無限級数その６／適用その２

［証明］
［定理02］を使う.$N\to \infty$のとき
$$\sum _{n=0}^{N-1}\frac{r^{j+nD}}{j+nD}=\frac{r^j}{j}\sum _{n=0}^{N-1}\frac{(r^D{)}^n}{1+n(\frac{D}{j})}\to \frac{r^j}{j}{\int }_0^1\frac{1}{1-r^D{x}^{\frac{D}{j}}}dx$$
$y^j=r^{j}x$とおくと
$$\frac{r^j}{j}{\int }_0^1\frac{1}{1-r^D{x}^{\frac{D}{j}}}dx=\frac{r^j}{j}{\int }_0^r\frac{\frac{j{y}^{j-1}}{r^j}}{1-y^D}dy={\int }_0^r\frac{y^{j-1}}{1-y^D}dy$$
よって，成り立つ．□□

この定積分の値は複号を順にとって．
$$\frac{\log (1-r^3)}{6}-\frac{\log (1-r)}{2}\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\alpha -\frac{\pi }{6})$$
$\alpha$は，$r+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan \alpha ，\frac{\pi }{6}<\alpha <\frac{\pi }{3}$とした．
［定理01］から，
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{r^{3n}}{3n}=-\frac{\log (1-r^3)}{3}$$