積分　問題①

$$媒介変数tを用いて\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x=t^2\\ y=t^3\end{array}\end{array} と表現される曲線について考える。$$
$(1)曲線Cの0\le t\le 1$の長さを求めよ。
$(2)曲線C上の点(1,1)における接線と曲線Cで囲まれた図形の面積を求めよ。$

(1)$x=f(t),y=g(t)と媒介変数表示された曲線の\alpha \le t\le \beta の部分の長さは、$
$${\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{f^{\prime }(t{)}^2+g^{\prime }(t{)}^2}dtとあらわされる。$$
$(ただし、f(t),g(t)は微分可能で、f^{\prime }(t),g^{\prime }(t)は連続とする。)$
よって今回の曲線の長さは、
$${\int }_0^1\sqrt{(2t{)}^2+(3t^2{)}^2}dt$$
$$={\int }_0^1\sqrt{4t^2+9t^4}dt$$
$$={\int }_0^{1}t\sqrt{4+9t^2}dt$$
$4+9t^2=uと置換する$
$$=\frac{1}{18}{\int }_4^{13}\sqrt{u}dt$$
$$=\frac{1}{27}(13\sqrt{13}-8)$$

(2)
曲線Cのグラフを書く
$x=t^2,y=t^3であるから、y^2=x^3$
$よってy=x\sqrt{x},y=-x\sqrt{x}の二つの関数を考えればよい。$
よってグラフを書くと

$(1,1)はy=x\sqrt{x}のほうに含まれるので$
$(x\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{3}{2}\sqrt{x}$より、接線の方程式は$y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$となる。
$接線とy=-x\sqrt{x}の交点の座標は-x\sqrt{x}=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}を解くことにより、$
$x=\frac{1}{4},y=-\frac{1}{8}と求まる。$
$接線とx軸との交点が(\frac{1}{3},0)であることから、$
求める面積は
$${\int }_0^{1}x\sqrt{x}dx+{\int }_0^{\frac{1}{4}}-(-x\sqrt{x})dx+\frac{1}{2}・\frac{1}{8}・(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-\frac{1}{2}・(1-\frac{1}{3})$$
$$=\frac{2}{5}+\frac{1}{80}+\frac{1}{192}-\frac{1}{3}$$
$$=\frac{27}{320}$$