Hahn-Banachの定理の応用（Riesz-Markov-角谷の定理）

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Riesz-Markov-角谷の定理

この定理は色々バリエーションがありますが今回示すのは次の主張です：

Riesz-Markov-角谷の定理

第二可算コンパクト（Hausdorff）空間 $X$ 上の $R$ 値連続関数環 $C (X)$ について、正値線形汎関数 $ϕ : C (X) \to R$ と $X$ 上の有限測度 $μ$ は次の関係で一対一に対応する：
$ϕ (f) = \int_{X} f d μ$

ここで線形汎関数 $ϕ$ が正値とは次の同値な条件のうち片方（従って両方）を満たすこととします。特に正値性は有界性（連続性）を導きます。

正値性

$ϕ (1) = ‖ ϕ ‖ ⟺ \forall f \in C (X)_{+} ϕ (f) \geq 0$
ここで $f \in C (X)_{+} \overset{d e f}{⟺} \forall x \in X f (x) \geq 0$

証明

(\Leftarrow)

f \in C (X)

に対し

- ‖ f ‖ \leq f \leq ‖ f ‖

だから

- ‖ f ‖ ϕ (1) \leq ϕ (f) \leq ‖ f ‖ ϕ (1)

故に

‖ ϕ ‖ \leq ϕ (1)

だが、上が

f = 1

でサチってるのでちゃんと等号。

(\Rightarrow)

f \geq 0

に対し十分小さい

ε > 0

を用いて

‖ 1 - ε f ‖ \leq 1

とできる。

‖ ϕ ‖ - ε ϕ (f) = ϕ (1 - ε f) \leq ‖ ϕ ‖ ‖ 1 - ε f ‖

より従う。

測度が積分から復元されること（ $\forall f \in C (X) \int f d μ = \int f d ν ならば μ = ν$ ）は例えば $π - λ$ 定理とか単調族定理から出ます（今回は省略）。

定理1の証明（測度を構成する方）

実はCantor空間 $K := {0, 1}^{N}$ から $X$ への連続全射 $p$ が存在するので一つ取る。引き戻し（ $p$ との合成） $p^{*} : C (X) \to C (K)$ が等長なので、これを閉部分空間だと思い、Hahn-Banachの定理を使って $ϕ^{'} : C (K) \to R$ を $ϕ^{'} |_{C (X)} = ϕ$ かつ $‖ ϕ^{'} ‖ = ‖ ϕ ‖$ と取る。 $ϕ^{'} (1) = ϕ (1)$ より $ϕ$ の正値性は $ϕ^{'}$ のそれを導くが、実は $ϕ^{'}$ がある $K$ 上の測度 $μ^{'}$ で表現されることは以下により分かり、その像測度 $μ := μ^{'} p^{- 1}$ が所望の $X$ 上の測度を与える：
$C := {A \subset K ∣ 開かつ閉}$ は有限加法族であり $Φ (A) := ϕ^{'} (χ_{A})$ は有限加法的だが、実は $C$ 上可算加法的だからHopfの拡張定理から従う。なぜなら、 $A = ⋃_{n} A_{n}$ かつ $A, A_{n} \in C$ となるdisjointな $A_{n}$ は $A$ のコンパクト性と $A_{n}$ の開性から自明なものだけであるから。

定理のバリエーションについて

普通は $X$ は一般の（第二可算）局所コンパクトHausdorff空間で取ります。関数空間を $C_{c} (X)$ にして無限測度を許すバージョンと正値性を有界性にして複素測度を許すバージョンと大きく分けて二つバリエーションがあります。今回は $X$ にコンパクト性を課しましたが、局所コンパクト空間はコンパクト集合の増大列（ネット）で書けることからどちらも基本的にコンパクトな場合に帰着されます。複素測度の方も、実部と虚部に分けて更に正と負に分ける（こっちは少し大変だが、実は別のバリエーションのHahn-Banachでショートカットできる）ことで同じく今回の場合に帰着されます。
Wikipediaとかは第二可算性を課してないんですが、そうすると測度に正則性を課すかBaire集合族を使うかをする必要があります。しかしそれは特に使うことはないので気にしないで良いです。

おまけ1（局所コンパクトな場合）

Riesz-Markov-角谷の定理

第二可算局所コンパクト（Hausdorff）空間 $X$ 上の $R$ 値コンパクト台連続関数環 $C_{c} (X)$ について、正値線形汎関数 $ϕ : C_{c} (X) \to R$ と $X$ 上の非負測度（無限を許す） $μ$ は次の関係で一対一に対応する：
$ϕ (f) = \int_{X} f d μ$

というか余談

$1 \notin C_{c} (X)$ という理由で正値性は $sup$ ノルムでの有界性すら導きません（上の補題の証明が回らない）。 $C_{c} (X)$ の適切な位相は $sup$ ノルムではなく、 ${\partial K で消える K 上連続関数}$ というBanach空間の $K ⋐ X$ を渡るincreasing unionと書いた時の終位相（各 $K$ について制限が開になってる部分集合全てを開集合系として取ってくる）であり、この位相についての連続性なら正値性から導かれます。
ちなみに、この位相は（普通の関数解析じゃ見慣れないかもしれませんが）局所凸位相線形空間を与え、位相線形空間として完備（各seminormでCauchyとなるネットが収束する）です。こう言うと驚かれるかもしれませんが、seminormを連続体濃度分真に使うのでこういうことが起きます。非有界を許す $i : X \to R$ に対し $p_{i} (f) := max_{X} | i f |$ は $f$ がコンパクト台なので定まりますが、全ての $i$ についてこれを考えたら良いです。
更にちなみに、これと似たようなことをすることで $C_{c}^{\infty} (M)$ についても局所凸位相が定まり、それはテスト関数の空間と呼ばれます。核型空間（Schwartzの核定理が一般化されるような位相線形空間のクラス）の最も重要な例です。

$g \in C_{c} (X)$ に対し $K ⋐ X$ を $g$ の台より大きいコンパクト集合とすれば、 $f \in C (K)$ に対し $g f \in C_{c} (X)$ が定まります。正値な $ϕ : C_{c} (X) \to R$ に対して
$C (K) ∋ f ⟼ ϕ (g f) \in C$
に対してコンパクトな場合の主定理を使えば $X$ 上の有限測度 $μ_{g}$ で $ϕ (g f) = \int_{K} f d μ_{g} = \int_{X} f d μ_{g}$ と表現できます。 $K$ 上の測度を $X$ 上の測度と思い直しています。この式は $f$ が $\partial K$ で消える $K$ 上連続関数で特に成立しています。
今単調広義一様収束 $g_{n} ↗ 1$ をコンパクト台に取る（ $X$ のコンパクト増大被覆を取ればいい）と、上式が成立する $f$ はどんどん増えていき、 $lim_{n} ϕ (g_{n} f) = lim_{n} \int_{X} f d μ_{g_{n}}$ です。左辺は極限する前から $ϕ (f)$ であり、右辺は $μ (A) := lim_{n} μ_{g_{n}} (A)$ として $\int_{X} f d μ$ です。右辺についてはこの $μ$ が完全加法的な測度になることのみが非自明ですが、次の微積から分かります。手を動かすと見たことのある議論だと思います。

微積

無限和は $[0, \infty]$ 内の単調収束について連続。つまり、 $x_{n}^{i} ↗ x_{n} \in [0, \infty]$ について $\sum_{n} x_{n}^{i} ↗ \sum_{n} x_{n} \in [0, \infty]$ 。

おまけ2

Riesz-Markov-角谷の定理

第二可算局所コンパクト（Hausdorff）空間 $X$ 上の $C$ 値無限遠で消える連続関数環 $C_{0} (X)$ について、有界線形汎関数 $ϕ : C_{0} (X) \to C$ と $X$ 上の複素測度 $μ$ は次の関係で一対一に対応する：
$ϕ (f) = \int_{X} f d μ$

上の場合と違い、 $C_{0} (X)$ は $sup$ ノルムについてBanach空間をなします。
複素測度とは可測集合族から $C$ への写像であって完全加法性が絶対収束の意味で成り立つものです。絶対収束性のおかげで結局有限測度の複素数係数線形結合（有限個）で書けることが知られています、実部と虚部に分かれるのはすぐ分かりますが符号付き測度を正負に分けるのは少し骨が折れるかもしれません（がHahn-Banachでshort cutできます）。これで計4つの線形結合で書けます。
別の見方として、極分解というものがあり、有限非負測度 $| μ |$ と $w : X \to C$ という絶対値1の関数が存在して $d μ = w d | μ |$ と書けます。このとき上の $‖ ϕ ‖ = ‖ μ ‖ := | μ | (X)$ です。これを全変動と呼びます。

$‖ ϕ ‖ = 1$ と仮定していい。もし $ϕ$ が正値だったら一個前のバージョンから対応する非負測度 $μ$ が取れ、 $μ (X) = ‖ ϕ ‖$ となる。特に $μ$ が有限測度になる。
$S := {正値で ‖ ϕ ‖ \leq 1 な ϕ \in (C_{0} (X))^{*} 全体}$ とおく、つまり $μ (X) \leq 1$ なる非負測度全体のなすコンパクト凸集合である。弱-位相についての単位球のコンパクト性（Banach-Alaogluの定理）と $| ϕ (f) | \leq ‖ f ‖$ がclosed conditionであることから従う。
Hahn-Banachの定理は複素数倍 $S^{'} := ⋃_{| z | = 1} z S$ は $(C_{0} (X))^{*}$ の弱-位相についての閉凸包がその単位球になることに使う。実際これは $f \in C_{0} (X)$ に対して $sup_{ϕ \in 単位球} Re (ϕ (f)) = sup_{ϕ \in S^{'}} Re (ϕ (f))$ を確認すればいいが、左辺は $‖ f ‖$ であり右辺は $ϕ$ として点でのevaluation（点測度での積分）の複素数倍を取ればいい。
つまり単位球から取ってきた $ϕ$ は $z S$ の元の凸結合の極限と書ける。 $z$ の部分を実部と虚部、更に正と負に分けることで、 $S$ の凸性に気を付ければ、 $i^{k} S (k = 1, \dots, 4)$ の元の和の極限となる。 $ϕ = lim_{λ} \sum_{k} i^{k} ϕ_{λ}^{k}$ と $ϕ_{λ}^{k} \in S$ が取れるが、このネット $Λ$ を普遍ネット（またはultralimit）に取り替えて $S$ のコンパクト性から $ϕ = \sum_{k} i^{k} ϕ^{k}$ なる $ϕ^{k} \in S$ が取れる。 $S$ の元は有限測度だから、その線形結合である $ϕ$ が複素測度として実現された。

この証明で副産物的に複素測度は有限測度の複素数係数線形結合で書けることが得られた。ただし、複素測度 $μ$ の全変動
$sup {\sum_{n}^{\infty} | μ (A_{n}) | : (A_{n}) は X の可算分割}$
が有限であることは素手で示さないといけない、 $C_{0} (X)$ 上汎関数としての有界性のため。

Jordan分解

上の証明中、凸結合を実部虚部に分けたところで評価が少し落ちているが、正負で分けるところでは落ちない。つまり元から符号付き測度（実数値測度）になっている場合は $t_{λ} ϕ_{λ}^{+} + (1 - t_{λ}) (- ϕ_{λ}^{-})$ の極限と書ける（ $t \in [0, 1], ϕ^{\pm} \in S$ ）ので、そのまま普遍ネットで落とし $ϕ = t ϕ^{+} + (1 - t) (- ϕ^{-})$ と書ける。評価が落ちていないとは $‖ ϕ ‖ = ‖ t ϕ^{+} ‖ + ‖ (1 - t) ϕ^{-} ‖$ となっているということである。これは符号付き測度のJordan分解を与えている。

Jordan分解の一意性

符号付き測度 $μ$ の非負な分解 $μ = μ^{+} - μ^{-}$ であって $‖ μ ‖ = ‖ μ^{+} ‖ + ‖ μ^{-} ‖$ なるものは一意。更に、勝手な非負な分解 $μ = ν^{+} - ν^{-}$ は $ν^{\pm} (E) \geq μ^{\pm} (E) \forall E \subset X$ となる。

まず、符号付き（複素）測度のノルムとは全変動と $C_{0} (X)$ 上のノルムと $B^{\infty} (X)$ ,有界可測関数の空間上のノルムがあるが、これらは全て一致します。後者二つの一致を言えば全て挟めるが、これは単調族定理か「その指示関数を連続関数で $L^{1}$ 近似できる集合族」と言って測度論をやると良いです。

評価が落ちていないことから $‖ μ |_{E} ‖ = ‖ μ^{+} |_{E} ‖ + ‖ μ^{-} |_{E} ‖$ が出る、これは $E$ 上の測度としてのノルム。 $‖ ν^{+} |_{E} ‖ + ‖ ν^{-} |_{E} ‖ \geq ‖ μ |_{E} ‖$ は三角不等式であり、 $μ^{+} (E) + μ^{-} (E) \leq ν^{+} (E) + ν^{-} (E)$ となる。 $μ^{+} - μ^{-} = ν^{+} - ν^{-} = μ$ に気を付けるとどちらの不等号も降ってきます。と言うか $ν^{+} - μ^{+} = ν^{-} - μ^{-}$ です。

おわり

ここまでくると複素測度の極分解まで流れに沿って示したいが、まあRadon-Nicodymの定理に投げちゃう方が楽だよなあ。一応やるとしたら、 $z S$ の元での凸結合を $S^{1} \times X$ 上の（有限個のmassからなる）確率測度と思って、その意味で弱収束極限を取り、その確率測度のレベルで上の「評価が落ちてない」の議論をすれば $S^{1} \times X$ と $X$ がとしてmeasure algebraとして同型だから射影 $S^{1} \times X \to S^{1}$ を $X \to S^{1}$ に持ってくることができる。