高校数学解説

典型定積分の変わった別解

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　こんちは！！よねです！

　受験生が終わり，暇だったのでそのときに使っていたノートを読み直していたらなかなか変わった解法で解いているものを見つけたので紹介します！

　次の定積分を求めよ．
$\int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{1 - e^{x}} d x$

　はい．受験生の頃よく見た定積分ですね！
一応下に真面目な解法を置いときますね！

真面目な解法

e^{- x} - 1 = t

とすると

d t = - e^{- x} d x

x = - 2

のとき

t = e^{2} - 1

，

x = - 1

のとき

t = e - 1

より

\begin{aligned} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{1 - e^{x}} d x & = \int_{- 2}^{- 1} \frac{e^{- x}}{e^{- x} - 1} d x \\ = - \int_{e^{2} - 1}^{e - 1} \frac{d t}{t} \\ = - [\ln | x |]_{e^{2} - 1}^{e - 1} \\ = - \ln (e - 1) + \ln (e^{2} - 1) \\ = ln(e+1) \end{aligned}

　この解き方を知らずに初見でこの問題を見たときの過去の僕は以下のような解き方をしていました．

変な解き方

$- 2 \leq x \leq - 1$ のとき $| e^{x} | < 1$ から
$\frac{1}{1 - e^{x}} = \sum_{k = 0}^{\infty} e^{k x}$ よって
$\int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{1 - e^{x}} d x = \int_{- 2}^{- 1} \sum_{k = 0}^{\infty} e^{k x} d x$
$\sum_{k = 0}^{\infty} e^{k x}$ は $[- 2, - 1]$ で一様収束するため
$\begin{aligned} \int_{- 2}^{- 1} \sum_{k = 0}^{\infty} e^{k x} d x & = \sum_{k = 0}^{\infty} \int_{- 2}^{- 1} e^{k x} d x \\ = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} (e^{- k} - e^{- 2 n}) \end{aligned}$
$A = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{e^{- k}}{k}, B = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{e^{- 2 k}}{k}$ とする．
$- \ln (1 - x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k}$ より
$A = - \ln (1 - e^{- 1}), B = - \ln (1 - e^{- 2})$
よって
$\begin{aligned} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{1 - e^{x}} d x & = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} (e^{- k} - e^{- 2 n}) \\ = 1 + A - B \\ = 1 - \ln (1 - e^{- 1}) + \ln (1 - e^{- 2}) \\ = ln(e+1) \end{aligned}$