"有理点を頂点に持つ正三角形は存在しない"←3次元の場合は？他の正多角形は？

問題

多次元空間において、すべての頂点が有理点となる正$n$角形が存在するのに必要な最低次元数を$n$ごとに求めよ。

問題

$xy$平面において、すべての頂点が有理点となる正三角形が存在しないことを示せ。

理系向け・複素平面を用いた解法

点$(c,d)$は点$(a,b)$を原点中心に$\frac{\pi}3,-\frac{\pi}3$いずれか回転したものである
$(a+bi)(\frac12\pm\frac{\sqrt3}2 i )=(\frac12a\mp\frac{\sqrt3}2b)+(\frac12b\pm\frac{\sqrt3}2a)i$
座標は$(c,d)=(\frac12a\mp\frac{\sqrt3}2b,\frac12b\pm\frac{\sqrt3}2a)$となり、
$c,d$はどちらも有理数であるが、有理数にするには$(a,b)=(0,0)$とするしかなく、
そうすると辺の長さが$0$となり矛盾

文系向け・$3$角形の面積公式を用いた解法

三角形の面積はベクトルを用いたものと、間の角度を用いたものから
$\frac12 \left| ad -bc \right| $または$\frac12(a^2+b^2)\frac{\sqrt3}2$が与えられるが
前者は有理数で後者は無理数となり矛盾

多角形対策

「有理点頂点の正多角形が存在する」$\Longrightarrow$「連続する$3$つの頂点が有理点」
なので、「連続する$3$つの頂点が有理点」が必要条件です。
まず、連続する$3$つの頂点のみを調べます。

多次元対策

ベクトルの内積を用いて矛盾を示す
原点から$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$へ伸びる辺の間の角度$θ$は
$\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}cosθ=x_1x_2+y_1y_2$が成り立ちます。
左辺の$\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}$はどちらも等しい正多角形の一辺なので有理数です。
右辺は有理数になりますが、左辺は$cosθ $の値によります。
これを用いれば簡単に多次元でも矛盾を示せます。

$cosθ$が有理数か無理数かについて

$θ$が既約分数$\frac{m}{n}×\pi$と書けるとき、$n$が$1,2,3$のとき$cosθ$は有理数
要は90度刻み、60度刻みなら有理数っていうことです。
（証明は長くなってしまうのでわかっていることして使わせてください。）

有理点は整数倍すれば、すべて整数となる点へ移すことができるので、
整数倍した格子点を$(a,b),(c,d)$とする。
$\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}\frac12=ac+bd$
$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=4(ac+bd)^2$
$(a^2+b^2)(c^2+d^2) $=$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$より
$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=4(ac+bd)^2$
$(ad-bc)^2=3(ac+bd)^2$
どちらも整数であるが、素因数分解したときの$3$の素因数の個数が違うため、
$ad-bc=0,ac+bd=0$である。
ところでこの二つは$(a+bi)(d+ci)$の実部と虚部である。
実部と虚部がともに0になるには$a+bi,d+ci$いずれか一方は必ず0である必要があるが
辺の長さが0になり矛盾