とある広義積分と少しだけ生き方のお話
てきとー
なんか思いついてwolframにぶち込んで$x$を変えてみたら面白そうだったので書きます。タイトルも成り行きで。
$$\int_{0}^{∞}\frac{e^{-ux}}{1+u^2}du=\frac{π}{2}\cos x+\mathrm{Ci}(x)\sin x-\mathrm{Si}(x)\cos x$$
$$\int_{0}^{∞}\frac{ue^{-ux}}{1+u^2}du=\frac{π}{2}\sin x-\mathrm{Ci}(x)\cos x-\mathrm{Si}(x)\sin x$$
$$\int_{0}^{∞}\frac{u^2e^{-ux}}{1+u^2}du=\frac{1}{x}-\frac{π}{2}\cos x-\mathrm{Ci}(x)\sin x+\mathrm{Si}(x)\cos x$$
不定積分は指数積分が出てきます。$u^2$版は$0$乗版の証明ができればすぐできますね。
正弦積分と余弦積分
おさらい(?)。
$$\mathrm{Si}(x)=\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}dt\ ,\ \mathrm{Ci}(x)=-\int_{x}^{∞}\frac{\cos t}{t}dt=γ+\ln x+\int_{0}^{x}\frac{\cos t-1}{t}dt$$
$\cos t-1$を分離すると発散してしまうのでこのままです。
証明
さて、証明...と行きたいところですが、chatGPTも使ったのですが、
...無理でした。私の実力では到底敵わない。
ということで、「数学を愛する会」の「Picmin3daisuki」様にご協力いただきました。
$$\Omega_{n}(x):=\int_{0}^{∞}\frac{u^{n}e^{-ux}}{1+u^2}du$$と定める。
今回は$\Omega_0(x),\ \Omega_1(x)$をそれぞれ$f(x),\ g(x)$として解きます。
$$f'(x)=\frac{∂}{∂x}(\int_{0}^{∞}\frac{e^{-ux}}{1+u^2}du)$$
$$-\int_{0}^{∞}\frac{ue^{-ux}}{1+u^2}du=-g(x)$$
$$\therefore f''(x)=-g'(x)=-\frac{∂}{∂x}(\int_{0}^{∞}\frac{ue^{-ux}}{1+u^2}du)$$
$$=\int_{0}^{∞}\frac{u^2e^{-ux}}{1+u^2}du=\int_{0}^{∞}\frac{(u^2+1-1)e^{-ux}}{1+u^2}du$$
$$=\int_{0}^{∞}e^{-ux}du-\int_{0}^{∞}\frac{e^{-ux}}{1+u^2}du=\frac{1}{x}-f(x)$$
よって微分方程式$f''(x)+f(x)=\frac{1}{x}$ を解くと、
$$f(x)=(\frac{π}{2}-\mathrm{Si}(x))\cos x+\mathrm{Ci}(x)\sin x=\frac{π}{2}\cos x+\mathrm{Ci}(x)\sin x-\mathrm{Si}(x)\cos x$$
また、
$$g(x)=-f'(x)=\frac{π}{2}\sin x-\frac{\sin x\cos x}{x}-\mathrm{Ci}(x)\cos x+\frac{\sin x\cos x}{x}-\mathrm{Si}(x)\sin x$$
$$=\frac{π}{2}\sin x-\mathrm{Ci}(x)\cos x-\mathrm{Si}(x)\sin x$$
よって、
$$\Omega_0(x)=\frac{π}{2}\cos x+\mathrm{Ci}(x)\sin x-\mathrm{Si}(x)\cos x\ ,\ \Omega_1(x)=\frac{π}{2}\sin x-\mathrm{Ci}(x)\cos x-\mathrm{Si}(x)\sin x$$
一般な$\Omega_n(x)$について
一応$\Omega_2(x)$については、
$$\Omega_2(x)=\int_{0}^{∞}\frac{u^2e^{-ux}}{1+u^2}du=\int_{0}^{∞}\frac{(1+u^2)e^{-ux}}{1+u^2}du-\int_{0}^{∞}\frac{e^{-ux}}{1+u^2}du=\frac{1}{x}-\Omega_0(x)$$
となって導出できます。より一般な漸化式を組み立てます。簡単です。
$$\Omega_0(x)=\frac{π}{2}\cos{x}+\mathrm{Ci}(x)\sin{x}-\mathrm{Si}(x)\cos{x}$$
$$\Omega_1(x)=\frac{π}{2}\sin{x}-\mathrm{Ci}(x)\cos{x}-\mathrm{Si}(x)\sin{x}$$
$$\Omega_{n+2}(x)=\frac{\Gamma(n+1)}{x^{n+1}}-\Omega_n(x)$$
$$\Omega_{n+2}(x)=\int_{0}^{∞}\frac{u^{n+2}e^{-ux}}{1+u^2}du=\int_{0}^{∞}\frac{u^n(1+u^2)e^{-ux}}{1+u^2}du-\int_{0}^{∞}\frac{u^ne^{-ux}}{1+u^2}du$$
$$=\int_{0}^{∞}u^ne^{-ux}du-\Omega_n(x)=\frac{\Gamma(n+1)}{x^{n+1}}-\Omega_n(x)$$
一個一個連鎖的に求めるよりかは、二階微分から微分方程式を出したほうが早そう。
Conclusion
この積分で学んだこととしては、何か思いついたらすぐ挑戦する、能力の高い人に頼っていい、難航する問題は視点を変えてみる、など。
結構人生の勉強になりました。みんなもやってみてね。
