1998東大（ゲーム）の解説

ナマリカルテ さん作成の 大学入試史上最も難しい伝説の問題をパズルゲームにしたとき、このゲームをクリアせよ。（1998東大） について、自分の知っている範囲でコツなどの解説を行います。ここに書かれていないもので重要なテクニックなどがあれば教えてくださると幸いです。

ルール

ルールは以下の通りです。（ゲーム内の説明を引用）

元の問題の解法

J. Koizumiさんの解法 がわかりやすかったです。
白黒の〇の列を$1,2$からなる数列に対応させる考え方は本解説内で使用するので先に読んでおくことを推奨します。

1次元の場合

J. Koizumiさんの解法 を参考に白黒の配列と$1,2$の配列を対応させます。

定理1により、$1$次元の配列に対し、作れるかどうかの判定基準を与えることができました。定理1の系をいくつか挙げておきます。

2次元の場合の準備

操作2をどう扱うか

このゲームでは、色の配列から操作を逆算することで目的の図形を作る必要があります。しかし、操作2は、両隣の色を反転させながら間に白を入れるというものなので、逆算するのに時間がかかります。
そこで、以下の例をご覧ください。
$\begin{xy} \xymatrix@=5pt{&\w\ar@{-}[d]\\&\w\ar@{-}[d]\\\w\ar@{-}[r]&\b} \end{xy}$$\underset{(1)}{\longrightarrow}$$\begin{xy} \xymatrix@=5pt{&\w\ar@{-}[d]\\&\w\ar@{-}[d]\\\w\ar@{-}[r]&\w\ar@{-}[r]&\w} \end{xy}$$\underset{(2)}{\longrightarrow}$$\begin{xy} \xymatrix@=5pt{&\w\ar@{-}[d]\\&\w\ar@{-}[d]\\\w\ar@{-}[r]&\b\ar@{-}[r]&\w\ar@{-}[r]&\b} \end{xy}$
この例は、操作1→操作2の順に行って $\w-\b$ を付加できることを示しています。操作2の逆算は難しいですが、このように複数の操作をひとまとめにすることで逆算が簡単になることがあります。このような一連の操作をたくさん覚えることが高得点を取るには欠かせません。

基本の操作

$WB\cdots B$ ($B$が奇数個)は根の色を変えずに付加でき、$WB\cdots B$ ($B$が偶数個)を付加すると根の色が変わります。
\begin{align} -X\underset{(1)}{\longrightarrow}-X^\prime-W\underset{(2)}{\longrightarrow}-X-W-B\underset{(2)}{\longrightarrow}-X^\prime-W-B-B\underset{(2)}{\longrightarrow}-X-W-B-B-B\underset{(2)}{\longrightarrow}\cdots \end{align}

$BWW$と$WWW$は根の色を変えずに付加できます。
\begin{align} -X\underset{(1)}{\longrightarrow}-X^\prime-W \underset{(2)}{\longrightarrow}-X-W-B \underset{(1)}{\longrightarrow}-X-W-W-W \end{align}
\begin{align} -X\underset{(1)}{\longrightarrow}-X^\prime-W \underset{(2)}{\longrightarrow}-X-W-B \underset{(2)}{\longrightarrow}-X-B-W-W \end{align}

端の$W$は$B\cdots BW$に変えられます。
\begin{align} -W\underset{(1)}{\longrightarrow}-B-W\underset{(1)}{\longrightarrow}-B-B-W\underset{(1)}{\longrightarrow}-B-B-B-W\underset{(1)}{\longrightarrow}\cdots \end{align}

$W$の隣に$BB$を入れられます。
\begin{align} -X-W-Y-\underset{(2)}{\longrightarrow}-X^\prime-W-B-Y-\underset{(2)}{\longrightarrow}-X-W-B-B-Y- \end{align}
\begin{align} -X-W-Y-\underset{(2)}{\longrightarrow}-X-B-W-Y^\prime-\underset{(2)}{\longrightarrow}-X-B-B-W-Y- \end{align}
これらを組み合わせることで以下のものは作れます。

根の色を変えないもの

\begin{align}-X\longrightarrow-X-W-B\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X-W-W-W\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X-B-W-W\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X-W-W-B-W\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X-W-B-W-B\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X-W-B-B-B\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X-B-W-B-W\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X-B-B-W-B\end{align}

根の色を変えるもの

\begin{align}-X\longrightarrow-X^\prime-W\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X^\prime-B-W\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X^\prime-W-W-B\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X^\prime-W-B-B\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X^\prime-B-B-W\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X^\prime-W-W-W-W\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X^\prime-W-B-W-W\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X^\prime-B-W-W-B\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X^\prime-B-W-B-B\end{align}
\begin{align}-X\longrightarrow-X^\prime-B-B-B-W\end{align}

一般論

証明は省略します。また、以下が成り立ちます。

2次元の場合

今までに説明したことを組み合わせると2次元の場合にも対処することができます。何を付加するすればいいかを逆算することでより小さい盤面に帰着するというのが基本の考え方です。以下の例がわかりやすいと思います。
$\begin{xy} \xymatrix@=5pt{\w\ar@{-}[r]&\w\ar@{-}[r]&\b\ar@{-}[r]&\w\ar@{-}[r]&\b} \end{xy}$$\underset{}{\longrightarrow}$$\begin{xy} \xymatrix@=5pt{&\w\ar@{-}[d]&&&\b\ar@{-}[d]\\ &\b\ar@{-}[d]&&&\w\ar@{-}[d]\\ \w\ar@{-}[r]&\b\ar@{-}[r]&\w\ar@{-}[r]&\w\ar@{-}[r]&\b\\ &&\w\ar@{-}[u]&&} \end{xy}$

注意すべき配置

このゲームでは、問題で与えられる図形には辺が書かれていないので辺を自分で復元する必要があります。復元の仕方が一意に定まらないものをいくつか挙げます。
\begin{align}\begin{xy} \xymatrix@=5pt{\w\ar@{-}[d]&\w\ar@{-}[d]&\w\ar@{-}[d]\\ * \ar@{-}[r]&* \ar@{-}[r]&*} \end{xy}\phantom{{}={}}\begin{xy} \xymatrix@=5pt{\w\ar@{-}[r]&\w\ar@{-}[d]&\w\ar@{-}[l]\\ * \ar@{-}[r]&* \ar@{-}[r]&*} \end{xy}\end{align}

\begin{align}\begin{xy} \xymatrix@=5pt{\b\ar@{-}[r]&\w\ar@{-}[r]&\w\ar@{-}[d]\\ * \ar@{-}[r]&* \ar@{-}[r]&*} \end{xy}\phantom{{}={}}\begin{xy} \xymatrix@=5pt{\b\ar@{-}[d]&\w\ar@{-}[l]&\w\ar@{-}[d]\\ * \ar@{-}[r]&* \ar@{-}[r]&*} \end{xy}\end{align}

\begin{align}\begin{xy} \xymatrix@=5pt{\w\ar@{-}[r]&\b\ar@{-}[d]&\w\ar@{-}[d]\\ * \ar@{-}[r]&* \ar@{-}[r]&*} \end{xy}\phantom{{}={}}\begin{xy} \xymatrix@=5pt{\w\ar@{-}[d]&\b\ar@{-}[d]&\w\ar@{-}[l]\\ * \ar@{-}[r]&* \ar@{-}[r]&*} \end{xy}\end{align}

\begin{align}\begin{xy} \xymatrix@=5pt{&\w\ar@{-}[d]\\ &\w\ar@{-}[d]\\ \w\ar@{-}[d]&\w\ar@{-}[d]\\ * \ar@{-}[r]&*} \end{xy}\phantom{{}={}}\begin{xy} \xymatrix@=5pt{&\w\ar@{-}[d]\\ &\w\ar@{-}[d]\\ \w\ar@{-}[r]&\w\ar@{-}[d]\\ * \ar@{-}[r]&*} \end{xy}\end{align}

\begin{align}\begin{xy} \xymatrix@=5pt{\w\ar@{-}[r]&\w\ar@{-}[d]\\ \w\ar@{-}[d]&\w\ar@{-}[d]\\ * \ar@{-}[r]&*} \end{xy}\phantom{{}={}}\begin{xy} \xymatrix@=5pt{\w\ar@{-}[d]&\w\ar@{-}[l]\\ \w\ar@{-}[d]&\w\ar@{-}[d]\\ * \ar@{-}[r]&*} \end{xy}\end{align}

\begin{align}\begin{xy} \xymatrix@=5pt{\w\ar@{-}[r]\ar@{-}[d]&\b\ar@{-}[d]\\ \w\ar@{-}[d]&\w\\ * \ar@{-}[r]&*} \end{xy}\phantom{{}={}}\begin{xy} \xymatrix@=5pt{\w\ar@{-}[r]&\b\ar@{-}[d]\\ \w\ar@{-}[r]&\w\ar@{-}[d]\\ * \ar@{-}[r]&*} \end{xy}\end{align}
そのほか、このように、はじめからあった丸が長い直線上にないタイプは盲点になりやすいです。
\begin{align}\begin{xy} \xymatrix@=5pt{&\b\ar@{-}[d]&\w\ar@{-}[d]\\ \w\ar@{-}[r]&\b\ar@{-}[r]&\b\ar@{-}[r]&\b} \end{xy}\end{align}
下のように辺を張ってしまうと沼にはまります。
\begin{align}\begin{xy} \xymatrix@=5pt{&\b\ar@{-}[d]&\w\ar@{-}[l]\\ \w\ar@{-}[r]&\b\ar@{-}[r]&\b\ar@{-}[r]&\b} \end{xy}\end{align}

最後に

自分の知っている範囲のことは一通り書けたと思いますが、結局のところ、このゲームは時間との勝負なので、何度もプレイして慣れることが何より大切だと思います。時間回復のシステムも絶妙で、プレイを重ねるうちに自分の成長を実感できて楽しいです。この記事を読んだ皆さんが高得点を取れることを願っています。

おまけ ゲームシステムについて

$n$個の〇からなる図形を作ると$n$点が加算されて制限時間が$n$秒増えるので、得点とプレイ時間はおよそ一致します。
また、何問目に何個の〇からなる図形が出題されるかは固定されており、以下の表のようになっています。（したがって、得点の大小は解いた問題の数の大小と一致します。）