JMO2024予選 1-4ざっくり解説(ネタバレ注意)
これは私が本番でした解法なので，最適解，模範解ではないことに注意．4とかもっといい感じで解けます．
以下の値は有理数である．これを既約分数の形で表せ．
$\sqrt{\dfrac{123!-122!}{122!-121!}}$
$\sqrt{\dfrac{123!-122!}{122!-121!}}=\sqrt{\dfrac{122\cdot123-122}{122-1}}=\sqrt{\dfrac{122^2}{122-1}}=\dfrac{122}{11}$
どの桁に現れる数字も素数であるような正の整数を素敵な数とよぶ．$3$桁の正の整数$n$であって，$n+2024$と$n-34$がともに素敵な数であるものはちょうど$2$つある．このような$n$をすべて求めよ．
位の数で絞って探索．$309,311$が答えです．(ちょうど$2$つって文言優しいですね)
一辺の長さが$10$の正三角形$ABC$がある．$A$を通る円が辺$BC$(端点を除く)と点$X$で接し，辺$AB,AC$とそれぞれ$A$でない点$D,E$で交わっている．$BX>CX,AD+AE=13$がともに成り立つとき，線分$BX$の長さを求めよ．ただし，$PQ$で線分$PQ$の長さを表すものとする．
$BX=x$とおくと，方べきの定理より$AD=10-\dfrac{x^2}{10},AE=10-\dfrac{(10-x)^2}{10}$なので，$AD+AE=13$より$x=5\pm\sqrt{10}$．$BC>CX$より，$x=5+\sqrt{10}$が適する．
$n$を$0$以上$5^5$以下の整数とする．黒石$n$個と白石$5^5-n$個を横一列に並べ，次の操作を$5$回繰り返す．
石の列を左から順に$5$個ずつ組にする．各組に対して，その組に属する$5$個の石を，
それらの$5$個の石のうち多い方の色の石$1$個に置きかえる．
最初の石の並べ方によらず，最後に残る$1$個の石が必ず黒石であるような$n$としてありうる最小の値を求めよ．
最後(黒石$1$個)から逆に辿る．操作の$1$回前は$5$個のうち黒石が$3$個が最小．操作の$2$回前は，石は$5^2$個あり，$5$個ずつに分けた群を考えると，黒石の数が$5,5,3,2,2$のようになるのが最小(順番は当然不問)．同じ感じで，$5,5,\cdots,3,2,\cdots,2$のように配置していけばよいので，次のように計算できる．
$1\rightarrow3$
$3\rightarrow2\times5+(3-1)\times3+1=17$
$17\rightarrow2\times5^2+(17-1)\times3+1=99$
$99\rightarrow2\times5^3+(99-1)\times3+1=545$
$545\rightarrow2\times5^4+(545-1)\times3+1=2883$
計算のイメージ:$2\times5^〇$は全部の群に黒石を$2$個配布．$(〇-1)\times3$は$1$つ前の答え$-1$の数の群に黒石を$3$個配布(つまりそこは黒石$5$個)．最後に全部黒でない群の$1$つに黒石を配布．
よって，答えは$2883$
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