んちゃ!今回はtanx関数に関して考察していきます。
f(x)=tanxは次の微分方程式を満たす。f′=1+f2
微分するだけ。
先の微分方程式を用いるとf(n)は次の計算ができる。
tanx=∑n=0∞anxnと置くと数列{an}n∈N∪{0}は次の性質を満たす。
f(x)=tanxと置くとf′=1+f2ゆえに、∑n=0∞(n+1)an+1xn=1+∑k,l=0∞akalxk+l=∑n=0∞∑k=0nakan−kxn係数比較により、下記の式を得る。{a1=1+a02(n+1)an+1=∑k=0nakan−k
拡張tanxとは、任意の複素数a,b∈Cに対して次の微分方程式を満たすf(a,b;x)を言う。f′(a,b;x)=a+bf2(a,b;x)
次の様にして拡張tanxの微分は次の様に計算できる。
拡張tanxを定義する微分方程式に沿って計算するだけ。
拡張tanx=f(a,b)をTaylor展開しているものを∑n=0∞bnxnとし、tanxのTaylor展開したものを∑n=0∞anxnとすると実は次の関係が成り立つ。{b2n=an+1bna2nb2n+1=a2n+1=0
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