二項係数。ときどき、ラテン語。

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今日は Hodie
とある quadam
中央二項係数の binomialium centralium
和について de summa
ちょっとした parvulum
記事を articulum
書こうと思う scribam.
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文字ペーを Character $p$
素数と numerus primus
しよう sit.
そのとき Tum
この hanc
合同式が congruentiam
\begin{equation*} \sum_{0}^{p-1}(-1)^n\binom{2n}{n}\equiv\left(\frac{\,p\,}{\,5\,}\right)\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{equation*}
成りたつことが valere
すでに iam
示されている probatus est:
すなわち videlicet
\begin{equation*} \underbrace{1-2+6-20+70-252+924-\cdots}_p\equiv\left(\frac{\,p\,}{\,5\,}\right)\ \ (\mathrm{mod}.p). \end{equation*}
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ここで Ubi
分数のような quasi fractio
記号は signum
かの illius
ルジャンドルの Legendre
記法で orthographia
ある est.
すなわち scilicet:
\begin{equation*} \left(\frac{\,p\,}{\,5\,}\right)=\begin{cases} +1\quad&(p=11,19,29,31,41,59,\ldots)\\ -1\quad&(p=2,3,7,13,17,23,37,\ldots)\\ \ \ 0\quad&(p=5). \end{cases} \end{equation*}
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これの Huius
証明は demonstratio,
それを quos
私の meo
記事で in articulo
以前に pridie
説明した explicavi,
$p$進解析の analyseos $p$-adicae
方法 modo
と atque
この hoc
数を numero
\begin{equation*} -(1-\zeta)^2\zeta^{-1},\quad\zeta=e^{2\pi\sqrt{-1}/p} \end{equation*}
使う utitur.
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フィボナッチ商を表示する有限級数 - Arithmetica
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幾何級数において In serie geometrica,
\begin{equation*} \sum_0^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\quad(\left|x\right|_p<1) \end{equation*}
この hoc
数が numero
代入されると substituto
最初の prima
合同式が congruentia
生じる oritur.
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証明を Demonstrationem
書きそえようと思う adscribam,
... si
すべての時間の temporis
大きな部分を satis
私がもっている habeo
ときに.

それでは Vale.
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