Hahn-Banachの定理の応用（Riesz-Markov-角谷の定理）
Riesz-Markov-角谷の定理
この定理は色々バリエーションがありますが今回示すのは次の主張です：
第二可算コンパクト（Hausdorff）空間$X$上の$\R$値連続関数環$C(X)$について、正値線形汎関数$\phi:C(X)\to\R$と$X$上の有限測度$\mu$は次の関係で一対一に対応する：
$\displaystyle \phi(f)=\int_Xfd\mu$
ここで線形汎関数$\phi$が正値とは次の同値な条件のうち片方（従って両方）を満たすこととします。
$\phi(1)=\norm{\phi}\iff \forall f\in C(X)_+\ \phi(f)\geq0$
ここで$f\in C(X)_+\overset{def}{\iff}\forall x\in X\ f(x)\geq0$
証明
$(\Leftarrow)$ $f\in C(X)$に対し$-\norm{f}\leq f\leq\norm{f}$だから$-\norm{f}\phi(1)\leq\phi(f)\leq\norm{f}\phi(1)$故に$\norm{\phi}\leq\phi(1)$だが、上が$f=1$でサチってるのでちゃんと等号。
$(\Rightarrow)$ $f\geq0$に対し十分小さい$\ve>0$を用いて$\norm{1-\ve f}\leq1$とできる。
$\norm{\phi}-\ve\phi(f)=\phi(1-\ve f)\leq\norm{\phi}\norm{1-\ve f}$より従う。
測度が積分から復元されること（$\forall f\in C(X)\ \int fd\mu=\int fd\nuならば\mu=\nu$）は例えば$\pi-\lambda$定理とか単調族定理から出ます（今回は省略）。
実はCantor空間$K:=\{0,1\}^\N$から$X$への連続全射$p$が存在するので一つ取る。引き戻し（$p$との合成）$p^*:C(X)\to C(K)$が等長なので、これを閉部分空間だと思い、Hahn-Banachの定理を使って$\phi':C(K)\to\R$を$\phi'\lvert_{C(X)}=\phi$かつ$\norm{\phi'}=\norm{\phi}$と取る。$\phi'(1)=\phi(1)$より$\phi$の正値性は$\phi'$のそれを導くが、実は$\phi'$がある$K$上の測度$\mu'$で表現されることは以下により分かり、その像測度$\mu:=\mu'p^{-1}$が所望の$X$上の測度を与える：
$\mathcal{C}:=\set{A\subset K}{\text{開かつ閉}}$は有限加法族であり$\Phi(A):=\phi'(\chi_A)$は有限加法的だが、実は$\mathcal{C}$上可算加法的だからHopfの拡張定理から従う。なぜなら、$A=\bigcup_n A_n$かつ$A,A_n\in\mathcal{C}$となるdisjointな$A_n$は$A$のコンパクト性と$A_n$の開性から自明なものだけであるから。
普通は$X$は一般の（第二可算）局所コンパクトHausdorff空間で取ります。関数空間を$C_c(X)$にして無限測度を許すバージョンと正値性を外して複素測度を許すバージョンと大きく分けて二つバリエーションがあります。今回は$X$にコンパクト性を課しましたが、局所コンパクト空間はコンパクト集合の増大列（ネット）で書けることからどちらも基本的にコンパクトな場合に帰着されます。複素測度の方も、実部と虚部に分けて更に正と負に分ける（こっちは少し大変だが、実は別のバリエーションのHahn-Banachでショートカットできる）ことで同じく今回の場合に帰着されます。
Wikipediaとかは第二可算性を課してないんですが、そうすると測度に正則性を課すかBaire集合族を使うかをする必要があります。しかしそれは特に使うことはないので気にしないで良いです。
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