ポッホハマー記号と階乗の関係
はじめに
この記事ではポッホハマー記号
$$(x)_n=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)$$
と階乗の関係について簡単にまとめていきます。
本題
$$\l(\frac1m\r)_n\l(\frac2m\r)_n\cdots\bigg(\frac mm\bigg)_n=\frac{(mn)!}{m^{mn}}$$
\begin{align}
\l(\frac1m\r)_n\l(\frac2m\r)_n\cdots\bigg(\frac mm\bigg)_n
&=\frac1m\cdot\frac2m\cdots\frac m{m}\\
&\qquad\times\frac{m+1}m\cdot\frac{m+2}m\cdots\frac{2m}{m}\\
&\qquad\phantom{\cdot}\vdots\\
&\qquad\times\frac{(n-1)m+1}m\cdots\farc{nm}m\\
&=\frac{(mn)!}{m^{mn}}
\end{align}
とわかる。
$$\prod^m_{\substack{l=1\\\gcd(m,l)=1}}\l(\frac lm\r)_n=\prod_{d\mid m}\l(\frac{(dn)!}{d^{dn}}\r)^{\mu(m/d)}$$
ただし$\mu(n)$はメビウス関数とした。
上の左辺を$a_m$とおくと
$$\prod_{d\mid m}a_d=\prod^m_{l=1}\l(\frac lm\r)_n=\frac{(mn)!}{m^{mn}}$$
が成り立つので、これにメビウスの反転公式
$$g(n)=\prod_{d\mid n}f(d)\quad\iff\quad f(n)=\prod_{d\mid n}g(d)^{\mu(n/d)}$$
を適用することで主張を得る。
\begin{align} (1)_n&=n!\\ \l(\frac12\r)_n&=\frac{(2n)!}{2^{2n}}\c\frac1{n!}\\ \l(\frac13\r)_n\l(\frac23\r)_n&=\frac{(3n)!}{3^{3n}}\c\frac1{n!}\\ \l(\frac14\r)_n\l(\frac34\r)_n &=\frac{(4n)!}{4^{4n}}\c\frac{2^{2n}}{(2n)!}\\ &=\frac1{4^{3n}}\frac{(4n)!}{(2n)!}\\ \l(\frac16\r)_n\l(\frac56\r)_n &=\frac{(6n)!}{6^{6n}}\c\frac{3^{3n}}{(3n)!}\c\frac{2^{2n}}{(2n)!}\c n!\\ &=\frac1{432^n}\frac{n!(6n)!}{(2n)!(3n)!}\\ \l(\frac18\r)_n\l(\frac38\r)_n\l(\frac58\r)_n\l(\frac78\r)_n &=\frac{(8n)!}{8^{8n}}\c\frac{4^{4n}}{(4n)!}\\ &=\frac1{2^{16n}}\frac{(8n)!}{(4n)!}\\ \l(\frac1{12}\r)_n\l(\frac5{12}\r)_n\l(\frac7{12}\r)_n\l(\frac{11}{12}\r)_n &=\frac{(12n)!}{12^{12n}}\c\frac{6^{6n}}{(6n)!}\c\frac{4^{4n}}{(4n)!}\c\frac{(2n)!}{2^{2n}}\\ &=\frac1{12^{6n}}\frac{(2n)!(12n)!}{(4n)!(6n)!} \end{align}
余談
ちなみに同様の議論によってガンマ関数の特殊値に関する次のような等式も導けます。
$$\prod^n_{k=1}\G\l(\frac kn\r)=\frac{(2\pi)^{\frac{n-1}2}}{\sqrt n}$$
倍数公式
$$\G(nz)=\frac{n^{nz-\frac12}}{(2\pi)^{\frac{n-1}2}}\prod^{n-1}_{k=0}\G\l(z+\frac kn\r)$$
において$z=1/n$とすることでわかる。
$$\prod^n_{\substack{k=1\\\gcd(n,k)=1}}\G\l(\frac kn\r)
=\l\{\begin{array}{ll}
(2\pi)^{\frac{\vp(n)}2}/\sqrt p\quad&n=p^e\\
(2\pi)^{\frac{\vp(n)}2}&\mathrm{otherwise.}\\
\end{array}\r.$$
ただし$\vp(n)$はオイラーのトーシェント関数とした。
上の左辺の対数を取り、それを$a_n$とおくと
$$\sum_{d\mid n}a_d=\sum^n_{k=1}\log\G\l(\frac kn\r)=\frac{n-1}2\log2\pi-\frac12\log n$$
が成り立つのでメビウスの反転公式より
$$a_n=\sum_{d|n}\mu\l(\frac nd\r)\l(\frac{d-1}2\log2\pi-\frac12\log d\r)$$
と表せる。
また
\begin{align}
\sum_{d|n}\mu(d)&=0\qquad(n>1)\\
\sum_{d|n}\mu\l(\frac nd\r)d&=\vp(n)
\end{align}
およびフォン・マンゴルト関数
$$\La(n)=\l\{\begin{array}{ll}
\log p\quad&n=p^e\\
0&\mathrm{otherwise.}\\
\end{array}\r.$$
に対し
$$\sum_{d\mid n}\La(n)=\log n$$
つまり
$$\sum_{d\mid n}\mu\l(\frac nd\r)\log d=\La(n)$$
が成り立つことに注意すると
$$a_n=\frac{\vp(n)}2\log2\pi-\frac12\La(n)$$
を得る。
\begin{align} \prod^{n-1}_{k=1}\frac1{\sqrt{2\pi}}\G\l(\frac kn\r)&=\frac1{\sqrt n}\\ \prod^n_{\substack{k=1\\\gcd(n,k)=1}}\frac1{\sqrt{2\pi}}\G\l(\frac kn\r) &=\l\{\begin{array}{cl} \dis\frac1{\sqrt p}&\quad n=p^e\\ 1&\quad\mathrm{otherwise.}\\ \end{array}\r. \end{align}
\begin{align} \G(1)&=1\\ \G\l(\frac12\r)&=\sqrt\pi\\ \G\l(\frac13\r)\G\l(\frac23\r)&=\frac{2\pi}{\sqrt3}\\ \G\l(\frac14\r)\G\l(\frac34\r)&=\sqrt2\pi\\ \G\l(\frac16\r)\G\l(\frac56\r)&=2\pi\\ \G\l(\frac18\r)\G\l(\frac38\r)\G\l(\frac58\r)\G\l(\frac78\r)&=2\sqrt2\pi^2\\ \G\l(\frac1{12}\r)\G\l(\frac5{12}\r)\G\l(\frac7{12}\r)\G\l(\frac{11}{12}\r) &=4\pi^2 \end{align}
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