薄い圏の考察(6).薄い圏における射の集まりたちに関係を入れて新たな薄い圏をつくる。

類Aを任意に固定する。
薄い圏C(A,f)とC(A,g)に対して
$f_{ij}$が定義されるすべてのi,j$ \in$Aに対して$g_{ij}$が定義されているとき、f$\prec$gと書く。
このとき、以下の性質が成り立つ。

1.　f$\prec$f.
2.　f$\prec$gかつg$\prec$hならば、f$\prec$h.
3.　C(A,g)が強連結のとき、任意のC(A,f)に対してf$\prec$gが成り立つ。
4.　C(A,g)が離散的なとき、すなわち「$g_{ij}$が定義されるのはi=jのときのみ恒等射として」なとき、任意のC(A,f)に対してg$\prec$fが成り立つ。

(1~4の証明は$\prec$の定義から直接的に得られます）

Aに対して定義できる「射のあつまり」をすべてあつめたものを$ H_A$と置く（すなわち$H_A=$ {$f $|$ f=$ {$f_{ij} $ } $_{i,j\in A}$}）と、$\prec$が性質1,2を満たすことを『薄い圏の考察１』の例５に当てはめることによって薄い圏$C(H_A,\prec)$が定義できる。