Banach-Tarskiの定理に使う補題
自由群の$\mathrm{SO}(3)$への埋め込み
自由群$F_2$を$\mathrm{SO}(3)$に埋め込むところが少し大変なので、簡単な証明を紹介します。
まずは自明な補題を用意します。
rank$1$行列とは非零な縦ベクトル$\xi,\eta\in K^n$であって$\xi\eta^t\in\mathrm{M}(n,K)$と書ける行列のことである。この積は$n\times1$行列と$1\times n$行列の行列積である。
rank$1$行列$\xi_1\eta_1^t,\dots,\xi_n\eta_n^t$のこの順番での積が非零になるのは$\eta_i^t\xi_{i+1}=:(\eta_i,\xi_{i+1})\in K$が全ての$i$で非零になることと同値である。
正方行列でなくとも行列積の結合法則はあります。
$$a=\mqty(A & 0\\0&1) ,\qquad b=\mqty(1 &0\\0& A),\qquad A:=\frac13\mqty(1 &2\sqrt2\\ -2\sqrt2 &1)$$
$F_2$の自然な生成元を上の$a,b\in\mathrm{SO}(3)$に送る群準同型は単射。
語とは、四変数の自由モノイドの元$w=w(a,a^{-1},b,b^{-1})$のことである。これが既約とは、$a,a^{-1}$や$b,b^{-1}$が隣接しないことを指す。
今、$w(a,a^{-1},b,b^{-1})\neq1\text{ for }w\neq1$を示すためには、$w(3a,3a^{-1},3b,3b^{-1})\neq3^{\abs{w}}\text{ for }w\neq1$、より強く$w(3a,3a^{-1},3b,3b^{-1})$が$\text{mod }3$で常に非零であることを示せばいい。
今、ここで$\text{mod }3$と言ったのは注意が必要で、$3a^{\pm},3b^{\pm}$は$\Z\oplus\Z\sqrt2\oplus\Z$に作用しているから環$\mathrm{M}(\Z\oplus\Z\sqrt2\oplus\Z)\ (\cong\mathrm{M}(3,\Z))$の元であって、その意味で$\text{mod }3$を考えている（が勿論$\text{in } \mathrm{SO}(3)$での$\neq$が手に入る）。
$$3a^{\pm}=\mqty(1 & \pm2\sqrt2 & 0\\
\mp2\sqrt2&1&0\\
0&0&3) ,\qquad 3b^{\pm}=\mqty(3&0&0\\
0&1&\pm2\sqrt2\\
0&\mp2\sqrt2&1)$$
なので$\phi:\Z\oplus\Z\sqrt2\oplus\Z\to\Z^3$（その線形同型）により
$$3\phi a^\pm\phi^{-1}=\mqty(1 & \pm4 & 0\\
\mp2&1&0\\
0&0&3) ,\qquad 3\phi b^\pm\phi^{-1}=\mqty(3&0&0\\
0&1&\pm2\\
0&\mp4&1)$$
なので、$\text{mod }3$して$\mathbb{F}_3^3$上の行列だと思えば
$$3\phi a^\pm\phi^{-1}=\mqty(1 & \pm1 & 0\\
\pm1&1&0\\
0&0&0) ,\qquad 3\phi b^\pm\phi^{-1}=\mqty(0&0&0\\
0&1&\mp1\\
0&\mp1&1)$$
これらがrank$1$の行列であることがトリックの種である、上の補題からrank1行列の複数個の積は計算が非常に簡単である。
$3\phi a^\pm\phi^{-1}=\xi_\pm\xi_\pm^t,3\phi b^\pm\phi^{-1}=\eta_\pm\eta_\pm^t\qquad\xi_\pm=\mqty(1\\ \pm1\\0),\eta_\pm=\mqty(0\\1\\ \mp1)$
以上より、$\phi w(3a,3a^{-1},3b,3b^{-1})\phi^{-1}\text{ mod 3}$の非零を示すためには$\xi_\pm,\eta_\pm$のペアリングの非零を言えばいい。ペアリングの対称性と$w$の既約性（$\xi_+,\xi_-$などが隣り合わない）に気をつければ
$$(\xi_\pm,\eta_\pm)=\pm1\text{（これだけ複合同順でない）},(\xi_\pm,\xi_\pm)=(\eta_\pm,\eta_\pm)=-1$$
なので分かる。
