加群の拡大~本番編~

　こんにちは，えだまめです．二か月先の発表スライドをまとめとめて戻ってきました．これを書き終えたら一つ下の後輩にパワハラをするつもりです．覚悟しろ．
　さて，今回は前回定義した$\text{Ext}$加群をどのように生かすのかの一例として，加群の拡大を見てみましょう．最後に加群拡大の中に群構造があって～って話も頑張ります．
　この次の回は$k$次拡大についてまとめるつもりです．この回と似たテクをいっぱい使うので理解必須なのです．

加群の拡大

$A,B$を$R$加群とする．次の完全列を$A$の$B$による拡大という:
ある$R$加群$M$に対して$0\rightarrow B \rightarrow M \rightarrow A\rightarrow 0$

　”加群”を拡大してるんだから$M$に拡大とつけてほしいが，どうやら完全列自体に拡大というそうだ．
　大きくなってるイメージは次の必要十分条件からわかる:
$0\rightarrow B\xrightarrow{\iota} M\xrightarrow{\pi} A\rightarrow 0 \text{ : exact} \Leftrightarrow \iota \text{ : inj. } A \cong M/B$
これの証明はよくあるので読者に任せるとして，$A$が$M/B$に同型になることが分かるため，$M$から$A$に全射があることが分かるため，$A$が大きくなっていることが分かる．

$\text{Ext}$加群との関係

$R$加群$A,B$を取り，拡大$0\rightarrow B\xrightarrow{\iota} M\xrightarrow{\pi} A\rightarrow 0$を取る．また自由分解$F_\bullet \xrightarrow{\varphi_\bullet}A$を考える．すなわち
c
$f_\bullet:F_\bullet\rightarrow (M, B, 0)$の存在は先の記事の命題3Aから保証される．このとき可換性から$F_2 \xrightarrow{\varphi_2} F_1 \xrightarrow{f_1}B$は0‐写像になる，つまり$\varphi_2^*f_1=0$であるから$f_1\in\ker\varphi_2^*$が分かる．

・$\text{Ext}_\mathcal{R}^1(A,B) = \ker\varphi_2^*/\Im\varphi_1^*$から$f_1$の射影を$\bar{f_1}$とする．すなわち$\bar{f_1}\in\text{Ext}_\mathcal{R}^1(A,B)$．次の可換図式を考える．
$$\begin{xy} \xymatrix{ 0 \ar[r] & \ker \varphi_0 \ar@{^{|}->}[r]^{\iota_0} \ar[d]^{^\exists \beta} & F_0 \ar@{->>}[r]^{\varphi_0} \ar[d]^{^\exists \gamma} & A \ar[r] \ar[d]^{\text{id}_A} & 0\\ 0 \ar[r] & B \ar@{^{|}->}[r]_{\iota} & M \ar@{->>}[r]_{\pi} & A \ar[r] & 0 } \end{xy}$$
また横列は完全列である．また$\beta,\gamma$の存在は同様に命題3Aから保証される．

$F_0\oplus B \rightarrow M \ : \ (f,b)\mapsto\gamma(f)+\iota(b)$は全射

・$^\forall m \in M$を取る．このとき$\pi(m)\in A$であるから$F_0\xrightarrow{\varphi_0} A$の全射性から$F_0\ni^\exists f_0\mapsto \pi(m)\in A$．

・このとき$\pi(m-\gamma(f_0)) = \pi(m)-\pi\circ\gamma(f_0) = \pi(m)-\pi(m) = 0$であるから，
$$m-\gamma(f_0) \in \ker\pi = \Im\iota \ \ \ \because\text{exact.}$$
i.e.$^\exists b_0\in B \text{ s.t. } \iota(b_0) = m-\gamma(f_0)$が成り立つ．
・以上より$F_0\oplus B\rightarrow M$
$$\begin{array}{rcl} (f_0, b_0) &\mapsto& \gamma(f_0) +\iota(b_0)\\ & & = \gamma(f_0) + (m-\gamma(f_0)) = m \end{array}$$
から全射性が示せた．

$0\rightarrow \ker\varphi_0 \xrightarrow{(\iota_0, -\beta)} F_0\oplus B \xrightarrow{\gamma+\iota} M \rightarrow 0$は完全列である．

・そもそもこれが複体になるのかは読者に任せよう．つまり$(\gamma+\iota)\circ(\iota_0,-\beta)=0$を示せばいい．

・$F_0\oplus B \xrightarrow{\gamma+\iota} M$全射より$M$は完全であり，$\ker\varphi_0\xrightarrow{(\iota_0, -\beta)}F_0 \oplus B$は$\iota_0$が単射であるから$(\iota_0, -\beta)$も単射になる．つまり$\ker\varphi_0$も完全になる．よって$F_0\oplus B$の完全性を示せばいい．

・すなわち$^\forall(f,b)\in \ker(\gamma+\iota) \subset \Im(\iota_0,-\beta)$を示せばいい．つまり$\gamma(f)+\iota(b)=0$となるため，$\gamma(f)=-\iota(b)$となり$\pi$で送ると複体だから$0\in A$になる．可換性から$f\xmapsto{\varphi_0} 0$となり$f\in\ker\varphi_0$となり，また可換性より$\iota\circ\beta(f) = \gamma\circ\iota_0(f) = \gamma(f) =-\iota(b) = \iota(-b)$を得る．

・$\iota$の単射性より$b = -\beta(f)$であるから
$$(\iota_0, -\beta)(f) = (\iota_0(f), -\beta(f)) = (f, b)$$
となり$(f,b)\in\Im(\iota_0,-\beta)$が示された．

　この可換図式の要素の書き込み方が分からなかったのでできなかったが，ぜひ図式に要素を書き込んで確かめてほしい．
　この完全列から$M \cong F_0\oplus B/\Im(\iota_0, -\beta)$となり，自由分解により拡大で現れる加群が特徴付けられる．
　また逆に$\text{Ext}_\mathcal{R}^1(A,B)$の元を与えれば，拡大を与えられる．

$\text{Ext}$加群から拡大の構成

　$\bar{f} \in \text{Ext}_\mathcal{R}^1(A,B)=\ker\varphi_2^*/\Im\varphi_1^*$を取る．つまり$f\in\ker\varphi_2^*$であることが分かる．このとき以下の可換図式が存在する．
$$\begin{xy} \xymatrix{ &&& \ker\varphi_0 \ar@{}[d]|{\bigcap}\\ \cdots \ar[r] & F_2 \ar[r]^{\varphi_2} \ar@{.>}[rd]_{\varphi_2^*f} \ar[d] & F_1 \ar[r]^{\varphi_1} \ar[d]^{f} & F_0 \ar[r]^{\varphi_0} & A \ar[r] & 0\\ & 0 \ar[r] & B } \end{xy}$$
$a\in\ker\varphi_0 = \Im\varphi_1$より$^\exists b\in F_1 \text{ s.t. } \varphi_1(b)=a$となる．またこの$b$を$f$で送った先で$a\xmapsto{\beta}f(b)$と定義する．しかし，$b$の存在性から$\beta$を構成したが幾つかの可能性があるためwell-defined性を確かめないといけない．

・$^\exists b,\tilde{b}\in F_1\text{ s.t. } \varphi_1(b)=\varphi_1(\tilde{b})=a$をとると，$\varphi_1(b-\tilde{b})=0$であるから，完全性と合わせて$b-\tilde{b}\in\ker\varphi_1=\Im\varphi_2$となる．よって$^\exists c\in F_2 \text{ s.t. } \varphi_2(c)=b-\tilde{b}$となる．このことから，$\varphi_2^*f(c)$は可換性から0-写像になるから，
$$f(b)-f(\tilde{b})=f\circ\varphi_2(c)= \varphi_2^*f(c)=0$$
から，どんな$b$を取っても$f(b)$は同じ値になることが分かる．

・$\ker\varphi_0\xhookrightarrow{\iota_0}F_0$が単射であるから$(\iota_0, -\beta)$も単射になるから，以下の完全列を得る．
$$0\rightarrow \ker\varphi_0 \xrightarrow{(\iota_0,-\beta)} F_0\oplus B \twoheadrightarrow F_0\oplus B/\Im(\iota_0,-\beta)\rightarrow 0$$
この$F_0\oplus B/\Im(\iota_0,-\beta)$を$M$としておけば，
$$0\rightarrow B\xrightarrow{} M \rightarrow A \rightarrow 0$$
が完全列になる．

・これの写像が何か考えてみよう．$B \hookrightarrow F_0\oplus B$を考え，自然な全射で$F_0 \oplus B/\Im(\iota_0,-\beta)$に飛ばすと，これは前者の写像が単射なため$B\xrightarrow{\kappa}M$は単射であるため$B$で完全である．
　$(f,b)\in F_0\oplus B$をとり，$(\tilde{f}, \tilde{b})\in F_0 \oplus B/\Im(\iota_0,-\beta)=M$とすると，$M\ni (\tilde{f}, \tilde{b})\xmapsto{\rho}\varphi_0(f)\in A$とすると，$\rho$が全射にであることを示そう．$^\forall a\in A$を取る．$\varphi_0$が全射より$^\exists f_0 \in F_0\text{ s.t. } a=0 \varphi_0(f_0)$となり適当な$b\in B$を取ることで，$M\ni (\tilde{f_0},\tilde{b})\xmapsto{\rho} \varphi_0(f_0)=a\in A$を得て全射を示せる．したがって$A$が完全になる．
　$M$が完全であることを示すために，$\Im \kappa \supset \ker\rho$を示そう．
$(\tilde{f_0}, \tilde{b})\in\ker\rho$を取ると，$0 = \rho(\tilde{f_0}, \tilde{b}) = \varphi_0(f_0)$から$f_0\in\ker\varphi_0$を得る．また，$B\ni b \xmapsto{\kappa} (0, \tilde{b})\ni F_0 \oplus B/\Im(\iota_0,-\beta)$となり$(f_0,0)\in\Im(\iota_0,-\beta)$より$(f_0,0)+(0,b)\in(0,\tilde{b})$となる．($(0,\tilde{b})$は同値類に注意)また$\tilde{x}$は$x$の自然な射影から$(f_0,b)\in(\tilde{f_0}, \tilde{b})$となり同値類に共通部分があるため，$(0,\tilde{b})=(\tilde{f_0},\tilde{b})\in \Im\kappa$を示せて完全性が示せる．

・これによって$\bar{f} \in \text{Ext}_\mathcal{R}^1(A,B)$から$A$の$B$による拡大が得られたことが分かる．

加群の拡大と群構造

拡大の同値

二つの拡大$0\rightarrow B\rightarrow M \rightarrow A \rightarrow 0$，$0\rightarrow B\rightarrow M' \rightarrow A \rightarrow 0$が同値であるとは次の図式が可換なことを言う；
$$\begin{xy} \xymatrix{ 0 \ar[r] & B \ar[r] \ar[d]_{\text{id}_B} & M \ar[r] \ar[d] & A \ar[r] \ar[d]_{\text{id}_A} & 0\\ 0 \ar[r] & B \ar[r] & M' \ar[r] & A \ar[r] & 0 } \end{xy}$$

また拡大$0\rightarrow B\xrightarrow{\beta} M \xrightarrow{\alpha} A \rightarrow 0$，$0\rightarrow B\xrightarrow{\beta'} M' \xrightarrow{\alpha'} A \rightarrow 0$の和を次で定義する；
$$X = \{(m,m')\in M\oplus M'\ |\ \alpha(m)=\alpha'(m')\}$$
$$Y = X/\{(\beta(b),0)-(0,\beta'(b))\ |\ b\in B\}$$
と置いたとき，
$$\begin{xy} \xymatrix@R=5pt{ && (m,m') \ar@{(-}[d] \ar@{|->}[r] & \alpha(m) = \alpha'(m') \ar@{(-}[d] \\ 0 \ar[r] & B \ar[r] & Y \ar[r] & A \ar[r] & 0\\ & b \ar@{(-}[u] \ar@{|->}[r] & (\beta(b),0)=(0,\beta'(b)) \ar@{(-}[u] } \end{xy}$$
とする．
　これによって拡大の同値類全体に群構造が与えられる．
単位元は
$$0 \rightarrow B \rightarrow A\oplus B\rightarrow A \rightarrow 0$$
逆元は
$$0 \rightarrow B \xrightarrow{\beta} M \xrightarrow{-\alpha} A \rightarrow 0$$
と考えられる．