とある広義積分と少しだけ生き方のお話

てきとー

なんか思いついてwolframにぶち込んで $x$ を変えてみたら面白そうだったので書きます。タイトルも成り行きで。

謎積分

$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u = \frac{π}{2} \cos x + Ci (x) \sin x - Si (x) \cos x$
$\int_{0}^{\infty} \frac{u e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u = \frac{π}{2} \sin x - Ci (x) \cos x - Si (x) \sin x$
$\int_{0}^{\infty} \frac{u^{2} e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u = \frac{1}{x} - \frac{π}{2} \cos x - Ci (x) \sin x + Si (x) \cos x$

不定積分は指数積分が出てきます。 $u^{2}$ 版は $0$ 乗版の証明ができればすぐできますね。

正弦積分と余弦積分

おさらい(?)。

$Si (x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} d t, Ci (x) = - \int_{x}^{\infty} \frac{\cos t}{t} d t = γ + \ln x + \int_{0}^{x} \frac{\cos t - 1}{t} d t$

$\cos t - 1$ を分離すると発散してしまうのでこのままです。

証明

さて、証明...と行きたいところですが、chatGPTも使ったのですが、
...無理でした。私の実力では到底敵わない。
ということで、「数学を愛する会」の「Picmin3daisuki」様にご協力いただきました。

$Ω_{n} (x) := \int_{0}^{\infty} \frac{u^{n} e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u$ と定める。

今回は $Ω_{0} (x), Ω_{1} (x)$ をそれぞれ $f (x), g (x)$ として解きます。

$f^{'} (x) = \frac{\partial}{\partial x} (\int_{0}^{\infty} \frac{e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u)$
$- \int_{0}^{\infty} \frac{u e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u = - g (x)$
$∴ f^{″} (x) = - g^{'} (x) = - \frac{\partial}{\partial x} (\int_{0}^{\infty} \frac{u e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u)$
$= \int_{0}^{\infty} \frac{u^{2} e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u = \int_{0}^{\infty} \frac{(u^{2} + 1 - 1) e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u$
$= \int_{0}^{\infty} e^{- u x} d u - \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u = \frac{1}{x} - f (x)$
よって微分方程式 $f^{″} (x) + f (x) = \frac{1}{x}$ を解くと、
$f (x) = (\frac{π}{2} - Si (x)) \cos x + Ci (x) \sin x = \frac{π}{2} \cos x + Ci (x) \sin x - Si (x) \cos x$
また、
$g (x) = - f^{'} (x) = \frac{π}{2} \sin x - \frac{\sin x \cos x}{x} - Ci (x) \cos x + \frac{\sin x \cos x}{x} - Si (x) \sin x$
$= \frac{π}{2} \sin x - Ci (x) \cos x - Si (x) \sin x$
よって、
$Ω_{0} (x) = \frac{π}{2} \cos x + Ci (x) \sin x - Si (x) \cos x, Ω_{1} (x) = \frac{π}{2} \sin x - Ci (x) \cos x - Si (x) \sin x$

一般な $Ω_{n} (x)$ について

一応 $Ω_{2} (x)$ については、

$Ω_{2} (x) = \int_{0}^{\infty} \frac{u^{2} e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u = \int_{0}^{\infty} \frac{(1 + u^{2}) e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u - \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u = \frac{1}{x} - Ω_{0} (x)$

となって導出できます。より一般な漸化式を組み立てます。簡単です。

$Ω_{0} (x) = \frac{π}{2} \cos x + Ci (x) \sin x - Si (x) \cos x$
$Ω_{1} (x) = \frac{π}{2} \sin x - Ci (x) \cos x - Si (x) \sin x$
$Ω_{n + 2} (x) = \frac{Γ (n + 1)}{x^{n + 1}} - Ω_{n} (x)$

(漸化式のみ)

$Ω_{n + 2} (x) = \int_{0}^{\infty} \frac{u^{n + 2} e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u = \int_{0}^{\infty} \frac{u^{n} (1 + u^{2}) e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u - \int_{0}^{\infty} \frac{u^{n} e^{- u x}}{1 + u^{2}} d u$
$= \int_{0}^{\infty} u^{n} e^{- u x} d u - Ω_{n} (x) = \frac{Γ (n + 1)}{x^{n + 1}} - Ω_{n} (x)$

一個一個連鎖的に求めるよりかは、二階微分から微分方程式を出したほうが早そう。

Conclusion

この積分で学んだこととしては、何か思いついたらすぐ挑戦する、能力の高い人に頼っていい、難航する問題は視点を変えてみる、など。
結構人生の勉強になりました。みんなもやってみてね。

投稿日：19日前

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

ごくらくぅ

1942

関数をつくろう(掛詞)

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

ごくらくぅ

とある広義積分と少しだけ生き方のお話

てきとー
正弦積分と余弦積分
証明
一般な $Ω_{n} (x)$ について
Conclusion

とある広義積分と少しだけ生き方のお話

てきとー

正弦積分と余弦積分

証明

一般なΩn(x)について

Conclusion

この記事を高評価した人

この記事に送られたバッジ

投稿者

コメント

他の人のコメント

一般な $Ω_{n} (x)$ について