x-r \rfloor =x-1$である．（証明は略）
解答
$n$が奇数であるときは，補題を使えば
$\sum\limits_{k=1}^{n-1} \left\lfloor \dfrac{km}{n} \right\rfloor=\sum\limits_{k=1}^{(n-1)/2} \left( \left\lfloor \dfrac{km}{n} \right\rfloor+\left\lfloor m-\dfrac{km}{n} \right\rfloor \right)$より示せる．
$n$が偶数であるときも，補題を使って
$\sum\limits_{k=1}^{n-1} \left\lfloor \dfrac{km}{n} \right\rfloor=\sum\limits_{k=1}^{n/2-1} \left( \left\lfloor \dfrac{km}{n} \right\rfloor+\left\lfloor m-\dfrac{km}{n} \right\rfloor \right) + \left\lfloor \dfrac{m}{2} \right\rfloor$となる．$m$が奇数であることから$\left\lfloor \dfrac{m}{2} \right\rfloor=\dfrac{m-1}{2}$となり，これを使えば示せる．
おまけ
以下に$2$つの公式を挙げているが，これらは床関数を用いた非常に美しいものである．OMC対策というわけではないが，面白いので紹介しておく．
実数$x$，正整数$n$に対して
$\lfloor nx \rfloor =\sum\limits_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x+\dfrac{k}{n} \right\rfloor$
証明は 数学の景色 を参照．
$1$より大きい無理数$r,s$が$\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{s}=1$を満たすとき，$S_r=\{\lfloor nr \rfloor | n \in \mathbb{N}_{>0}\}$, $S_s=\{\lfloor ns \rfloor | n \in \mathbb{N}_{>0}\}$とすると，$S_r \cup S_s=\mathbb{N}_{>0}, S_r \cap S_s=\emptyset$が成り立つ．
（つまり，無理数を用いて自然数全体の集合を$2$つに分割できる．）
証明は Wikipedia を参照．
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