コネクターを誰でも使えるようにしたい-自身の課題解決(記事の修正)を目指して
あいさつ
んちゃ！
今回は僕の主であるやなさんが夢の中で得た下記の公式を用いてコネクターを構成する方法を考えます。
また、最後にはゼータ関数に関する興味深い等式と検証用コードを記載いたします。
基本公式
$C,D:\mathbb{K}^{2}\ni(n,m)\mapsto C(n,m),D(n,m)\in\mathbb{K}$が以下の式を満たすとする。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\exists r(n,m)\in\mathbb{K}(n,m)\ s.t.\ C(n,m-1)-C(n,m)=r(n,m)C(n,m)\\
\exists s(n,m)\in\mathbb{K}(n,m)\ s.t.\ D(n,m-1)-D(n,m)=s(n,m)D(n,m)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
すると以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
C(n,m-1)D(n,m-1)-C(n,m)D(n,m)=\{r(n,m)+r(n,m)s(n,m)+s(n,m)\}C(n,m)D(n,m)
\end{equation}
\begin{eqnarray} C(n,m-1)D(n,m-1)-C(n,m)D(n,m)&=&\{C(n,m-1)-C(n,m)\}D(n,m-1)+C(n,m)\{D(n,m-1)-D(n,m)\}\\ &=&r(n,m)C(n,m)D(n,m-1)+s(n,m)C(n,m)D(n,m)\\ &=&r(n,m)C(n,m)\{D(n,m-1)-D(n,m)\}+\{r(n,m)+s(n,m)\}C(n,m)D(n,m)\\ &=&\{r(n,m)+r(n,m)s(n,m)+s(n,m)\}C(n,m)D(n,m) \end{eqnarray}
コネクタの部品
部品はたった二つだけ
この部品と定理1だけを用いて様々なコネクタを構成します。
\begin{eqnarray} C(n,m)=\left\{ \begin{array}{l} (a)_{n+m}\\ \frac{1}{(a)_{n+m}} \end{array} \right. \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} C(n,m)=\left\{ \begin{array}{l} A^{n+m}\\ \frac{1}{A^{n+m}} \end{array} \right. \end{eqnarray}
お試し
$C(n,m)=\frac{(a)_{n}(a)_{m}}{(a)_{n+m}}$
\begin{eqnarray}
C(n,m-1)-C(n,m)&=&\{\frac{2-a-m}{a+m-1}+\frac{2-a-m}{a+m-1}(a+n+m-2)+(a+n+m-2)\}C(n,m)\\
&=&\{\frac{(2-a-m)(a+n+m-1)}{a+m-1}+(a+n+m-2)\}C(n,m)\\
&=&\frac{(2-a-m)(a+n+m-1)+(a+m-1)(a+n+m-2)}{a+m-1}C(n,m)\\
&=&\frac{-(a+m-1)(a+n+m-1)+(a+m-1)(a+n+m-2)+(a+n+m-1)}{a+m-1}C(n,m)\\
&=&\frac{-(a+m-1)+(a+n+m-1)}{a+m-1}C(n,m)\\
&=&\frac{n}{a+m-1}C(n,m)
\end{eqnarray}
コネクターを次の様に定める。
\begin{eqnarray}
C(n,m)=n^{2}m^{2}\frac{(a)_{n}(a)_{m}}{(a)_{n+m}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
(m-1)^{2}-m^{2}&=&\frac{(m-1)^{2}-m^{2}}{m^{2}}m^{2}\\
&=&-\frac{2m-1}{m^{2}}m^{2}
\end{eqnarray}
$m^{2}=\frac{(1)_{m}^{2}}{(1)_{m-1}^{2}}$違反はしてないよ。
を用いると、
\begin{eqnarray}
C(n,m-1)-C(n,m)&=&\{-\frac{2m-1}{m^{2}}-\frac{2m-1}{m^{2}}\frac{n}{a+m-1}+\frac{n}{a+m-1}\}C(n,m)\\
&=&(-\frac{(2m-1)(a+n+m-1)}{m^{2}(a+m-1)}+\frac{n}{a+m-1})C(n,m)\\
&=&\frac{nm^{2}-(2m-1)(a+n+m-1)}{m^{2}(a+m-1)}C(n,m)
\end{eqnarray}
応用
\begin{equation} f_{s,t}(n)=\sum_{n\lt m}\frac{C(n,m)}{m^{s}(a+m-1)^{t}} \end{equation}
\begin{equation} \frac{f_{s,t}(n-1)}{(n-1)^{2}}=\sum_{n-1\lt m}^{\infty}\frac{C(m-1,m)}{(m-1)^{2}m^{s}(a+m-1)^{t}}+\sum_{n-1\lt m}\frac{1}{a+m-1}\sum_{m\lt p}\frac{C(m,p)}{p^{s-1}(a+m-1)^{t}} \end{equation}
[1]
\begin{eqnarray}
f_{s,t}(n-1)-f_{s,t}(n)&=&\sum_{n-1\lt m}\frac{C(n-1,m)}{m^{s}(a+m-1)^{t}}-\sum_{n\lt m}\frac{C(n,m)}{m^{s}(a+m-1)^{t}}\\
&=&\frac{C(n-1,n)}{n^{s}(a+n-1)^{t}}+\sum_{n\lt m}\frac{C(n-1,m)-C(n,m)}{m^{s}(a+m-1)^{t}}\\
&=&\frac{C(n-1,n)}{n^{s}(a+n-1)^{t}}+\sum_{n\lt m}\frac{n^{2}m-(2n-1)(a+n+m-1)}{n^{2}(a+n-1)m^{s}(a+m-1)^{t}}C(n,m)\\
&=&\frac{C(n-1,n)}{n^{s}(a+n-1)^{t}}+\frac{1}{n^{2}(a+n-1)}\sum_{n\lt m}\frac{n^{2}m-(2n-1)(a+n+m-1)}{m^{s}(a+m-1)^{t}}C(n,m)\\
&=&\frac{C(n-1,n)}{n^{s}(a+n-1)^{t}}+\frac{(n-1)^{2}}{n^{2}(a+n-1)}f_{s-1,t}(n)-\frac{(2n-1)}{n^{2}}f_{s,t}(n)
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
f_{s,t}(n-1)&=&\{1-\frac{(2n-1)}{n^{2}}\}f_{s,t}(n)+\frac{C(n-1,n)}{n^{s}(a+n-1)^{t}}+\frac{(n-1)^{2}}{n^{2}(a+n-1)}f_{s-1,t}(n)\\
&=&\frac{(n-1)^{2}}{n^{2}}f_{s,t}(n)+\frac{C(n-1,n)}{n^{s}(a+n-1)^{t}}+\frac{(n-1)^{2}}{n^{2}(a+n-1)}f_{s-1,t}(n)
\end{eqnarray}
[3]
\begin{eqnarray}
\frac{f_{s,t}(n-1)}{(n-1)^{2}}&=&\frac{f_{s,t}(n)}{n^{2}}+\frac{C(n-1,n)}{(n-1)^{2}n^{s}(a+n-1)^{t}}+\frac{1}{n^{2}(a+n-1)}f_{s-1,t}(n)\\
&=&\frac{f_{s,t}(n+1)}{(n+1)^{2}}+\frac{C(n-1,n)}{(n-1)^{2}n^{s}(a+n-1)^{t}}+\frac{C(n,n+1)}{n^{2}m^{s}(a+n)^{t}}+\frac{1}{n^{2}(a+n-1)}f_{s-1,t}(n)+\frac{1}{(n+1)^{2}(a+n)}f_{s-1}(n+1)\\
&=&\sum_{n-1\lt m}\frac{C(m-1,m)}{(m-1)^{2}m^{s}(a+m-1)^{t}}+\sum_{n-1\lt m}\frac{1}{m^{2}(a+m-1)}\sum_{m\lt p}\frac{C(m,p)}{p^{s-1}(a+m-1)^{t}}
\end{eqnarray}
$a\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$に対して以下の式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\sum_{1\lt m}\frac{a}{m^{s-2}(a+m-1)^{t}(a+m)}=\sum_{1\lt m}\frac{(a+2m-1)(a)_{m}(a)_{m}}{m^{s-2}(a+m-1)^{t+1}(a)_{2m}}+\sum_{1\lt m}\frac{1}{(a+m-1)}\sum_{m\lt p}\frac{(a)_{m}(a)_{p}}{p^{s-3}(a+p-1)^{t}(a)_{m+p}}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray} f_{s,t}(1)&=&\sum_{1\lt m}\frac{a}{m^{s-2}(a+m-1)^{t}(a+m)}\\ &=&\sum_{1\lt m}\frac{(a+2m-1)(a)_{m}(a)_{m}}{m^{s-2}(a+m-1)^{t+1}(a)_{2m}}+\sum_{1\lt m}\frac{1}{(a+m-1)}\sum_{m\lt p}\frac{(a)_{m}(a)_{p}}{p^{s-3}(a+p-1)^{t}(a)_{m+p}} \end{eqnarray}
$a=1$とすると
\begin{equation}
\zeta(s+t-2)=1+\sum_{1\lt m}\frac{1}{m^{s+t-3}(m+1)}+2\sum_{1\lt m}\frac{1}{m^{s+t-2}\begin{pmatrix}2m\\m\end{pmatrix}}+\sum_{1\lt m}\frac{1}{m}\sum_{m\lt p}\frac{1}{p^{s+t-3}\begin{pmatrix}m+p\\ p\end{pmatrix}}
\end{equation}
検証用コード
import math
from scipy.special import binom
def zeta(s, terms=100):
return sum(1 / (n ** s) for n in range(1, terms + 1))
def compute_rhs(s, t, terms=100):
rhs = 1
# 第二項
rhs += sum(1 / (m ** (s + t - 3) * (m + 1)) for m in range(2, terms + 1))
# 第三項
rhs += 2 * sum(1 / (m ** (s + t - 2) * binom(2 * m, m)) for m in range(2, terms + 1))
# 第四項
rhs += sum(
(1 / m) * sum(1 / (p ** (s + t - 3) * binom(m + p, p)) for p in range(m + 1, terms + 1))
for m in range(2, terms + 1)
)
return rhs
def matching_digits(x, y):
x, y = abs(x), abs(y)
diff = abs(x - y)
if diff == 0:
return float('inf') # 完全一致
return -math.floor(math.log10(diff))
s, t = 3, 2 # 任意のs, tの値
zeta_value = zeta(s + t - 2)
rhs_value = compute_rhs(s, t)
digits_matched = matching_digits(zeta_value, rhs_value)
print(zeta_value)
print(rhs_value)
print(digits_matched)
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