文献あり

Dougallの2H2和公式

135

$_{2} F_{1}$ 超幾何級数における単位引数における値は, Gaussの超幾何定理
$\begin{array}{r} _{2} F_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; 1] = \frac{Γ (c) Γ (c - a - b)}{Γ (c - a) Γ (c - b)} \end{array}$
によってガンマ関数で表すことができる. 以下, Pochhammar記号は $(a_{1}, \dots, a_{r})_{n} = (a_{1})_{n} \dots (a_{r})_{n}$ のような略記を用いるとする. $_{2} F_{1}$ 超幾何級数の定義
$\begin{array}{r} _{2} F_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x] := \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b)_{n}}{n! (c)_{n}} x^{n} \end{array}$
において, 分母の $n!$ を $(d)_{n}$ に置き換えて和の範囲を整数全体に拡張した
$\begin{array}{r} _{2} H_{2} [\begin{array}{c} a, b \\ c, d \end{array}; x] := \sum_{n \in Z} \frac{(a, b)_{n}}{(c, d)_{n}} x^{n} \end{array}$
を考える. ここで, 負の整数におけるPochhammer記号は, $(a)_{- n} := \frac{(- 1)^{n}}{(1 - a)_{n}}, n \geq 0$ と定義されるものである. $1 \leq n$ に対して,
$\begin{array}{r} \frac{1}{(d)_{- n}} = (- 1)^{n} (1 - d)_{n} \end{array}$
は $d = 1$ のとき自然に $0$ であると見なせるので,
$\begin{array}{r} _{2} H_{2} [\begin{array}{c} a, b \\ c, 1 \end{array}; x] =_{2} F_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x] \end{array}$
となる. これより, $_{2} H_{2}$ が $_{2} F_{1}$ の拡張になっていることが分かる. Gaussの超幾何定理を $_{2} H_{2}$ に拡張したのがDougallの $_{2} H_{2}$ 和公式である.

Dougallの

_{2} H_{2}

和公式

$Re (c + d - a - b) > 1$ のとき,
$\begin{aligned} _{2} H_{2} [\begin{array}{c} a, b \\ c, d \end{array}; 1] & = \frac{Γ (c) Γ (d) Γ (1 - a) Γ (1 - b) Γ (c + d - a - b - 1)}{Γ (c - a) Γ (d - a) Γ (c - b) Γ (d - b)} \end{aligned}$
が成り立つ.

これは, 次のCarlsonの定理を用いることによって簡潔に示すことができる.

Carlsonの定理

$Re (z) \geq 0$ における正則関数 $f$ はある定数 $0 < C, 0 \leq k < π$ があって, 常に $| f (z) | \leq C e^{k | z |}$ を満たしており, $0$ 以上の全ての整数 $n$ に対して $f (n) = 0$ を満たしているとき, 恒等的に $0$ である.

(定理1の証明)

両辺に $\frac{1}{Γ (d)}$ を掛けた式
$\begin{array}{r} \sum_{n \in Z} \frac{(a, b)_{n}}{(c)_{n} Γ (d + n)} = \frac{Γ (c) Γ (1 - a) Γ (1 - b) Γ (c + d - a - b - 1)}{Γ (c - a) Γ (d - a) Γ (c - b) Γ (d - b)} \end{array}$
を示せばよい. 左辺の級数は $Re (c + d - a - b) > 1$ において絶対収束しており, 両辺は $d \to \infty$ において $0$ に収束する. 特に $Re (c + d - a - b) > 1$ のとき, 両辺は $d$ の関数として正則であり, 有界である. $d = N + 1 \geq 1$ を整数のとき, Gaussの超幾何定理より,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(a, b)_{n}}{(c)_{n} Γ (d + n)} & = \sum_{- N \leq n} \frac{(a, b)_{n}}{(c)_{n} Γ (N + n + 1)} \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b)_{n - N}}{(c)_{n - N} n!} \\ = \frac{(a, b)_{- N}}{(c)_{- N}}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} a - N, b - N \\ c - N \end{array}; 1] \\ = \frac{1}{(1 - a, 1 - b)_{N} (c)_{- N}} \frac{Γ (c - N) Γ (c - a - b + N)}{Γ (c - a) Γ (c - b)} \\ = \frac{Γ (c) Γ (1 - a) Γ (1 - b) Γ (c + (N + 1) - a - b - 1)}{Γ (c - a) Γ (c - b) Γ ((N + 1) - a) Γ ((N + 1) - b)} \\ = \frac{Γ (c) Γ (1 - a) Γ (1 - b) Γ (c + d - a - b - 1)}{Γ (c - a) Γ (c - b) Γ (d - a) Γ (d - b)} \end{aligned}$
となって示される. よって, 両辺の差に対してCarlsonの定理を適用することによって, 定理を得る.