モノドロミーてなぁに？

\begin{align} &\{(A+B)+i(C-D)\}(a+ib)+\{(A-B)+i(C+D)\}(a-ib)\\ &=aA+aB-bC+bD+aA-aB+bC+bD\\ &+i(bA+bB+aC-aD-bA+bB+aC+aD)\\ &=2\{aA+bD+i(bB+aC)\} \end{align}

[1]$\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{R}^{2},x+iy\mapsto (x,y)$と定めるこの写像は集合として同型写像なので以下、$f(z)=f(x,y)$の様に二変数の実関数として扱う。
[2]$f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),dz=dx+idy$を考えると
\begin{eqnarray} f(z_{0}+dz)&=&f(x_{0}+dx,y_{0}+dy)\\ &=&f(z_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}|_{z=z_{0}}dx+\frac{\partial f}{\partial y}|_{z=z_{0}}dy+o(|dz|)\\ &=&f(z_{0})+(\frac{\partial u}{\partial x}|_{z=z_{0}}dx+\frac{\partial u}{\partial y}|_{z=z_{0}}dy)+i(\frac{\partial v}{\partial x}|_{z=z_{0}}dx+\frac{\partial v}{\partial y}|_{z=z_{0}}dy)+o(|dz|)\\ &=&f(z_{0})+\{(\frac{\partial u}{\partial x}|_{z=z_{0}}+\frac{\partial v}{\partial y}|_{z=z_{0}})+i(\frac{\partial v}{\partial x}|_{z=z_{0}}-\frac{\partial u}{\partial y}|_{z=z_{0}})\}dz+\{(\frac{\partial u}{\partial x}|_{z=z_{0}}-\frac{\partial v}{\partial y}|_{z=z_{0}})+i(\frac{\partial v}{\partial x}|_{z=z_{0}}+\frac{\partial u}{\partial y}|_{z=z_{0}})\}\overline{dz}+o(|dz|) \end{eqnarray}
を得る。
[$\Rightarrow$]与えらた連立微分方程式が成立すると仮定すると$\overline{dz}$の係数が$0$となり$f$が$z=z_{0}$で正則となる事が分かる。
[$\Leftarrow$][2]の式から$\overline{dz}$の係数が$0$とならないといけないので所要の連立偏微分方程式を得る。

[0]$f(z)=u_{f}(z)+iv_{f}(z),g(z)=u_{g}(z)+iv_{g}(z)$とする。
[1]すると$f(z)+g(z)=u_{f}(z)+u_{g}(z)+i\{u_{f}(z)+v_{g}(z)\}$が成り立つ。
ゆえに
\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x}(u_{f}+u_{f})&=&\frac{\partial}{\partial x}u_{f}+\frac{\partial}{\partial x}u_{g}\\ &=&\frac{\partial}{\partial y}v_{f}+\frac{\partial}{\partial y}v_{g}\\ &=&\frac{\partial}{\partial y}(v_{f}+v_{g}) \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial y}(u_{f}+u_{g})&=&\frac{\partial}{\partial y}u_{f}+\frac{\partial}{\partial y}u_{g}\\ &=&-\frac{\partial}{\partial x}v_{f}-\frac{\partial}{\partial x}v_{g}\\ &=&-\frac{\partial}{\partial x}(v_{f}+v_{g}) \end{eqnarray}
[2]$f(z)g(z)=u_{f}(z)u_{g}(z)-v_{f}(z)v_{g}(z)+i\{u_{f}(z)v_{g}(z)+v_{f}(z)u_{g}(z)\}$なので
\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x}(u_{f}u_{g}-v_{f}v_{g})&=&\frac{\partial u_{f}}{\partial x}u_{g}+u_{f}\frac{\partial u_{g}}{\partial x}-\frac{\partial v_{f}}{\partial x}v_{g}-v_{f}\frac{\partial v_{g}}{\partial x}\\ &=&\frac{\partial v_{f}}{\partial y}u_{g}+u_{f}\frac{\partial v_{g}}{\partial y}+\frac{\partial u_{f}}{\partial y}v_{g}+v_{f}\frac{\partial u_{g}}{\partial y}\\ &=&\frac{\partial}{\partial y}(v_{f}u_{g})+\frac{\partial}{\partial y}(u_{f}v_{g})\\ &=&\frac{\partial}{\partial y}(u_{f}v_{g}+v_{f}u_{g}) \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial y}(u_{f}u_{g}-v_{f}v_{g})&=&\frac{\partial u_{f}}{\partial y}u_{g}+u_{f}\frac{\partial u_{g}}{\partial y}-\frac{\partial v_{f}}{\partial y}v_{g}-v_{f}\frac{\partial v_{g}}{\partial y}\\ &=&-\frac{\partial v_{f}}{\partial x}u_{g}-u_{f}\frac{\partial v_{g}}{\partial x}-\frac{\partial u_{f}}{\partial x}v_{g}-v_{f}\frac{\partial u_{g}}{\partial x}\\ &=&-\frac{\partial}{\partial x}(v_{f}u_{g})-\frac{\partial}{\partial x}(u_{f}v_{g})\\ &=&-\frac{\partial}{\partial x}(u_{f}v_{g}+v_{g}u_{f}) \end{eqnarray}
[3]$\frac{1}{f(z)}=\frac{u_{f}(z)}{u_{f}^{2}(z)+v_{f}^{2}(z)}-i\frac{v_{f}(z)}{u_{f}^{2}(z)+v_{f}^{2}(z)}$
\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x}\frac{u_{f}}{u_{f}^{2}+v_{f}^{2}}&=&\frac{1}{u_{f}^{2}+v_{f}^{2}}\frac{\partial u_{f}}{\partial x}-\frac{2u_{f}}{(u_{f}^{2}+v_{f}^{2})^{2}}(u_{f}\frac{\partial u_{f}}{\partial x}+v_{f}\frac{\partial v_{f}}{\partial x})\\ &=&\frac{1}{(u_{f}^{2}+v_{f}^{2})^{2}}\{(v_{f}^{2}-u_{f}^{2})\frac{\partial u_{f}}{\partial x}+2u_{f}v_{f}\frac{\partial v_{f}}{\partial x}\}\\ &=&\frac{1}{(u_{f}^{2}+v_{f}^{2})^{2}}\{(v_{f}^{2}-u_{f}^{2})\frac{\partial v_{f}}{\partial y}-2u_{f}v_{f}\frac{\partial u_{f}}{\partial y}\} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial y}(-\frac{v_{f}}{u_{f}^{2}+v_{f}^{2}})&=&-\frac{1}{u_{f}^{2}+v_{f}^{2}}\frac{\partial v_{f}}{\partial y}+\frac{2v_{f}}{(u_{f}^{2}+v_{f}^{2})^{2}}(u_{f}\frac{\partial u_{f}}{\partial y}+v_{f}\frac{\partial v_{f}}{\partial y})\\ &=&\frac{1}{(u_{f}^{2}+v_{f}^{2})^{2}}\{2u_{f}v_{f}\frac{\partial u_{f}}{\partial y}+(v_{f}^{2}-u_{f}^{2})\frac{\partial v_{f}}{\partial y}\} \end{eqnarray}
なので$\frac{\partial}{\partial x}\frac{u_{f}}{u_{f}^{2}+v_{f}^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}(-\frac{v_{f}}{u_{f}^{2}+v_{f}^{2}})$
\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial y}\frac{u_{f}}{u_{f}^{2}+v_{f}^{2}}&=&\frac{1}{(u_{f}^{2}+v_{f}^{2})}\frac{\partial u_{f}}{\partial y}-\frac{2u_{f}}{(u_{f}^{2}+v_{f}^{2})^{2}}(u_{f}\frac{\partial u_{f}}{\partial y}+v_{f}\frac{\partial v_{f}}{\partial y})\\ &=&\frac{1}{(u_{f}^{2}+v_{f}^{2})^{2}}\{(v_{f}^{2}-u_{f}^{2})\frac{\partial u_{f}}{\partial y}-2u_{f}v_{f}\frac{\partial v_{f}}{\partial y}\}\\ &=&\frac{1}{(u_{f}^{2}+v_{f}^{2})^{2}}\{-(u_{f}^{2}-v_{f}^{2})\frac{\partial v_{f}}{\partial x}-2u_{f}v_{f}\frac{\partial u_{f}}{\partial x}\} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} -\frac{\partial}{\partial x}(-\frac{v_{f}}{u_{f}^{2}+v_{f}^{2}})&=&\frac{1}{u_{f}^{2}+v_{f}^{2}}\frac{\partial v_{f}}{\partial x}-\frac{2v_{f}}{(u_{f}^{2}+v_{f}^{2})^{2}}(u_{f}\frac{\partial u_{f}}{\partial x}+v_{f}\frac{\partial v_{f}}{\partial x})\\ &=&\frac{1}{(u_{f}^{2}+v_{f}^{2})^{2}}\{-(v_{f}^{2}-u_{f}^{2})\frac{\partial v_{f}}{\partial x}-2u_{f}v_{f}\frac{\partial u_{f}}{\partial x}\} \end{eqnarray}
なので$\frac{\partial}{\partial y}\frac{u_{f}}{u_{f}^{2}+v_{f}^{2}}=-\frac{\partial}{\partial x}(-\frac{v_{f}}{u_{f}^{2}+v_{f}^{2}})$を得る。
[4]$f(g(z))=f(u_{g}(x,y),v_{g}(x,y))=u_{f}(u_{g}(x,y),v_{g}(x,y))+iv_{f}(u_{g}(x,y),v_{g}(x,y))$なので
\begin{eqnarray} \frac{\partial u_{f}}{\partial x}&=&\frac{\partial u_{g}}{\partial x}\frac{\partial u_{f}}{\partial u_{g}}+\frac{\partial v_{g}}{\partial x}\frac{\partial u_{f}}{\partial v_{g}}\\ &=&\frac{\partial v_{g}}{\partial y}\frac{\partial v_{f}}{\partial v_{g}}+(-\frac{\partial u_{g}}{\partial y})(-\frac{\partial v_{f}}{\partial u_{g}})\\ &=&\frac{\partial v_{g}}{\partial y}\frac{\partial v_{f}}{\partial v_{g}}+\frac{\partial u_{g}}{\partial y}\frac{\partial u_{f}}{\partial u_{g}}\\ &=&\frac{\partial v_{g}}{\partial y} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \frac{\partial v_{f}}{\partial y}&=&\frac{\partial u_{g}}{\partial y}\frac{\partial v_{f}}{\partial u_{g}}+\frac{\partial v_{g}}{\partial y}\frac{\partial v_{f}}{\partial v_{g}}\\ &=&-\frac{\partial v_{g}}{\partial x}\frac{\partial u_{f}}{\partial v_{g}}+\frac{\partial v_{g}}{\partial x}(-\frac{\partial u_{f}}{\partial v_{g}})\\ &=&-\frac{\partial v_{g}}{\partial x} \end{eqnarray}

[$n=3$]自明。
[$n\geq4$]頂点集合を$v_{1},...,v_{n}$（反時計回り）とし、の頂点とする。$v_{k}=(\min_{v\in P}\pi_{1}(v),\min_{v\in P}\pi_{2}(v))$の内角は$\pi$未満である。
もしそうでないとすると、最小性に反する。

1. 三角形$\triangle v_{k-1}v_{k}v_{k+1}$の内部に他の頂点が存在しなければ、対角線$\overline{v_{k-1}v_{k+1}}$は$P$の内部にあり他の辺と交わらない。
2. 存在すれば、$\triangle v_{k-1}v_{k}v_{k+1}$内の頂点のうち$v_{k}$から最も離れた頂点を$v_{m}$とすれば、$\overline{v_{k}v_{m}}$が対角線になる。

いずれの場合も対角線により$P$は頂点数$n_{1},n_{2}$（$n_{1}+n_{2}=n+2$、$3\leq n_{1},n_{2}< n$）の2つの単純多角形に分割される。帰納法の仮定を適用し、得られる三角形を合わせれば$P$全体の三角形分割を得る（個数は$(n_{1}-2)+(n_{2}-2)=n-2$）。$\blacksquare$
二つの多角形は一辺を共有しているので二回同じ頂点について数えている。

[1]$M=1$の場合。$\overline{\mathcal{D}}$は有界かつ$\partial\mathcal{D}=P_{1}$であるから、$\overline{\mathcal{D}}=\overline{P_{1}}$である。上記補題4を$P_{1}$にそのまま適用すれば、求める三角形分割を得る。
[2]$M\geq2$の場合。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} C\coloneqq P_{1}\\ \mathcal{S}\coloneqq\{P_{1},...,P_{M}\}\setminus C \end{array} \right. \end{eqnarray}
とする。
$\mathcal{S}$の中から、$C$との距離が最小になる成分$P\in\mathcal{S}$と、その距離を達成する2点$p\in P$,$q\in C$を選ぶ。
線分$\overline{pq}$と、$\mathcal{S}\setminus\{P\}$の辺との距離の最小値を$d>0$とする（$\overline{pq}$は最小距離を達成する線分なので、$\mathcal{S}\setminus\{P\}$のどの辺とも交わらず、辺は有限個なので最小値は正である）。$0<\varepsilon< d$を1つ固定し、線分$\overline{pq}$を軸とする幅$\varepsilon$の長方形$R$を取る。
$P$の$p$を含む辺、および$C$の$q$を含む辺を、それぞれ$R$の幅の分だけ短く切り詰め、切り詰めた端点を$R$の対応する角に接続する。これにより、$P$と$C$と$R$の境界をつなげた、自己交差のない1本の閉折れ線が得られる。これを新しい$C$とし、$\mathcal{S}\mapsto\mathcal{S}\setminus\{P\}$として繰り返す。
この操作は$\mathcal{S}$の要素数が1回ごとに1つ減るので、必ず$M-1$回で終わる。得られた$\tilde{P}:=C$は自己交差のない1本の閉折れ線、すなわち単純多角形である。
上記補題を$\tilde{P}$に適用し、$\overline{\tilde{P}}$の三角形分割$S_{1},...,S_{K}$を得る。使った$M-1$個の長方形は、各々対角線を1本引けば2個の三角形に分割できる。これら全てを合わせたものを$T_{1},...,T_{N}$とすれば、構成より$\bigcup_{i=1}^{N}T_{i}=\overline{\mathcal{D}}$であり、全ての$T_{i}$は有限個の頂点・辺のみから構成されているので$i\neq j$のとき$T_{i}\cap T_{j}\subset\partial T_{i}\cap\partial T_{j}$を満たす。

[1]
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a=\min_{v\in\partial \mathcal{D}}\pi_{1}(v)\\ b=\max_{v\in\partial \mathcal{D}}\pi_{1}(v)\\ c=\min_{v\in\partial \mathcal{D}}\pi_{2}(v)\\ d=\max_{v\in\partial \mathcal{D}}\pi_{2}(v) \end{array} \right. \end{eqnarray}
の様に定める。
[2]直線$x=a,x=b$と$\partial \mathcal{D}$が接する二点で閉曲線$\partial \mathcal{D}$を
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \partial \mathcal{D}_{+}:y=f_{+}(x)\\ \partial \mathcal{D}_{-}:y=f_{-}(x)\\ f_{+}(x)\gt f_{-}(x) \end{array} \right. \end{eqnarray}
の様に分離する。
[3]すると
\begin{eqnarray} \int\int_{\mathcal{D}}\frac{\partial P}{\partial y}dxdy&=&\int_{a}^{b}\int_{f_{-}(x)}^{f_{+}(x)}\frac{\partial P}{\partial y}dxdy\\ &=&\int_{a}^{b}\{P(x,f_{+}(x))-P(x,f_{-}(x))\}dx\\ &=&-\int_{\partial\mathcal{D}_{+}}Pdx-\int_{\partial\mathcal{D}_{-}}Pdx\\ &=&-\int_{\partial\mathcal{D}}Pdx \end{eqnarray}
[4]$Q$の方も同様の方法で証明できるの省略。

[1]仮定より単純曲線$J_{1},...,J_{N}$が存在して境界$\partial\mathcal{D}=J_{1}\cup J_{2}\cup \cdots J_{N}$の様に書ける。
次に、$J_{i}$上に有限個の点$p_{i1},...,p_{in_{i}}$を取り多角形$E_{i}$と
そして線分$\overline{p_{i1}p_{ik}}$と曲線$\overset{\frown}{p_{ik}p_{i,k+1}}$で囲まれる凸領域$F_{i,k}$に分ける。
[2]すると$\overline{\mathcal{D}}=(\bigcup_{i=1}^{N}E_{i})\cup (\bigcup_{i=1}^{N}(\bigcup_{j=1}^{n_{i}}F_{i,j}))$の様に書ける。
まず$\bigcup_{i=1}^{N}E_{i}$で書ける領域については三角分割できるので結局三角領域$T$で与えられた式が成り立つ事を確認すればいい。
なぜかと言うと三角領域$T_{i},T_{j}$が各々辺を共有している場合共有している部分の項は周回積分で打ち消しあい$0$になるため。
なので総和を取る事で
\begin{eqnarray} \int\int_{\bigcup_{i=1}^{N}E_{i}}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy&=&\sum_{i}\int\int_{T_{i}}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy)\\ &=&\sum_{i}\oint_{\partial T_{i}}(Pdx+Qdy)\\ &=&\oint_{\partial \bigcup_{i=1}^{N}E_{i}}(Pdx+Qdy) \end{eqnarray}
またさらに、$T_{i}$と$F_{i,k}$の線分の部分が共有されている場合その共有されている部分で打ち消しあうので、先と同じ計算が出来る。
結局示すべきは三角領域$T$で成立する事、領域$F_{ij}$で成立する事。
この二つを言えばいい。
この事は、各々領域が単純閉曲線かつ凸な曲線で囲まれているので補題5より満たす。
よってそれぞれの区分けされた領域で総和をとり示すべき式が証明された。

$z=x+iy,dz=dx+idy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$の様におく。
\begin{eqnarray} \oint_{\partial \mathcal{D}}fdz&=&\oint_{\partial \mathcal{D}}(u+iv)(dx+idy)\\ &=&\oint_{\partial \mathcal{D}}\{(udx-vdy)+i(vdx+udy)\}\\ &=&\oint_{\partial \mathcal{D}}\{-(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})+i(-\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial x})\}dxdy\\ &=&0 \end{eqnarray}

まず$\mathcal{D}$は開集合なので、ある正数$\epsilon\in\mathbb{R}_{+}$が存在して$B_{\epsilon}(a)\subset\mathcal{D}$が成り立つ。
次に境界$\partial \mathcal{D}$上に$z_{0}\in\partial \mathcal{D}$をとり、正数$\delta_{1}\in\mathbb{R}_{+}$を十分小さくとって$\partial\mathcal{D}\cap\partial B_{\delta_{1}}(z_{0})=\{z_{1},z_{2}\}$を満たす二点$z_{1},z_{2}$を取る。
そして弧$\Gamma_{\delta_{1}}\coloneqq \partial\mathcal{D}\setminus(\partial\mathcal{D}\cap B_{\delta}(z_{0}))$を作る。
また$\partial B_{\epsilon}(a)$上の点で$z_{0}$との距離が最小である点を$w_{0}$とし正数$0\lt\delta_{2}\lt \epsilon$を満たす用に取り$\partial B_{\epsilon}(a)\cap\partial B_{\delta_{1}}(w_{0})=\{w_{1},w_{2}\}$を満たす二点$w_{1},w_{2}$を取る。
そして弧$\Gamma_{\delta_{2}}\coloneqq\partial B_{\epsilon}(a)\setminus(\partial B_{\epsilon}(a)\cap\partial B_{\delta_{2}}(w_{0}))$を作る。
さらに線分$\overline{z_{1}w_{1}},\overline{z_{2}w_{2}}$を交差しない様に取る。
以上の様にして作った経路により、閉路$\Gamma\coloneqq\Gamma_{\delta_{1}}\cup\overline{z_{1}w_{1}}\cup \Gamma_{\delta_{2}}\cup\overline{z_{2}w_{2}}$を構成する。すると閉路$\Gamma$内では$f$は正則なのでCauchyの定理より
\begin{eqnarray} \lim_{\delta_{1},\delta_{2}\rightarrow0}\oint_{\Gamma}\frac{f(z)}{z-a}dz&=&\oint_{\partial \mathcal{D}}\frac{f(z)}{z-a}dz-\oint_{\partial B_{\epsilon}(a)}\frac{f(z)}{z-a}dz\\ &=&0 \end{eqnarray}
なので
\begin{eqnarray} \oint_{\partial \mathcal{D}}\frac{f(z)}{z-a}dz&=&\oint_{\partial B_{\epsilon}(a)}\frac{f(z)}{z-a}dz\quad(z=a+\epsilon e^{i\theta},dz=i\epsilon e^{i\theta}d\theta)\\ &=&i\int_{0}^{2\pi}f(a+\epsilon e^{i\theta})d\theta\\ &=&i\int_{0}^{2\pi}\{f(a)+f^{'}(a)\epsilon+o(\epsilon)\}d\theta\\ &\overset{\epsilon\rightarrow0}{\rightarrow}&i2\pi f(a) \end{eqnarray}

定理8より
\begin{eqnarray} f(z)&=&\frac{1}{i2\pi}\oint_{\partial\mathcal{D}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\\ &=&\frac{1}{i2\pi}\oint_{\partial\mathcal{D}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a+a-z}d\zeta\\ &=&\frac{1}{i2\pi}\oint_{\partial\mathcal{D}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a}\frac{d\zeta}{1-\frac{z-a}{\zeta-a}}\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}(z-a)^{n}\frac{1}{i2\pi}\oint_{\partial \mathcal{D}}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}d\zeta\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}(z-a)^{n}\frac{1}{n!}\frac{\partial^{n}}{\partial a^{n}}\frac{1}{i2\pi}\oint_{\partial \mathcal{D}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a}d\zeta\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}(z-a)^{n}\frac{f^{(n)}(a)}{n!} \end{eqnarray}
を得るので正しい。

$a\in\mathcal{D}$で解析的なので、複素数列$\{c_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}\subset\mathbb{C}$が存在して$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}$の様に書ける。
\begin{eqnarray} f(a+dz)&=&\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}dz^{n}\\ &=&c_{0}+c_{1}dz+o(dz)\\ &=&f(a)+c_{1}dz+o(dz) \end{eqnarray}
なので確かに$z=a$で正則である事が分かる。

複素数列$\{c_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}\subset\mathbb{C}$が存在して収束半径$r\in \mathbb{R}_{+}$が存在して$\forall z\in B_{r}(a)\cap\mathcal{D}:h(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}$が成り立つ。
また仮定より$h^{(n)}(a)=n!c_{n}=0\quad(n=0,1,2,...)$が成り立つので実際は$B_{r}(a)\cap\mathcal{D}$で恒等的に$h(z)\equiv 0$。
次に$\mathcal{D}$内の連続な経路$P_{z}=\{\lambda(t)|\lambda(0)=a,\lambda(1)=z\}$を考える。そして次の様な区間に分ける。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} I_{z}\coloneqq\{t|h(\lambda(t))=0\}\\ J_{z}\coloneqq\{t|h(\lambda(t))\neq0\} \end{array} \right. \end{eqnarray}
[1]$t_{0}=\inf J_{z}$を考える。もし$t_{0}\in J_{z}$が成り立つとすると$h$は$h(\lambda(t_{0}))\neq 0$。さらに、$h\circ \lambda$は連続なので、ある正数$\delta\in \mathbb{R}_{+}$が存在して$|t-t_{0}|\lt \delta$を満たす任意の実数$t$に対して$|h(\lambda(t))-h(\lambda(t_{0}))|\lt\frac{|h(\lambda(t_{0}))|}{2}$を満たす様に出来る。ゆえに$0\lt\frac{|h(\lambda(t_{0}))|}{2}\lt|h(\lambda(t))|$が得られる。
しかし、$t_{0}-\delta\lt t\lt t_{0}$であるから$t_{0}$が下限である事に反する。
[2]以上の事と$I_{z}\cap B_{r}(a)\cap \mathcal{D}$で恒等的に$h(\lambda(t))=0$なので$I^{'}=[0,t_{0}]$で恒等的に$h(\lambda(t))=0$。
実際、仮にそうでないとすると、$t_{1}\in [0,t_{0}]$が存在して$h(t_{1})\neq 0$が成立する事になるが$t_{0}$が下限である事に反するから。
[3]区間$[0,t_{0}]$は閉集合なので$t_{0}$に収束するような点列$\{t_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}$を取る。ただし$t_{n}\neq 0$を取る事が出来る。
$h$は$z=\lambda(t_{0})$解析的なので複素数列$\{c_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}$が存在して$h(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-\lambda(t_{0}))^{n}$の様に書ける。
この時、$|c_{n}|\neq 0$を満たす最小の自然数を$m_{0}$とすれば
\begin{equation} |\frac{h(z)}{(z-\lambda(t_{0}))^{m_{0}}}|\geq |c_{m_{0}}|-\sum_{n=m_{0}+1}^{\infty}|\frac{c_{n}}{c_{m_{0}}}||z-\lambda(t_{0})|^{n-m_{0}} \end{equation}
を得る。また任意の正数$\epsilon\in \mathbb{R}_{+}$に対して正数$\delta\in\mathbb{R}_{+}$が存在し、さらに自然数$n_{0}\in\mathbb{N}$が存在して、任意の自然数$n\in\mathbb{N}(n\gt n_{0})$に対し$|\lambda(t_{n})-t_{0}|\lt \epsilon$が成り立つので
\begin{eqnarray} |\frac{h(\lambda(t_{n}))}{\epsilon^{m_{0}}}|=0\geq|c_{m_{0}}|(1-o(\epsilon)) \end{eqnarray}
が成り立つので$c_{m_{0}}=0$を得る。
しかし、$c_{m_{0}}\neq0$に反する。ゆえに$c_{0}=c_{1}=\cdots=0$である事が分かる。
[3]上記の事から$z=\lambda(t_{0})$を中心とする収束半径$r_{0}$の開円$B_{r_{0}}(\lambda(t_{0}))$で恒等的に$h(z)=0$である事が分かるので、ある正数$\epsilon\in\mathbb{R}_{+}$が存在して$t_{0}\lt t\lt t_{0}+\epsilon$で$h(\lambda(t))=0$が成立する。
しかし、$t_{0}$が$J_{z}$の下限である事に反する。
ゆえに$J_{z}=\varnothing$でないといけない事が分かる。つまり経路$P_{z}$上で常に$h(\lambda(t))=0$が恒等的に成り立つ事が示せた。

$h(z)\coloneqq f(z)-g(z)$を考える。これは$\mathcal{D}$上で解析的なので複素数列$\{c_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}$が存在して$h(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-z_{0})^{n}$が成立する。
この時、正数$m_{0}\in\mathbb{N}$を$|c_{n}|\neq0$を満たす最小のものであるとすると$|\frac{h(z)}{(z-z_{0})^{m_{0}}}|\geq|c_{m_{0}}|(1-o(|z-z_{0}|))$が成立するので、任意の正数$\epsilon\in\mathbb{R}_{+}$に対して正数$\delta\in\mathbb{R}_{+}$が存在してさらに整数$n_{0}\in\mathbb{N}_{0}$が存在し任意の整数$n\in\mathbb{N}_{0}(n\gt n_{0})$に対し
\begin{eqnarray} |\frac{h(z_{n})}{\epsilon^{m_{0}}}|=0&\leq&|c_{m_{0}}|(1+o(\epsilon)) \end{eqnarray}
が成り立つので$c_{m_{0}}=0$を得る。しかし$|c_{m_{0}}|\neq 0$なので矛盾。
ゆえに$c_{0}=c_{1}=\cdots=0$が成り立つ事が分かる。
つまり$h^{(n)}(z_{0})=0$が成り立つので、補題12より$\mathcal{D}$上で$h\equiv 0$なので$f=g$が示せた。

[反射律]任意の連続関数$f\in\mathcal{P}(z_{0};z_{1})$について$H(z,s)\equiv f(z)$の様にすればこれは$f$から$f$へのホモトピーをなすので$f\simeq f$。
[対称律]任意の連続関数$f,g\in\mathcal{P}(z_{0};z_{1})$について$f$から$g$へのあるホモトピー$H(z,s)$が存在するので$\tilde{H}(z,s)=H(z,1-s)$とすると
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \tilde{H}(z,0)=H(z,1)=g(z)\\ \tilde{H}(z,1)=H(z,0)=f(z) \end{array} \right. \end{eqnarray}
なのでこれが$g$から$f$へのホモトピーである事が分かる。
[推移律]任意の連続関数$f,g,h\in\mathcal{P}(z_{0};z_{1})\quad(f\simeq g\land g\simeq h)$について、$f$から$g$へのホモトピー$H(z,s)$および$g$から$h$へのホモトピー$I(z,s)$が存在するので以下の様なホモトピーを構成する事で$f\simeq h$が得られる。
\begin{eqnarray} J(z,s)\coloneqq\left\{ \begin{array}{l} H(z,2s)\quad(0\leq s\lt \frac{1}{2})\\ I(z,2s-1)\quad(\frac{1}{2}\leq s\leq 1) \end{array} \right. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} (f\ast g)\ast h= \left\{ \begin{array}{l} f(4t)\quad(0\leq t\lt \frac{1}{4})\\ g(4t-1)\quad(\frac{1}{4}\leq t\lt \frac{1}{2})\\ h(2t-1)\quad(\frac{1}{2}\leq t\leq 1) \end{array} \right. \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} f\ast(g\ast h)= \left\{ \begin{array}{l} f(2t)\quad(0\leq t\lt \frac{1}{2})\\ g(4t-2)\quad(\frac{1}{2}\leq t\lt\frac{3}{4})\\ h(4t-3)\quad(\frac{3}{4}\leq t\leq 1) \end{array} \right. \end{eqnarray}
以下ではホモトピーを求めるために$k(t,s)=\frac{at+bs+c}{dt+es+f}$の様なものを考える。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} k(t,0)=\frac{at+c}{dt+f}\\ k(t,1)=\frac{at+b+c}{dt+e+f} \end{array} \right. \end{eqnarray}
を用いる。
[fについて]
$(0,0),(0,1)$の場合
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} k(0,0)=\frac{c}{f}=0\therefore c=0\\ k(0,1)=\frac{b}{e+f}=0\therefore b=0 \end{array} \right. \end{eqnarray}
$(\frac{1}{4},0),(\frac{1}{2},1)$の場合
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} k(\frac{1}{4},0)=\frac{\frac{1}{4}a}{\frac{1}{4}d+f}=1\therefore d+4f=a\\ k(\frac{1}{2},1)=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}a+e-f}=1\therefore e-f=0 \end{array} \right. \end{eqnarray}
が得られるので$a=1,b=0,c=0,d=0,e=\frac{1}{4},f=\frac{1}{4}$として$k(t,s)=\frac{4t}{s+1}$

[$g$について]
$(\frac{1}{4},0),(\frac{1}{2},1)$の場合
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} k(\frac{1}{4},0)=\frac{\frac{1}{4}a+c}{\frac{1}{4}d+f}=0\therefore c=-\frac{a}{4}\\ k(\frac{1}{2},1)=\frac{\frac{1}{4}a+b}{\frac{1}{2}d+e+f}=0\therefore b=-\frac{a}{4} \end{array} \right. \end{eqnarray}
$(\frac{1}{2},0),(\frac{3}{4},1)$の場合
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} k(\frac{1}{2},0)=\frac{\frac{1}{4}a}{\frac{1}{2}d+f}=1\therefore 2d+4f=a\\ k(\frac{3}{4},1)=\frac{\frac{1}{4}a}{\frac{3}{8}a+e-\frac{1}{2}f}=1\therefore -8e+4f=a \end{array} \right. \end{eqnarray}
が得られるので$a=4,b=-1,c=-1,d=0,e=0,f=1$として$k(t,s)=4t-s-1$
[$h$について]
$(\frac{1}{2},0),(\frac{3}{4},1)$の場合
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} k(\frac{1}{2},0)=\frac{\frac{1}{2}a+c}{\frac{1}{2}d+f}=0\therefore c=-\frac{1}{2}a\\ k(\frac{3}{4},1)=\frac{\frac{1}{4}a+b}{\frac{3}{4}d+e+f}=0\therefore b=-\frac{1}{4}a \end{array} \right. \end{eqnarray}
$(1,0),(1,1)$の場合
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} k(1,0)=\frac{\frac{1}{2}a}{d+f}=1\therefore d+f=\frac{1}{2}a\\ k(1,1)=\frac{\frac{1}{4}a}{\frac{1}{2}a+e}=1\therefore e=-\frac{1}{4}a \end{array} \right. \end{eqnarray}
が得られるので$a=4,b=-1,c=-2,d=0,e=-1,f=2$として$k(t,s)=\frac{4t-s-2}{2-s}$。
上記の三つの$k(t,s)$を組み合わせる事で次の様なホモトピーを得るので$(f\ast g)\ast h\simeq f\ast (g\ast h)$
\begin{eqnarray} H(t,s)\coloneqq \left\{ \begin{array}{l} \frac{4t}{s+1}\quad(0\leq t\leq \frac{1+s}{4})\\ 4t-s-1\quad(\frac{1+s}{4}\leq t\leq \frac{2+s}{4})\\ \frac{4t-s-2}{2-s}\quad(\frac{2+s}{4}\leq t\leq 1) \end{array} \right. \end{eqnarray}

[well-defined]$f\simeq f^{'},g\simeq g^{'}$を満たすものとする。
するとホモトピー$H(t,s),I(t,s)$が存在し
\begin{eqnarray} J(t,s)\coloneqq\left\{ \begin{array}{l} H(2t,s)\quad(0\leq t\lt \frac{1}{2})\\ I(2t-1,s)\quad(\frac{1}{2}\leq t\leq 1) \end{array} \right. \end{eqnarray}
の様な連続関数を考えると、これが$f\ast g$から$f^{'}\ast g^{'}$へのホモトピーとなるので$[f\ast g]=[f^{'}\ast g^{'}]$
[積は閉じている]これは、端点が常に$z_{0}$で動かないので正しい。
[結合律]これは先ほど示したので問題なし。
[単位元]$e(t)=z_{0}$を満たす関数がそれにあたる。実際
\begin{eqnarray} H(t,s)=\left\{ \begin{array}{l} e(\frac{3t}{t+s+1})\quad(0\leq t\leq s)\\ f(\frac{2(t-s)}{t-2s+1})\quad(s\leq t\leq 1) \end{array} \right. \end{eqnarray}
を考えると$e\ast f\simeq f$を得る。
$f\ast e\simeq f$も同様なので$[e]\ast [f]=[f]=[f]\ast [e]$。
[逆元]$[f]\in \pi(z_{0})$に対して$\tilde{f}(t)\coloneqq f(1-t)$は逆元となる。
\begin{eqnarray} H(t,s)=\left\{ \begin{array}{l} f(2t(1-s))\quad(0\leq t\lt \frac{1}{2})\\ f(2(1-t)(1-s))\quad(\frac{1}{2}\leq t\leq 1) \end{array} \right. \end{eqnarray}
とすると、これが$f\ast \tilde{f}$から$e$へのホモトピーとなる事が分かる。
$\tilde{f}\ast f\simeq e$も同様に言えるので$[f]\ast [\tilde{f}]=[e]=[\tilde{f}]\ast [f]$

[反射律]$(\mathcal{D},f)\in\mathcal{F}_{a}$に対して$W=\mathcal{D}$とせよ。
[対称律]$\cap,=$は可換なので明らか。
[推移律]$(\mathcal{D},f),(\mathcal{E},g),(\mathcal{G},h)\in\mathcal{F}_{a}$が$(\mathcal{D},f)\simeq_{a}(\mathcal{E},g)\land(\mathcal{E},g)\simeq_{a}(\mathcal{G},h)$を満たすとすると
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \exists W_{1}\subset\mathcal{D}\cap\mathcal{E}(W_{1}は開集合)\ s.t.\ f|_{W_{1}}=g|_{W_{1}}\\ \exists W_{2}\subset\mathcal{E}\cap\mathcal{G}(W_{2}は開集合)\ s.t.\ g|_{W_{2}}=h|_{W_{2}}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}
が成り立つので$W_{3}\coloneqq W_{1}\cap W_{2}\subset \mathcal{D}\cap\mathcal{E}\cap\mathcal{G}\subset\mathcal{D}\cap\mathcal{G}$かつ$f|_{W_{3}}=g|_{W_{3}}=h|_{W_{3}}$なので$(\mathcal{D},f)\simeq_{a}(\mathcal{G},h)$

well-definedだけ確認する。
$(\mathcal{D},f)\simeq_{a}(\mathcal{D}^{'},f^{'}),(\mathcal{E},g)\simeq_{a}(\mathcal{E}^{'},g^{'})$の様に置く。すると仮定より開集合$W_{f}\subset \mathcal{D}\cap \mathcal{D}^{'},W_{f^{'}}\subset\mathcal{D}\cap \mathcal{D}^{'}$が存在して$f|_{W_{1}}=f^{'}|_{W_{1}},g|_{W_{2}}=g^{'}|_{W_{2}}$が成り立つので
$W_{f}\cap W_{g}\subset(\mathcal{D}\cap\mathcal{E})\cap(\mathcal{D}^{'}\cap\mathcal{E}^{'})$で$f|_{W_{1}\cap W_{2}}=f^{'}|_{W_{1}\cap W_{2}},g|_{W_{1}\cap W_{2}}=g^{'}|_{W_{1}\cap W_{2}}$。
ゆえに$f|_{W_{1}\cap W_{2}}+g|_{W_{1}\cap W_{2}}=f^{'}|_{W_{1}\cap W_{2}}+g^{'}|_{W_{1}\cap W_{2}}$および$f|_{W_{1}\cap W_{2}}g|_{W_{1}\cap W_{2}}=f^{'}|_{W_{1}\cap W_{2}}g^{'}|_{W_{1}\cap W_{2}}$が得られるのでwell-defined。
また、$\frac{df}{dz}|_{W_{1}}=\frac{df^{'}}{dz}|_{W_{1}}$なので微分もwell-defined

道$\lambda\in\mathcal{P}(z_{0};z_{1})$について$\lambda$に沿った動的解析接続を$\{\varphi_{t}^{(1)}\}_{t\in[0,1]},\{\varphi_{t}^{(2)}\}_{t\in[0,1]}$を考える。
そして$I\coloneqq\{t|\varphi_{t}^{(1)}=\varphi_{t}^{(2)}\}$の様な集合を考える。
[1]$I$は空集合ではない。
なぜなら、$\varphi_{0}^{(1)}=\varphi_{0}^{(2)}=\varphi_{0}$がまず存在するので$0\in I$
[2]$I$は開集合。
任意の$t_{0}\in I$に対して$\varphi_{t_{0}}^{(1)}=\varphi_{t_{0}}^{(2)}=[\mathcal{D},f]_{\lambda(t_{0})}=[\mathcal{E},g]_{\lambda(t_{0})}$が成り立ち、なおかつ動的解析接続の定義より、正数$\delta_{1},\delta_{2}\in\mathbb{R}_{+}を適当に定めれば、任意のt\in[0,1](|t-t_{0}|\lt \min\{\delta_{1},\delta_{2}\})$に対して$\lambda(t)\in \mathcal{D},\mathcal{E}$を満たすように出来る。
よって、$\lambda(t)\in W\subset\mathcal{D}\cap\mathcal{E}$を満たす開集合を一つ取ることが出来、さらに一致の定理より$f|_{W}=g|_{W}$なので$(\mathcal{D},f)\simeq_{\lambda(t)}(\mathcal{E},g)$。つまり$\varphi_{t}^{(1)}=[\mathcal{D},f]_{\lambda(t)}=[\mathcal{E},g]_{\lambda(t)}=\varphi^{(2)}_{t}$が成り立つ事が分かるので、$(t_{0}-\delta,t_{0}+\delta)\cap[0,1]\subset I$。
[3]$I$は閉集合。
$t_{0}\not\in I$であるとする。$I$の定義より$\varphi_{t_{0}}^{(1)}=[\mathcal{D},f]_{\lambda(t_{0})}\neq[\mathcal{E},g]_{\lambda(t_{0})}=\varphi_{t_{0}}^{(2)}$が成立する。
この時、ある正数$\delta_{1},\delta_{2}\in\mathbb{R}_{+}$を適切に定めて$t\in[0,1](|t-t_{0}|\lt\min\{\delta_{1},\delta_{2}\})$を満たす$t$で$\lambda(t)\in\mathcal{D}\cap\mathcal{E}$となりかつ$\varphi_{t}^{(1)}=[\mathcal{D},f]_{\lambda(t)}=[\mathcal{E},g]_{\lambda(t)}=\varphi_{t}^{(2)}$を満たすように取る。するとある開集合$\lambda(t)\in W\subset\mathcal{D}\cap\mathcal{E}$がとれて$f|_{W}=g|_{W}$を満たすので$(\mathcal{D},f)\simeq_{\lambda(t_{0})}(\mathcal{E},g)$となって矛盾。
ゆえに$(t_{0}-\delta,\delta+\delta)\cap [0,1]\subset [0,1]\setminus I$
[4]$I$は空集合でない開かつ閉集合なので$I=[0,1]$である。
この事から$\{\varphi_{t}^{(1)}\}_{t\in [0,1]}=\{\varphi_{t}^{(2)}\}_{t\in [0,1]}$

[1]$\{\psi_{t}^{(1)}\}_{t\in[0,1]},\{\psi_{t}^{(2)}\}_{t\in[0,1]}$をそれぞれ、関数芽$\varphi_{0}$の$\lambda\in\mathcal{P}(z_{0};z_{1})$に沿った動的解析接続そして関数芽$\varphi_{1}$の$\lambda\in\mathcal{P}(z_{1};z_{2})$に沿った動的解析接続であるものとする。
この時、関数芽の族$\{\psi_{t}\}_{t\in[0,1]}$を次の様に定める。
\begin{eqnarray} \psi_{t}\coloneqq \left\{ \begin{array}{l} \psi^{(1)}_{2t}\quad(0\leq t\leq \frac{1}{2})\\ \psi^{(2)}_{2t-1}\quad(\frac{1}{2}\leq t\leq 1) \end{array} \right. \end{eqnarray}
[2]$t\neq \frac{1}{2}$である場合は例えば$0\leq t\leq \frac{1}{2}$場合は$s=2t$とすることで$\psi_{t}=\psi^{(1)}_{s}\quad(0\leq s\lt 1)$なので$s=1$を除いて動的解析接続を満たす事が分かる。$\frac{1}{2}\leq t\leq 1$の場合も同様。
[3]$t=\frac{1}{2}$の場合は、$\psi_{\frac{1}{2}}=\psi_{1}^{(1)}=\psi^{(2)}_{0}=\varphi_{1}$であるので、$\psi^{(1)}_{1}=[\mathcal{D},f]_{\lambda(1)}=[\mathcal{E},g]_{\mu(0)}=\psi^{(2)}_{0}$とかけ、さらに関数の芽の定義より開集合$\lambda(1)=\mu(0)\in W\subset\mathcal{D}\cap\mathcal{E}$で$f|_{W}=g|_{W}$を満たしなおかつ、$\lambda,\mu$の連続性よりある正数$\delta_{1},\delta_{2}\in \mathbb{R}_{+}$が存在して$|t-\frac{1}{2}|\lt\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}$を満たす任意の$t$に対して$\lambda(2t),\mu(2t-1)\in W$を満たすように出来るので$t=\frac{1}{2}$でも動的解析接続の条件を満たす事が分かる。
[4]さらに$\psi_{0}=\psi^{(1)}_{0}=\varphi_{0}$かつ$\psi_{1}=\psi^{(2)}_{1}=\varphi_{2}$なので関数芽$\varphi_{0}$の$\lambda\ast\mu\in\mathcal{P}(z_{0};z_{2})$に沿った動的解析接続の結果は$\varphi_{2}$である事が示された。

関数芽の族$\{\psi_{t}\}_{t\in[0,1]}$を$\psi_{t}=\varphi_{1-t}$が成り立つ様に定める。
$t_{0}\in [0,1]$に対してある正数$\delta\in\mathbb{R}_{+}$と代表元$(\mathcal{D},f)\in \varphi_{t_{0}}$が存在して$|t-t_{0}|\lt \delta$を満たすような任意の実数$t\in [0,1]$で$\lambda(t)\in \mathcal{D}\land \varphi_{t}=[\mathcal{D},f]_{\lambda(t)}$が成り立つ。
そこで、$s=1-t,s_{0}=1-t_{0}$の様に置くと$(\mathcal{D},f)\in \psi_{s}=\varphi_{t}$が成り立ち$|s-s_{0}|\lt \delta$を満たす実数$s\in[0,1]$で$\tilde{\lambda}(s)=\lambda(t)\in \mathcal{D}\land \psi_{s}=\varphi_{t}=[\mathcal{D},f]_{\tilde{\lambda}(s)}$が得られるので$\{\psi_{t}\}_{t\in[0,1]}$は関数芽$\varphi_{1}$の$\tilde{\lambda}=\lambda(1-t)\in\mathcal{P}(z_{1};z_{0})$に沿った動的解析接続であり、結果は$\varphi_{0}$。

[1]$\lambda\simeq\mu$より、ホモトピー $H:[0,1]\times[0,1]\rightarrow \mathcal{D}$が存在して以下を満たす。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} H(t,0)=\lambda(t),H(t,1)=\mu(t) \quad (t\in[0,1])\\ H(0,s)=z_0,H(1,s)=z_1 \quad (s\in[0,1]) \end{array} \right. \end{eqnarray}
各$s\in[0,1]$に対して、経路$\gamma_{s(t)}\coloneqq H(t,s)\in\mathcal{P}(z_0; z_1)$ を定める。
芽$\varphi_{0}$の$\gamma_{s}$に沿った動的解析接続を$\{\varphi_{t}^{(s)}\}$。その結果を$\Phi(s)$とおく。
示すべきは$\Phi(0)=\Phi(1)$。
[2]局所定数性を$\Phi(s)$は持つ。
(1)区間の分割
任意の$t_{0}\in[0,1]$に対して動的解析接続の定義より$\delta_{t}\in\mathbb{R}_{+}$と代表元$(\mathcal{D}_{t_{0}},f_{t_{0}})\in\varphi_{t_{0}}^{(s_{0})}$が存在して、$t\in U_{t_{0}}\coloneqq(t_{0}-\delta_{t_{0}},t_{0}+\delta_{t_{0}})$上で$\gamma_{s_{0}}(t)\in\mathcal{D}_{t_{0}}$かつ$\varphi_{t}^{(s_{0})}=[\mathcal{D},f_{t_{0}}]_{\gamma_{s_{0}}(t)}$
開集合族$\{U_{t_{0}}\}_{t_{0}\in[0,1]}$は$[0,1]$の開被覆であり、$[0,1]$はコンパクトなので有限個の増加点列$s_{1}\lt\cdots s_{n}$を取り$U_{s_{1}},...,U_{s_{n}}$を考える事で$[0,1]$を覆うことが出来る。
また各々$s_{1},...,s_{n}$に対応する代表元を$(\mathcal{D}_{1},f_{s_{1}}),...,(\mathcal{D}_{n},f_{s_{n}})$と定める。
次に$t_{i}\in U_{s_{i}}\cap U_{s_{i+1}}I(i=1,2,...,n-1),t_{0}=0,t_{n}=1$をとる事で
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \gamma_{s_{0}}([t_{i-1},t_{i}])\subset U_{s_{i}}\quad(i=1,2,...,n)\\ \varphi_{t}^{(s_{0})}=[\mathcal{D}_{i},f_{s_{i}}]_{\gamma_{s_{0}}(t)}\quad(t\in[t_{i-1},t_{i}],i=1,2,...,n) \end{array} \right. \end{eqnarray}
(2)開集合共通部分での整合性
$[\mathcal{D}_{i},f_{s_{i}}]_{\gamma_{s_{0}}(t_{i})}=\varphi_{t_{i}}^{(s_{0})}=[D_{i+1},f_{s_{i+1}}]_{\gamma_{s_{0}}(t_{i})}$であり、芽の定義より開集合$\gamma_{s_{0}}(t_{i})\in W_{i}\subset\mathcal{D}_{i}\cap \mathcal{D}_{i+1}$上で$f_{s_{i}}|_{W_{i}}=f_{s_{i+1}}|_{W_{i}}$が成り立ち。さらに$\gamma_{s_{0}}$の連続性より正数$\delta\in\mathbb{R}_{+}$が存在して$|t-t_{i}|\lt\delta$を満たす$t$に対して$\gamma_{s_{0}}(t)\in W_{i}$を満たすように取れるので$\varphi_{t}^{(s_{0})}=[D_{i}\cap D_{i+1},f_{i}]_{\gamma_{s_{0}}(t)}$
(3)$s$を動かした際の各区間の不変性
各$i=1,2,...,n$について$\gamma_{s_{0}}([t_{i-1},t_{i}])$はコンパクトなであり、仮定より$\gamma_{s_{0}}([t_{i-1},t_{i}])\subset \mathcal{D}_{s_{i}}$。
ゆえに$dist(\gamma_{s_{0}}([t_{i-1},t_{i}]),\mathcal{D}_{s_{i}}^{c})=d_{i}\gt 0$が存在する。
また$\max_{t\in [t_{i-1},t_{i}]}|H(t,s)-H(t,s_{0})|$は$H$が連続かつ$[t_{i-1},t_{i}]$がコンパクトなのでいつでもその値を定義出来その値は$s$に関して連続。ゆえにある正数$\epsilon_{i}\in\mathbb{R}_{+}$が存在して$|s-s_{i}|\lt \epsilon_{i}$が成り立つ様にすれば$\max_{t\in [t_{i-1},t_{i}]}|H(t,s)-H(t,s_{0})|\lt d_{i}$を満たすように取れる。すなわち$\forall t\in[t_{i-1},t_{i}]:H(t,s)\in\mathcal{D}_{s_{i}}$
同様に$i=1,2,...,n-1$について$W_{i}$は$\gamma_{s_{0}}(t_{i})=H(t_{i},s_{0})$を含む開集合なので$H$の連続性から$\epsilon_{i}\in\mathbb{R}_{+}$が存在して$|s-s_{0}|\lt \epsilon^{'}\Rightarrow H(t_{i},s)\in W_{i}$。
よって、$\epsilon\coloneqq\min\{\epsilon_{1},...,\epsilon_{n},\epsilon_{1}^{'},...,\epsilon_{n-1}^{'}\}$が取れる。
(4)$|s-s_{0}|\lt \epsilon$で$\gamma_{s}$に沿った動的解析接続を構成する。
$\psi_{t}^{(s)}\coloneqq [\mathcal{D}_{s_{i}},f_{s_{i}}]_{H(t,s)}\quad(t\in[t_{i-1},t_{i}])$と定める。
(3)より$H(t,s)\in\mathcal{D}_{s_{i}}$かつ$H(t_{i},s)\in W_{i}$。さらに(2)より$f_{s_{i}}|_{W_{i}}=f_{s_{i+1}}|_{W_{i}}$は確認済み。
$H(0,s)=z_{0}$なので$\psi_{0}^{(s)}=\varphi_{0}$を満たすので$\{\psi^{(s)}_{t}\}$は$\varphi_{0}$の$\gamma(s)$に沿った動的解析接続を与える事が分かる。
(5)一意性
$\gamma(s)$に沿った動的解析接続が存在するなら、$\Phi(s)=\psi_{1}^{(s)}=[\mathcal{D}_{n},f_{s_{n}}]_{H(1,s)}=[\mathcal{D},f_{n}]_{z_{1}}$。これは$s$に依存しない。また$(\mathcal{D}_{n},f_{s_{n}})$も$s$に依存しないので$\Phi(s)=\Phi(s_{0})$
[3]区間$[0,1]$はコンパクトなので任意の正数$\epsilon\in\mathbb{R}_{+}$を用いて$\bigcup_{s\in[0,1]}(s-\epsilon,s+\epsilon)=[0,1]$という開被覆を考えると有限開被覆$\bigcup_{i=1}^{n}(s_{i}-\epsilon,s_{i}+\epsilon)=[0,1]\quad(s_{0}=0,s_{n}=1)$を取る事ができるので$\Phi(0)=\Phi(s_{1})=\cdots=\Phi(1)$を得る。

任意の点$z\in\mathcal{D}$、$\mu\in\mathcal{P}(z_{0};z)$を取ると$\lambda\ast \mu\in\mathcal{P}(z_{0};z)$も$\mathcal{D}$内の道であり、$\varphi\in\mathcal{G}_{D}$より$\varphi$の$\lambda\ast \mu$による動的解析接続が存在する。これは定理20の動的解析接続の合成より$\varphi^{\lambda}$の$\mu$に沿った動的解析接続に他ならないので$\varphi^{\lambda}\in\mathcal{P}_{D}$

$\varphi$の代表元を$(\mathcal{D},f)$を取る。そして$\delta=1$と定めると$t\in[0,1]$で$e(t)=z_{0}\in\mathcal{D}$かつ$\varphi_{t}=[\mathcal{D},f]_{z_{0}}=\varphi$が成り立つ。
ゆえに$\varphi^{e}=\varphi$

[(1)]補題24より$\varphi^{e}=\varphi$なので明らか。
[(2)]$[\lambda],[\mu]$の代表元$\lambda,\mu$を考える。$\varphi$の$\lambda\ast\mu$に沿った動的解析接続はの結果は$\varphi^{\lambda\ast \mu}$であり、これは$\varphi_{1}$の$\mu$に沿った動的解析接続$(\varphi^{\lambda})^{\mu}$と一致するので$\varphi^{[\lambda][\mu]}=(\varphi^{[\lambda]})^{[\mu]}$

[1]初期の芽を$\varphi_{0}=[\mathcal{D}_{0},h_{0}]_{\gamma(0)}$とする。
ただし$R(h_{0}(z),z)=0$を満たす正則関数。
$h_{0}$は$\gamma(0)$での解かつ解析的なので$\gamma(0)$を含むその近傍$V$に含まれる道$\gamma([0,1])\cap V$で動的解析接続が出来る。
[2]なので$T\coloneqq\{t^{'}|\varphi_{0}を\gamma|_{[0,t^{'}]}に沿って動的解析接続可能\}$の様な集合を考える。
すると初期条件から$0\in T$を得る。ゆえに$T\neq \varnothing$なので$t^{\ast}=\sup{T}$を考えることが出来る。
[3]$t^{\ast}\lt 1$の様に定める。
$t^{\ast}$の定義より、ある正数$\delta\in\mathbb{R}_{+}$が存在して$t_{1}\in(t^{\ast}-\delta,t^{\ast}]\cap T$をとる事で、$\varphi_{0}$から$\gamma|_{t_{1}}$に沿った動的解析接続により$\varphi_{t_{1}}=[\mathcal{D}^{\ast},h_{1}]_{\gamma(t_{1})}$が得られる。
[4]このとき$R(h_{1}(z),z)=0\quad(z\in\mathcal{D^{\ast}})$なので特に$(h_{1}(\gamma(t_{1})),\gamma(t_{1}))\in X$
[5]この点に対して仮定を用いると点$(h_{1}(\gamma(t_{1})),\gamma(t_{1}))$の近傍$V^{\ast}$と$\gamma(t_{1})$の近傍$\mathcal{D}^{\ast}$を$p|_{V^{\ast}}:V^{\ast}\rightarrow \mathcal{D}^{\ast}$は正則同型写像となる様に取れる。
したがって、$(p|_{V^{\ast}})^{-1}:\mathcal{D}^{\ast}\rightarrow V^{\ast}$が正則となる。
[6]$p\circ (p|_{V^{\ast}})^{-1}=id_{D^{\ast}}$であるのである正則関数$k:\mathcal{D}^{\ast}\rightarrow\mathbb{C}$が存在して
\begin{equation} (p|_{V^{\ast}})^{-1}(z)=(k(z),z) \end{equation}
[7]$(p|_{V^{\ast}})^{-1}(z)\in X$なので$R(k(z),z)=0$が$\mathcal{D}^{\ast}$上で成り立つ。
[8]また$t_{1}\in \mathcal{D}^{\ast}$で$(h_{1}(\gamma(t_{1})),\gamma(t_{1}))\in V^{\ast}$であるから
\begin{equation} (p|_{V^{\ast}})^{-1}(\gamma(t_{1}))=(k(\gamma(t_{1})),\gamma(t_{1}))=(h_{1}(\gamma(t_{1})),\gamma(t_{1})) \end{equation}
なお$h_{1}$は正則なので$z$が$\gamma(t_{1})$に十分近い値を取れば$(h_{1}(z),z)$は$(h_{1}(\gamma(t_{1})),\gamma(t_{1}))$に十分近く近傍$\mathcal{D}^{'}\subset\mathcal{D}^{\ast}$で$(h_{1}(z),z)\in V^{\ast}$。$p|_{V^{\ast}}$が単射なので$\mathcal{D}^{'}$上で$p(h_{1}(z),z)=z=p(k(z),z)$が成り立つので$h_{1}(z)=k(z)$。
これから$\mathcal{D}^{\ast}$上で$k(\gamma(t_{1}))=h_{1}(\gamma(t_{1}))$が成り立つ。
すなわち$\varphi_{t_{1}}=[\mathcal{D},k]_{\gamma(t_{1})}$を得る。
[9]$\gamma$は連続であり、$\gamma(t_{1})\in\mathcal{D}^{\ast}$が成り立つのである正数$\delta\in\mathbb{R}_{+}$が存在して$\gamma([t_{1},t_{1}+\delta])\subset\mathcal{D}^{\ast}$を満たすように出来、$t\in [t_{1},t_{1}+\delta]$に対して$\varphi_{t}=[\mathcal{D}^{\ast},k]_{\gamma(t)}$
[10]$t=t_{1}$である場合は$\varphi_{t_{1}}=[\mathcal{D},k]_{\gamma(t_{1})}$であり、$k$は$\mathcal{D}^{\ast}$上で正則な関数なので$t_{1}$から$t_{1}+\delta$までの各時点で得られる芽は、前の芽の解析接続となる様に出来る。
この操作は$t_{1}\rightarrow t^{\ast}$の極限を取ることが出来$t^{\ast}\leq t\leq t_{1}+\delta$を満たす$t$を取れるので$t^{\ast}$が上限である事に反する。
ゆえに$t^{\ast}=1$以外にあり得ない事が示せた。

[1]まず$h(z)^{2}-z=0$なので$z=re^{i\theta}$とおくと$h(z)=\pm\sqrt{r}e^{i\frac{\theta}{2}}$を満たす。
そこで点$(\pm\sqrt{r}e^{i\frac{\theta}{2}},re^{i\theta})$の近傍$V_{\pm}=B_{\sqrt{r}}(\pm\sqrt{r}e^{i\frac{\theta}{2}})\times B_{\frac{r}{2}}(re^{i\theta})\cap X$を取ると、$\mathcal{D}_{\pm}=p|_{V_{\pm}}(V_{\pm})=B_{\frac{r}{2}}(re^{i\theta})$は局所正則同型。

1. 全射性については明らか。
2. 単射性については$(h,z)\neq(h^{'},z)$の様な事が$V_{\pm}$で起きない事を言えばいい。
   $\epsilon=|h_{0}|$とし$h,-h\in B_{\epsilon}(h_{0})$であったとする。すると
   \begin{eqnarray} 2|h_{0}|&=&|(h_{0}-h)+(h_{0}+h)|\\ &\leq&|h_{0}-h|+|h_{0}+h|\\ &\lt&|h_{0}|=2\epsilon \end{eqnarray}
   となって$\epsilon$の定義と矛盾する。
3. 以上の事から位相同型性は明らか。
4. 正則性に関しては各々成分に対して正則性を確認するだけ。

[2]点$z_{0}=1$での関数の芽$\varphi_{0}=[\mathcal{D}_{0},h_{0}]_{1},h_{0}(1)=1$とする。そして曲線$\gamma$に沿った解析的解析接続の結果を次の様に定める。$\varphi_{0}^{[\gamma]}=\varphi_{0}^{\gamma}=[\mathcal{D}_{1},h_{1}]$。この時$h_{1}(1)=h_{0}(e^{i2\pi})=e^{i\frac{2\pi}{2}}=-1$なので$\varphi_{0}^{[\gamma]}=\varphi_{0}^{-}\neq\varphi_{0}$。
さらにもう一度、芽$\varphi_{0}^{-}$を曲線$\gamma\in \mathcal{P}(1)$に沿って動的解析接続をすると$h_{1}(e^{i2\pi})=-e^{i\frac{2\pi}{2}}=1$なので$(\varphi_{0}^{-})^{[\gamma]}=\varphi_{0}$
以上の計算から$\mathrm{Orb}=\{\varphi_{0},\varphi_{0}^{-}\}$
[3]直感的な証明にとどめる。
考える領域は$\mathbb{C}\setminus\{0\}$であるので経路は二通りの状態しか起きない。

1. 原点$0$を囲わない
2. 原点$0$を囲う

前者では$[e]$後者では$[\gamma]$
また、原点周りを反時計回りに$n$回周回する曲線は$[\gamma]^{n}$、原点周りを時計回りに$n$回周回する曲線は$[\tilde{\gamma}]^{n}=[\gamma]^{-n}$と書けるので$\pi(1)=<[\gamma]>$。
さらに$[\gamma]^{n}\mapsto n$の様な対応を考えるとこれは全単射で$(\mathbb{Z},+)$と群同型。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \rho([\gamma])\varphi_{0}=\varphi_{0}^{[\gamma]}=\varphi_{0}^{-}\\ \rho([\gamma])^{2}\varphi_{0}=\varphi_{0}^{[\gamma]^{2}}=\varphi_{0} \end{array} \right. \end{eqnarray}
なので$\rho([\gamma])\mapsto1$という対応を考えると$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+)$と同型である事が分かる。
つまりモノドロミー群は$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$と同型である事が分かった。