拡張tan関数についての考察
拡張tan関数
んちゃ！
今回は$\tan{x}$関数に関して考察していきます。
$f(x)=\tan{x}$は次の微分方程式を満たす。
\begin{equation}
f^{'}=1+f^{2}
\end{equation}
微分するだけ。
先の微分方程式を用いると$f^{(n)}$は次の計算ができる。
| 1 | 0 | 1 | |||
| 0 | 2 | 0 | 2 | ||
| 2 | 0 | 8 | 0 | 6 | |
| 0 | 16 | 0 | 40 | 0 | 24 |
ここで、$n+1$行目の$i$列目は$n$行目の$i-1$列目の$i-1$倍、$i+1$列目の$i+1$倍をかけて和を求めたもの。
ちなみに、$i$列目の値は$f^{i}$の係数。
$\tan{x}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$と置くと数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}\cup\{0\}}$は次の性質を満たす。
$f(x)=\tan{x}$と置くと
\begin{equation}
f^{'}=1+f^{2}
\end{equation}
ゆえに、
\begin{eqnarray}
\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^{n}&=&1+\sum_{k,l=0}^{\infty}a_{k}a_{l}x^{k+l}\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_{k}a_{n-k}x^{n}
\end{eqnarray}
係数比較により、下記の式を得る。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_{1}=1+a_{0}^{2}\\
(n+1)a_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}a_{n-k}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
拡張$\tan{x}$とは、任意の複素数$a,b\in\mathbb{C}$に対して次の微分方程式を満たす$f(a,b;x)$を言う。
\begin{equation}
f^{'}(a,b;x)=a+bf^{2}(a,b;x)
\end{equation}
次の様にして拡張$tanx$の微分は次の様に計算できる。
| a | 0 | b | |||
| 0 | $2ab$ | 0 | $2b^{2}$ | ||
| $2a^{2}b$ | 0 | $8ab^{2}$ | 0 | $6b^{3}$ | |
| 0 | $16a^{2}b^{2}$ | 0 | $40ab^{3}$ | 0 | $24b^{4}$ |
ここで、$n+1$行目の$i$列目は$n$行目の$i-1$列目の$b(i-1)$倍、$i+1$列目の$a(i+1)$倍をかけて和を求めたもの。
ちなみに、$i$列目の値は$f^{i}$の係数。
拡張$\tan{x}$を定義する微分方程式に沿って計算するだけ。
実は拡張$\tan{x}=f(a,b)$をTaylor展開しているものを$\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}$とし、$\tan{x}$のTaylor展開したものを$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$とすると実は次の関係が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
b_{2n}=a^{n+1}b^{n}a_{2n}\\
b_{2n+1}=a_{2n+1}=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
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