進学校小問討伐シリーズ1

はじめに

こんにちは。やほーです。

今回はシリーズ物に挑戦したいと思います。

僕は高校生なのですが、難関高校の入試問題を漁っていたら、高校生でも面白い問題が沢山あることに気づきました。
このシリーズでは各都道府県の進学校の小問を解いていきます！(大人気ない…)

ゆくゆくは47都道府県制覇ですね！

小問だからこそ余裕をもって楽しく解けるかなと思います。では、やってみましょう。

西大和学園高校

僕が最初に見つけた進学校小問です。
これを中3が解くのか…

この問題は、範囲の絞り方が肝です。
$a$の整数部分を$x$と置いたりしても、なかなか見えてきません。

討伐開始

$b$は小数部分であるから、$0<b<1$,つまり、$0<b^2<1$である。
よって、与式から$43<a^2<44$･･･①となる。
①より、$6<\sqrt{43}<a<\sqrt{44}<7$
つまり$6<a<7$
よって、$a$は、$a=6+b$と表せる。
これを与式に代入して
$(6+b{)}^2+b^2=44$
$36+12b+2b^2=44$
$2b^2+12b-8=0$
両辺を2で割って
$b^2+6b-4=0$
解の公式に代入して
$b=-3\pm \sqrt{13}$
bは正であるから$b=-3+\sqrt{13}$

よって$a=3+\sqrt{13}$

感想

難しいです。しかし、小数部分の定義に沿えば簡単を絞ることができます。
本質的な理解をしてるかしてないか、パターンで解いてしまっているのか、そうでないのかを見る良問ですね。

それでは奈良県討伐…は早い！

まだ東大寺学園が残っている！

東大寺学園

東大寺学園は面白そうな問題が多かったです。

これを中3が解くのか…
有利化すればあとは楽そうですね。

討伐開始

有利化すると…

あれ？解けない…

$30$分後…
なんじゃこれ。鬼難しいやんけ。

ポチポチ｢分数 不等式 ひっくり返す｣！！

やっと分かりました。
僕は東大寺学園には入れないですね。

整数部分が$2$であることから
$$2\leqq \frac{4}{\sqrt{n}-\sqrt{2}}<3$$という不等式はすぐにたちます。(すごいね中学生)

分母に未知数があるのは厄介なので、逆数をとって(分かるか！)
$$\frac{1}{3}<\frac{\sqrt{n}-\sqrt{2}}{4}\leqq \frac{1}{2}$$
不等式に$4$をかけて
$$\frac{4}{3}<\sqrt{n}-\sqrt{2}\leqq 2$$
$\sqrt{2}$を移項して
$$\frac{4}{3}+\sqrt{2}<\sqrt{n}\leqq 2+\sqrt{2}$$
両辺二乗して
$$\frac{16}{9}+\frac{8\sqrt{2}}{3}+2<n\leqq 4+4\sqrt{2}+2$$
よって$n=8,9,10,11$

感想

少し難しすぎやしませんか。東大寺学園学園は本当は2問扱うつもりだったことは内緒です。

無事(？)奈良県は討伐出来ました！

次からは北海道の進学校から順番に行きたいと思います!!

最後まで読んで頂きありがとうございました。あと進学校どこか教えてください。