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拡張tan関数についての考察

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拡張tan関数

んちゃ!
今回はtanx関数に関して考察していきます。

f(x)=tanxは次の微分方程式を満たす。
f=1+f2

微分するだけ。

先の微分方程式を用いるとf(n)は次の計算ができる。

101
0202
20806
016040024

ここで、n+1行目のi列目はn行目のi1列目のi1倍、i+1列目のi+1倍をかけて和を求めたもの。
ちなみに、i列目の値はfiの係数。

tanx=n=0anxnと置くと数列{an}nN{0}は次の性質を満たす。

f(x)=tanxと置くと
f=1+f2
ゆえに、
n=0(n+1)an+1xn=1+k,l=0akalxk+l=n=0k=0nakankxn
係数比較により、下記の式を得る。
{a1=1+a02(n+1)an+1=k=0nakank

拡張tanxとは、任意の複素数a,bCに対して次の微分方程式を満たすf(a,b;x)を言う。
f(a,b;x)=a+bf2(a,b;x)

次の様にして拡張tanxの微分は次の様に計算できる。

a0b
02ab 02b2
2a2b08ab206b3
016a2b2040ab3024b4

ここで、n+1行目のi列目はn行目のi1列目のb(i1)倍、i+1列目のa(i+1)倍をかけて和を求めたもの。
ちなみに、i列目の値はfiの係数。

拡張tanxを定義する微分方程式に沿って計算するだけ。

拡張tanx=f(a,b)をTaylor展開しているものをn=0bnxnとし、tanxのTaylor展開したものをn=0anxnとすると実は次の関係が成り立つ。
{b2n=an+1bna2nb2n+1=a2n+1=0

投稿日:2024924
更新日:20241224
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