Hirsch 微分トポロジーの問題1.1.12 位相多様体の特徴付け

(Hausdorffパラコンパクト$\Longrightarrow$距離化可能で完備距離を持つ)
　Nagata–Smirnovの距離化定理(正則で$\sigma$-局所有限の基をもつ空間である事と、距離化可能空間であることは必要十分条件である。)により、直接$M$が距離化可能である事が従う。(定理の前提となる条件をパラコンパクトHausdorff多様体が満たすことは、単に位相の問題で難しくはない。)(いや、やっぱり難しいかもしれない。)

　以下、完備距離空間になる事を示す。

　$M$の各連結成分$C$において、これは$\sigma$-コンパクトである。
　当然、パラコンパクトHausdorffでもあるので、Urysohnの定理より、properな連続写像$h:C\to [0,\infty)$が構成できる。
　また、$C$も距離化可能なので、この位相を生成する距離関数$\rho$をもつ。
いま、以下のように距離関数$d$を定める:
$d(x,y)=\rho(x,y)+|h(x)-h(y)|$
　すると、$\rho,h$の連続性から$d$も$\rho$と同じ位相を定める事がわかる。
　さらに、この$d$はproperである。よって距離空間についての一般論により、完備である。

　そこで、各連結成分$C$に対して定まっている完備距離を$d_C$とする。
　このとき、グローバルな(つまり$M$での)距離関数$d$を以下で定める:
・点$x,y$が同じ連結成分$C$上のとき、$d(x,y)=d_C(x,y)$とする。
・違う連結成分$x\in C,y\in C'$上のとき、各連結成分$C$に対して基準点$p_C\in C$を任意にとり、$d(x,y)=d_C(x,p_C)+d_{C'}(y,p_{C'})+1$とする。

　この$d$は、各連結成分$C$内で$d_C$と一致する。また、2点が別の連結成分にあるとき、その距離は必ず$1$より大きくなるように設定してあるため、任意の点の半径1未満の(つまり十分小さい)$d$による開球は、その連結成分内に留まる。
　従って、この$d$によって生成される位相は、各連結成分$C$の位相を生成する$d_C$の張り合わせになっているため、$M$の元の位相と一致する。
　
　また、$d$によるコーシー列を取ると、十分大きい番号では2点間の距離が少なくとも1未満になっていて、それは定義からある連結成分$C$内にその点列が存在するという事であり、従って完備な$d_C$による収束性を考えれば良い事になるため、$d$が完備である事がわかる。

　従って、$M$には完備距離が入る。

(距離化可能$\longrightarrow$パラコンパクトHausdorff)

　Hausdorff性は、距離が入るので自明。
　再びNagata–Smirnovの距離化定理より、$M$は$\sigma$-局所有限の基をもつ正則空間である。従ってdevelopableであり、よって正則性と合わせてパラコンパクトである。

(連結な距離化可能多様体は可算基をもつ)
　距離化可能なので、$M$はLindelöfである。
　いま、多様体のアトラスにLindelöf性を使って可算部分被覆$\mathcal U$を取る。
　このとき$\mathcal U$の各被覆はEuclid空間に同相である。Euclid空間は可算基を持つため、それを$M$に引き戻した集合族を考えれば、それが$M$の可算基になっている。