高校数学解説

拡張tan関数についての考察

微分方程式,tan,Taylor展開

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拡張tan関数

んちゃ！
今回は $\tan x$ 関数に関して考察していきます。

$f (x) = \tan x$ は次の微分方程式を満たす。
$f^{^{'}} = 1 + f^{2}$

微分するだけ。

先の微分方程式を用いると $f^{(n)}$ は次の計算ができる。

1	0	1
0	2	0	2
2	0	8	0	6
0	16	0	40	0	24

ここで、

n + 1

行目の

i

列目は

n

行目の

i - 1

列目の

i - 1

倍、

i + 1

列目の

i + 1

倍をかけて和を求めたもの。
ちなみに、

i

列目の値は

f^{i}

の係数。

$\tan x = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ と置くと数列 ${a_{n}}_{n \in N \cup {0}}$ は次の性質を満たす。

$f (x) = \tan x$ と置くと
$f^{^{'}} = 1 + f^{2}$
ゆえに、
$\begin{array}{rcl} \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n} & = & 1 + \sum_{k, l = 0}^{\infty} a_{k} a_{l} x^{k + l} \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} a_{k} a_{n - k} x^{n} \end{array}$
係数比較により、下記の式を得る。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} a_{1} = 1 + a_{0}^{2} \\ (n + 1) a_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} a_{n - k} \end{cases} \end{array}$

拡張 $\tan x$ とは、任意の複素数 $a, b \in C$ に対して次の微分方程式を満たす $f (a, b; x)$ を言う。
$f^{^{'}} (a, b; x) = a + b f^{2} (a, b; x)$

次の様にして拡張 $t a n x$ の微分は次の様に計算できる。

a	0	b
0	$2 a b$	0	$2 b^{2}$
$2 a^{2} b$	0	$8 a b^{2}$	0	$6 b^{3}$
0	$16 a^{2} b^{2}$	0	$40 a b^{3}$	0	$24 b^{4}$

ここで、

n + 1

行目の

i

列目は

n

行目の

i - 1

列目の

b (i - 1)

倍、

i + 1

列目の

a (i + 1)

倍をかけて和を求めたもの。
ちなみに、

i

列目の値は

f^{i}

の係数。

拡張 $\tan x$ を定義する微分方程式に沿って計算するだけ。

拡張 $\tan x = f (a, b)$ をTaylor展開しているものを $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} x^{n}$ とし、 $\tan x$ のTaylor展開したものを $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ とすると実は次の関係が成り立つ。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} b_{2 n} = a^{n + 1} b^{n} a_{2 n} \\ b_{2 n + 1} = a_{2 n + 1} = 0 \end{cases} \end{array}$

投稿日：2024年9月24日

更新日：2024年12月24日

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