ラマヌジャンの論文13：ある級数について
はじめに
この記事ではラマヌジャンの書いた論文"Summation of a certain series"を読んでいきます。
タイトルの13という番号はハーディによる書籍"Collected Papers of Srinivasa Ramanujan"におけるナンバリングに準じています。ちなみに"Collected Papers"の全容については
こちらのサイト
や
こちらのサイト
にて閲覧することができます。
なお各命題の証明については論文で示されている式変形以外は自力で考案したものとなるので至らぬ点もあるかもしれませんがあしからず。
概説
この論文の主題は
\begin{align}
\Phi(s,x)
&=\sum^\infty_{n=0}\frac1{(\sqrt{x+n+1}+\sqrt{x+n})^s}\\
&=\sum^\infty_{n=0}(\sqrt{x+n+1}-\sqrt{x+n})^s\\
\end{align}
という関数の特殊値をゼータ関数を用いて表すことにあります。
具体的にはフルヴィッツのゼータ関数
$$\z(s,x)=\sum^\infty_{n=0}\frac1{(x+n)^s}\qquad(\Re(s)>1)$$
の$\Re(s)<1$における値を用いることで、奇数$s\geq3$に対し
\begin{align}
\Phi(s,x)
&+\frac{(\sqrt x+\sqrt{x-1})^s+(\sqrt x-\sqrt{x-1})^s}2\\
&+\sum^{\lfloor(s+1)/4\rfloor}_{k=1}s\frac{(s-2k)\cdots(s-4k+3)}{(2k-1)!}2^{s-4k-2}\z(2k-1-\tfrac s2,x)=0
\end{align}
が成り立つことが示されます。
1.
$B_n$をベルヌーイ数
$$\frac t{e^t-1}=\sum^\infty_{n=0}\frac{B_n}{n!}t^n$$
とし、$(x)_n$をポッホハマー記号
$$(x)_n=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)$$
とする。
$1-2n< s<1$のとき$x\to\infty$において
$$\z(s,x)=-\frac{x^{1-s}}{1-s}
+\frac{x^{-s}}2+x^{1-s}\sum^{n-1}_{k=1}\frac{(s)_{2k-1}}{(2k)!}B_{2k}x^{-2k}+O(x^{1-s-2n})$$
が成り立つ。
オイラー・マクローリンの和公式
$$\sum^\infty_{n=0}f(n)
=\int^\infty_0f(t)dt-\frac{f(\infty)-f(0)}2
+\sum^{n-1}_{k=1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(\infty)-f^{(2k-1)}(0))
+\int^\infty_0\frac{\B_{2n-1}(t)}{(2n-1)!}f^{(2n-1)}(t)dt$$
において$f(t)=(x+t)^{-s}$とすることで$\Re(s)>1$において
$$\z(s,x)=-\frac{x^{1-s}}{1-s}+\frac{x^{-s}}2
+\sum^{n-1}_{k=1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(s)_{2k-1}x^{-s-(2k-1)}
-\int^\infty_0\frac{\B_{2n-1}(t)}{(2n-1)!}(s)_{2n-1}(x+t)^{-s-(2n-1)}dt$$
が成り立つ。
またこの右辺は$\Re(s)>-(2n-1)$における解析接続を与えることなどに注意すると主張を得る。
$$6\z(-\tfrac12,x)+(4x-3)\sqrt x+\Phi(3,x)=0$$
$$\Psi(x)=6\z(-\tfrac12,x)+(4x-3)\sqrt x+\Phi(3,x)$$
とおいたとき
\begin{align}
\z(s,x)-\z(s,x+1)&=x^{-s}\\
\Phi(s,x)-\Phi(s,x+1)&=(\sqrt{x+1}-\sqrt x)^s
\end{align}
に注意すると
\begin{align}
\Psi(x)-\Psi(x+1)
&=6\sqrt x+(4x+1)\sqrt{x+1}-(4x-3)\sqrt x+(\sqrt{x+1}-\sqrt x)^3\\
&=0
\end{align}
がわかり、また$x\to\infty$において
\begin{align}
6\z(-\tfrac12,x)&=-4x^{\frac32}+3x^{\frac12}+O(x^{-\frac12})\\
\Phi(s,x)&=O(x^{1-\frac s2})
\end{align}
と評価できることに注意すると
$$\Psi(x)=\lim_{n\to\infty}\Psi(x+n)=0$$
を得る。
$$40\z(-\tfrac32,x)+(16x^2-20x+5)\sqrt x+\Phi(5,x)=0$$
上と同様。
2.
\begin{align} \sum^n_{k=1}\sqrt k&=\frac{(4n+3)\sqrt n}6-\frac1{4\pi}\z(\tfrac32)+\frac16\Phi(3,n)\\ \sum^n_{k=1}\sqrt{2k-1}&=\frac{(4n+1)\sqrt{2n-1}}6+\frac{\sqrt2-1}{4\pi}\z(\tfrac32)+\frac1{3\sqrt2}\Phi(3,n-\tfrac12)\\ \end{align}
\begin{align}
\z(-\tfrac12,n)&=\z(-\tfrac12,1)-\sum^{n-1}_{k=1}\sqrt k\\
\z(-\tfrac12,n-\tfrac12)&=\z(-\tfrac12,\tfrac12)-\sum^{n-1}_{k=1}\sqrt{k-\tfrac12}\\
\end{align}
が成り立つこと
$$\z(s,1)=\z(s),\quad\z(s,\tfrac12)=(2^s-1)\z(s)$$
が成り立つこと、そして関数等式
$$\z(s)=2(2\pi)^{s-1}\sin\l(\frac{\pi s}2\r)\G(1-s)\z(1-s)$$
から
\begin{align}
\z(-\tfrac12)
&=2(2\pi)^{-\frac32}\c-\frac1{\sqrt2}\c\frac{\sqrt\pi}2\c\z(\tfrac32)\\
&=-\frac1{4\pi}\z(\tfrac32)
\end{align}
が成り立つことに注意して、上の公式
$$6\z(-\tfrac12,x)+(4x-3)\sqrt x+\Phi(3,x)=0$$
において$x=n,n-\frac12$とすることでわかる。
\begin{align} \sum^n_{k=1}k\sqrt k &=\frac{(16n^2+20n+5)\sqrt n}{40}-\frac3{16\pi^2}\z(\tfrac52)+\frac1{40}\Phi(5,n)\\ \sum^n_{k=1}(2k-1)\sqrt{2k-1} &=\frac{(16n^2+4n-1)\sqrt{2n-1}}{40} +\frac{3(2\sqrt2-1)}{16\pi^2}\z(\tfrac52)+\frac1{10\sqrt2}\Phi(5,n-\tfrac12)\\ \end{align}
上と同様。
ある$n$に依らない定数$C,C'$が存在して
\begin{align}
\sum^n_{k=1}\sqrt{a+kd}
&=C+\frac{(4(a+nd)+3d)\sqrt{a+nd}}{6d}+\frac{\sqrt d}6\Phi(3,n+a/d)\\
\sum^n_{k=1}(a+kd)\sqrt{a+kd}
&=C'+\frac{(16(a+nd)^2+20d(a+kd)+3d^2)\sqrt{a+nd}}{40d}+\frac{d\sqrt d}{40}\Phi(5,n+a/d)
\end{align}
が成り立つ。
$$\Phi(3,0)=\frac3{2\pi}\z\l(\frac32\r),\quad\Phi(5,0)=\frac{15}{2\pi^2}\z\l(\frac52\r)$$
3.
奇数$s$に対し
\begin{align}
(\sqrt x+\sqrt{x-1})^s+(\sqrt x-\sqrt{x-1})^s
&=\sum^{\lfloor s/2\rfloor}_{k=0}(-1)^k\frac s{s-k}\binom{s-k}k(2\sqrt x)^{s-2k}\\
(\sqrt x+\sqrt{x+1})^s+(\sqrt x-\sqrt{x+1})^s
&=\sum^{\lfloor s/2\rfloor}_{k=0}\phantom{(-1)^k}\frac s{s-k}\binom{s-k}k(2\sqrt x)^{s-2k}\\
\end{align}
が成り立つ。
左辺の母関数は
\begin{align}
&\phantom{{}={}}
\sum^\infty_{n=0}\frac{(\sqrt x+\sqrt{x-1})^{2n+1}+(\sqrt x-\sqrt{x-1})^{2n+1}}{2\sqrt x}t^n\\
&=\frac1{2\sqrt x}\l(\frac{\sqrt x+\sqrt{x-1}}{1-(\sqrt x+\sqrt{x-1})^2t}
+\frac{\sqrt x-\sqrt{x-1}}{1-(\sqrt x-\sqrt{x-1})^2t}\r)\\
&=\frac{1-t}{1-2(2x-1)t+t^2}\\
&=\frac{1-t}{(1+t)^2}\sum^\infty_{m=0}\l(\frac{4xt}{(1+t)^2}\r)^m\\
&=(1-t)\sum^\infty_{m=0}(4xt)^m\sum^\infty_{k=0}(-1)^k\binom{k+2m+1}kt^k\\
&=\sum^\infty_{m=0}(4xt)^m\sum^\infty_{k=0}(-1)^k(\binom{k+2m+1}k+\binom{k+2m}{k-1})t^k\\
&=\sum^\infty_{n=0}t^n\sum^n_{k=0}(-1)^k(\binom{2n+1-k}k+\binom{2n-k}{k-1})(4x)^{n-k}
\qquad(m=n-k)\\
\end{align}
と変形できるので
\begin{align}
&\phantom{{}={}}(\sqrt x+\sqrt{x-1})^{2n+1}+(\sqrt x-\sqrt{x-1})^{2n+1}\\
&=\sum^n_{k=0}(-1)^k\frac{2n+1}{2n+1-k}\binom{2n+1-k}k(2\sqrt x)^{2n+1-2k}
\end{align}
を得る。
奇数$s\geq3$に対し
\begin{align}
\Phi(s,x)
&+\frac{(\sqrt x+\sqrt{x-1})^s+(\sqrt x-\sqrt{x-1})^s}2\\
&+\sum^{\lfloor(s-3)/4\rfloor}_{k=0}\frac s{s-2k-1}\binom{s-2k-1}{2k+1}2^{s-4k-2}\z(2k+1-\tfrac s2,x)=0
\end{align}
が成り立つ。
\begin{align}
\Psi_1(s,x)&=\Phi(s,x)+\frac{(\sqrt x+\sqrt{x-1})^s+(\sqrt x-\sqrt{x-1})^s}2\\
\Psi_2(s,x)&=
\sum^{\lfloor(s+1)/4\rfloor}_{k=1}\frac s{s-4k+2}\binom{s-2k}{2k-1}2^{s-4k+2}\z(2k-1-\tfrac s2,x)\\
\Psi(s,x)&=\Psi_1(s,x)+\Psi_2(s,x)
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
\Psi_1(s,x)-\Psi_1(s,x+1)
&=(\sqrt{x+1}-\sqrt x)^s
+\frac{(\sqrt x+\sqrt{x-1})^s+(\sqrt x-\sqrt{x-1})^s}2
-\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt x)^s+(\sqrt{x+1}-\sqrt x)^s}2\\
&=\frac{(\sqrt x+\sqrt{x-1})^s+(\sqrt x-\sqrt{x-1})^s}2
-\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt x)^s-(\sqrt{x+1}-\sqrt x)^s}2\\
&=\sum^{\lfloor s/2\rfloor}_{k=0}\frac{(-1)^k-1}2\frac s{s-k}\binom{s-k}k(2\sqrt x)^{s-2k}\\
&=-\sum^{\lfloor(s-3)/4\rfloor}_{k=0}\frac s{s-2k-1}\binom{s-2k-1}{2k+1}(2\sqrt x)^{s-4k-2}
\end{align}
に注意すると公式1と同様にして
$$\Psi(s,x)=\Psi(s,x+1)=\lim_{n\to\infty}\Psi(s,x+n)=0$$
を得る。
偶数$s\geq2$に対し
\begin{align}
&\frac{(\sqrt x+\sqrt{x-1})^s+(\sqrt x-\sqrt{x-1})^s}2-1\\
={}&\sum^{\lfloor(s-2)/4\rfloor}_{k=0}\frac s{s-2k-1}\binom{s-2k-1}{2k+1}2^{s-4k-2}\z(2k+1-\tfrac s2,x)
\end{align}
が成り立つ。
奇数$s\geq3$に対し
\begin{align}
\Phi(s,0)
=-\frac s{\sqrt 2}\pi^{-(s+1)/2}\cos\frac{\pi s}4
\sum^{\lfloor(s-3)/4\rfloor}_{k=0}(-1)^k
&\frac{(2k+1)(2k+3)\cdots(s-2k-2)}{k!}\\
&\times\frac{s-2k-3}2\frac{s-2k-5}2\cdots\frac{s-4k-1}2\\
&\times\frac{\pi^{2k+1}}{2k+1}\z\l(\frac s2-2k\r)
\end{align}
が成り立つ。
関数等式
$$\z(s)=2(2\pi)^{s-1}\sin\l(\frac{\pi s}2\r)\G(1-s)\z(1-s)$$
から
\begin{align}
\z\l(2k+1-\frac s2\r)
&=2(2\pi)^{2k-\frac s2}\c(-1)^k\cos\frac{\pi s}4\c
\frac{1\c3\cdots(s-4k-2)}{2^{\frac{s-1}2-2k}}\sqrt\pi\c\z\l(\frac s2-2k\r)
\end{align}
が成り立つことなどに注意するとわかる。
4.
$$\Psi(s,x)=\sum^\infty_{n=0}\frac{(\sqrt{x+n+1}+\sqrt{x+n})^{-s}}{\sqrt{(x+n)(x+n+1)}}$$
とおくと奇数$s\geq1$に対し
\begin{align}
&\Psi(s,x)
-\frac{(\sqrt x+\sqrt{x-1})^s-(\sqrt x-\sqrt{x-1})^s}{2\sqrt{x(x-1)}}\\
={}&\sum^{\lfloor(s+1)/4\rfloor}_{k=1}\binom{s-2k}{2k-1}2^{s-4k+2}\z(2k-\tfrac s2,x)
\end{align}
が成り立つ。
公式3と同様にするか
$$\Psi(s,x)=-\frac2s\frac{\partial}{\partial x}\Phi(s,x)$$
に注意して公式3を微分することでわかる。
\begin{align} \Psi(1,x)&=\frac1{\sqrt x}\\ \Psi(3,x)&=4\sqrt x-\frac1{\sqrt x}+2\z(\tfrac12,x)\\ \Psi(5,x)&=16x\sqrt x-12\sqrt x+\frac1{\sqrt x}+24\z(-\tfrac12,x) \end{align}
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