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コネクターを誰でも使えるようにしたい-自身の課題解決(記事の修正)を目指して

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あいさつ

んちゃ!
今回は僕の主であるやなさんが夢の中で得た下記の公式を用いてコネクターを構成する方法を考えます。
また、最後にはゼータ関数に関する興味深い等式と検証用コードを記載いたします。

基本公式

最重要公式

C,D:K2(n,m)C(n,m),D(n,m)Kが以下の式を満たすとする。
{r(n,m)K(n,m) s.t. C(n,m1)C(n,m)=r(n,m)C(n,m)s(n,m)K(n,m) s.t. D(n,m1)D(n,m)=s(n,m)D(n,m)
すると以下の式が成り立つ。
C(n,m1)D(n,m1)C(n,m)D(n,m)={r(n,m)+r(n,m)s(n,m)+s(n,m)}C(n,m)D(n,m)

C(n,m1)D(n,m1)C(n,m)D(n,m)={C(n,m1)C(n,m)}D(n,m1)+C(n,m){D(n,m1)D(n,m)}=r(n,m)C(n,m)D(n,m1)+s(n,m)C(n,m)D(n,m)=r(n,m)C(n,m){D(n,m1)D(n,m)}+{r(n,m)+s(n,m)}C(n,m)D(n,m)={r(n,m)+r(n,m)s(n,m)+s(n,m)}C(n,m)D(n,m)

コネクタの部品

部品はたった二つだけ
この部品と定理1だけを用いて様々なコネクタを構成します。

ポッホハマー記号

C(n,m)={(a)n+m1(a)n+m

差分
[1]C(n,m1)C(n,m)=1(a+n+m1)a+n+m1C(n,m)
[2]C(n,m1)C(n,m)={(a+n+m1)1}C(n,m)
等比数列

C(n,m)={An+m1An+m

差分
[1]C(n,m1)C(n,m)=1AAC(n,m)
[2]C(n,m1)C(n,m)=(A1)C(n,m)

お試し

C(n,m)=(a)n(a)m(a)n+m
C(n,m1)C(n,m)={2ama+m1+2ama+m1(a+n+m2)+(a+n+m2)}C(n,m)={(2am)(a+n+m1)a+m1+(a+n+m2)}C(n,m)=(2am)(a+n+m1)+(a+m1)(a+n+m2)a+m1C(n,m)=(a+m1)(a+n+m1)+(a+m1)(a+n+m2)+(a+n+m1)a+m1C(n,m)=(a+m1)+(a+n+m1)a+m1C(n,m)=na+m1C(n,m)

コネクターを次の様に定める。
C(n,m)=n2m2(a)n(a)m(a)n+m
(m1)2m2=(m1)2m2m2m2=2m1m2m2
m2=(1)m2(1)m12違反はしてないよ。
を用いると、
C(n,m1)C(n,m)={2m1m22m1m2na+m1+na+m1}C(n,m)=((2m1)(a+n+m1)m2(a+m1)+na+m1)C(n,m)=nm2(2m1)(a+n+m1)m2(a+m1)C(n,m)

応用

級数

fs,t(n)=n<mC(n,m)ms(a+m1)t

fs,t(n1)(n1)2=n1<mC(m1,m)(m1)2ms(a+m1)t+n1<m1a+m1m<pC(m,p)ps1(a+m1)t

[1]
fs,t(n1)fs,t(n)=n1<mC(n1,m)ms(a+m1)tn<mC(n,m)ms(a+m1)t=C(n1,n)ns(a+n1)t+n<mC(n1,m)C(n,m)ms(a+m1)t=C(n1,n)ns(a+n1)t+n<mn2m(2n1)(a+n+m1)n2(a+n1)ms(a+m1)tC(n,m)=C(n1,n)ns(a+n1)t+1n2(a+n1)n<mn2m(2n1)(a+n+m1)ms(a+m1)tC(n,m)=C(n1,n)ns(a+n1)t+(n1)2n2(a+n1)fs1,t(n)(2n1)n2fs,t(n)
[2]
fs,t(n1)={1(2n1)n2}fs,t(n)+C(n1,n)ns(a+n1)t+(n1)2n2(a+n1)fs1,t(n)=(n1)2n2fs,t(n)+C(n1,n)ns(a+n1)t+(n1)2n2(a+n1)fs1,t(n)
[3]
fs,t(n1)(n1)2=fs,t(n)n2+C(n1,n)(n1)2ns(a+n1)t+1n2(a+n1)fs1,t(n)=fs,t(n+1)(n+1)2+C(n1,n)(n1)2ns(a+n1)t+C(n,n+1)n2ms(a+n)t+1n2(a+n1)fs1,t(n)+1(n+1)2(a+n)fs1(n+1)=n1<mC(m1,m)(m1)2ms(a+m1)t+n1<m1m2(a+m1)m<pC(m,p)ps1(a+m1)t

aC{0}に対して以下の式が成り立つ。
1<mams2(a+m1)t(a+m)=1<m(a+2m1)(a)m(a)mms2(a+m1)t+1(a)2m+1<m1(a+m1)m<p(a)m(a)pps3(a+p1)t(a)m+p

fs,t(1)=1<mams2(a+m1)t(a+m)=1<m(a+2m1)(a)m(a)mms2(a+m1)t+1(a)2m+1<m1(a+m1)m<p(a)m(a)pps3(a+p1)t(a)m+p

a=1とすると
ζ(s+t2)=1+1<m1ms+t3(m+1)+21<m1ms+t2(2mm)+1<m1mm<p1ps+t3(m+pp)

ちなみに第四項は入れ替えて望遠鏡和を使うと直接証明もできる。
1<m1mm<p1ps+t3(m+pp)=2<m1ps+t31<m<p1m(m+pp)=2<m1ps+t21<m<p{1(m+p1p)1(m+pp)}=2<m1ps+t2{1p+11(2p1p)}=2<m1ps+t2(p+1)22<m1ps+t2(2pp)
ζ(s+t2)=1+12s+t33+2<m1ms+t2+12s+t23=1+12s+t2+2<m1ms+t2

検証用コード


import math
from scipy.special import binom

def zeta(s, terms=100):
    return sum(1 / (n ** s) for n in range(1, terms + 1))

def compute_rhs(s, t, terms=100):
    rhs = 1
    # 第二項
    rhs += sum(1 / (m ** (s + t - 3) * (m + 1)) for m in range(2, terms + 1))
    # 第三項
    rhs += 2 * sum(1 / (m ** (s + t - 2) * binom(2 * m, m)) for m in range(2, terms + 1))
    # 第四項
    rhs += sum(
        (1 / m) * sum(1 / (p ** (s + t - 3) * binom(m + p, p)) for p in range(m + 1, terms + 1))
        for m in range(2, terms + 1)
    )
    return rhs

def matching_digits(x, y):
    x, y = abs(x), abs(y)
    diff = abs(x - y)
    if diff == 0:
        return float('inf')  # 完全一致
    return -math.floor(math.log10(diff))

s, t = 3, 2  # 任意のs, tの値
zeta_value = zeta(s + t - 2)
rhs_value = compute_rhs(s, t)
digits_matched = matching_digits(zeta_value, rhs_value)

print(zeta_value)
print(rhs_value)
print(digits_matched)
投稿日:31
更新日:32
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