変すぎる証明(方法)

初投稿です！

今回は、

という問題について考えます。この問題は自分の作問から生まれたんですけど、その問題が

というものです。一応解きたい方のために解答まで少し空けておきます
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解答
奇数のみの部分集合Pについて考えます。集合Xの奇数の要素の個数をxとすると、Pの個数は、
xC1+xC2+$\cdots$+xCx　→(i)
となります。ここで発想を入れます。
(i)=$(1+1{)}^x$-xC0=$2^x$-1
もうわかりますね！
x$\ge$1 のとき、(i)は奇数となるためx=0、つまりXの要素が全て偶数となるというのが答えです。

別解
奇数のみの部分集合Pについて考えます。集合Xの奇数の要素の個数をxとすると、Pの個数は
xC1+xC2+$\cdots$+xCx　→(i)
(ここまでは上の解答と同じです。)
xが偶数の時、xCn=xC(x-n)より、
2(xC1+xC2+$\cdots$+xC$\frac{x}{2}$)+xCx=2(xC1+xC2+$\cdots$+xC$\frac{x}{2}$)+1
これは奇数のため題意を満たしません。
xが奇数の時、先ほどと同様に
2(xC1+xC2+$\cdots$+xC$\frac{x-1}{2}$)+xC$\frac{x+1}{2}$+1
となります。これが偶数となるには、xC$\frac{x+1}{2}$が奇数とならなければいけません。
$$\cdots \cdots \cdots$$ここで筆者は「代数的でしっかりとした」証明方法が思いつきませんでした。実力不足ですね、すみません
さて、問題2の答えは、「Xの要素が全て偶数の時」です。よって問題1のxC$\frac{x+1}{2}$は任意の奇数xにおいて偶数となることがしめされました！めでたしめでたし……

以上です。
読んでいただきありがとうございます！読みにくいところや間違いがたくさんあると思うのでコメ覧で指摘お願いします。また、問題1の解答も待ってます。
問題1がテストで出たらこの記事の解答をそのまま書いてみてください笑

追記（4月30日22:38）
別解の間違いを指摘してもらったので、コメント欄をご確認ください。（問題1の存在意義が……………）