三角関数の上級者向け公式集

対象
三角関数のサクシードの問題を一通りやった人
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} ①( 超頻出) fを二次関数として、\\ f( sin\uptheta ) =0の解の個数\\ \rightarrow 判別式、軸、f( 1) 、f( -1) の吟味\\ \\ ②3項の三角比の和\rightarrow 三相交流( 頻出)\\ 証明は単位円に内接する正三角形の重心から、\\ \\ sin\uptheta +sin\left( \uptheta +\frac{2\uppi }{3}\right) +sin\left( \uptheta +\frac{4\uppi }{3}\right) =0\\ 当然sinをcosに変えても同様。\\ n相交流に一般化できる。複素平面や高次方程式と関係あり。\\ \\ ③3項の三角比の積\rightarrow すばるの公式( 頻出)\\ sin3\uptheta =-4sin\left( \uptheta -\frac{\uppi }{3}\right) sin\uptheta sin\left( \uptheta +\frac{\uppi }{3}\right)\\ cos3\uptheta =4cos\left( \uptheta -\frac{\uppi }{3}\right) cos\uptheta cos\left( \uptheta +\frac{\uppi }{3}\right)\\ tan3\uptheta =-tan\left( \uptheta -\frac{\uppi }{3}\right) tan\uptheta tan\left( \uptheta +\frac{\uppi }{3}\right)\\ 証明方法\rightarrow この公式を加法定理か積和で分解すると3倍角になる\\ \\ ④丸暗記( 頻出)\\ sin\frac{\uppi }{12} =\frac{\sqrt{6} -\sqrt{2}}{4} \ \ \ cos\frac{\uppi }{12} =\frac{\sqrt{6} +\sqrt{2}}{4}\\ tan\frac{\uppi }{12} =2-\sqrt{3} \ \ \ tan\frac{5\uppi }{12} =2+\sqrt{3}\\ 証明方法\rightarrow 半角の公式( 図形的証明の方が僅かに速い)\\ cos\frac{\uppi }{5} =\frac{\sqrt{5} +1}{4} \ \ \ cos\frac{2\uppi }{5} =\frac{\sqrt{5} -1}{4}\\ 証明方法\rightarrow 底角が72度、頂角が36度の二等辺三角形\\ \\ ⑤5倍角の公式( ごくまれに使う)\\ sinxまたはcosxをf( x) として、\\ f( 5x) =16f( x)^{5} -20f( x)^{3} +5f( x)\\ 16,-20,5っていう並びを覚えておく。\\ 証明は2x+3xで分解\\ \\ ⑥sin\uptheta 、cos\uptheta の不等式、方程式( 超頻出)\\ \rightarrow 変数変換して因数分解するよりグラフかくほうが\\ 早くて絶対ミスないしおすすめ単位円よりグラフがおすすめ\\ グラフをともかくかけ\\ \\ ⑦点の回転\rightarrow 回転行列( 頻出)\\ ( p,q) を\uptheta 度回転させた点( x,y) は\\ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} cos\uptheta & sin\uptheta \\ sin\uptheta & cos\uptheta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix}\\ \\ ⑧グラフの傾き\Longleftrightarrow tan\uptheta \\ この置き換えの考え方が大事\\ \\ ⑨特殊な変数変換( 超頻出)\\ sin\uptheta とcos\uptheta の対称式\rightarrow t=sin\uptheta +cos\uptheta =\sqrt{2} sin\left( \uptheta +\frac{\uppi }{4}\right)\\ sin\uptheta とcos\uptheta の交代式\rightarrow t=-sin\uptheta +cos\uptheta =-\sqrt{2} sin\left( \uptheta -\frac{\uppi }{4}\right)\\ ( -sin\uptheta +cos\uptheta の方が倍角の公式と相性が良かったりする)\\ 最終奥義はt=tan\frac{\uptheta }{2} でsinもcosもtanも全部有理式に出来るから\\ 微分ゴリゴリとかと併用する。\\ \\ ⑩三角形の内角A,B,Cにおける三角関数の恒等式、不等式の証明( ごくまれ)\\ \rightarrow 三角和積\\ 結論から言うと和積系の公式は覚えなくて良い\\ こういう対称式が成立すると知っておくのが大事。\\ sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}{2} cos\frac{B}{2} cos\frac{C}{2}\\ sinAsinBsinC=\frac{1}{4}( sin2A+sin2B+sin2C)\\ cosA+cosB+cosC=4sin\frac{A}{2} sin\frac{B}{2} sin\frac{C}{2} +1\\ cosAcosBcosC=-\frac{1}{4}( cos2A+cos2B+cos2C+1)\\ 証明方法\rightarrow AとBで和積、Cで倍角、和積、の順番 \end{array}$