メートルの4乗！(断面二次モーメントについてのおはなし)

おはよう

さいきん甚暑で旱暑で溽暑ですね!　私です。断面二次モーメントの単位について気になったので書いていきます。

断面二次モーメントとは

断面一次モーメントとか断面係数とかがありますが、今回は断面二次モーメントについて解説していきます。断面二次モーメントとは、工学の単位で、梁(はり)がどれだけ曲げにくいか(変形しにくいか)を表す量です。そしてその単位は

$$m^4$$

です。普通は$m^2$や$m^3$のように、指数$=$次元となっていますが、断面二次モーメントは$3$次元のものとなっています！
それで私はなぜ指数が$4$乗なのか気になり、この記事を書くに至ったというわけです。では、早速導出してみましょう！

導出

梁
まず梁というのは中心軸から遠いほど、圧縮、引張してひずみ(長さの変形の度合い)が大きくなります。つまり、ひずみ$\varepsilon$は距離$y$に比例します。
ひずみと距離の関係
$$ y \propto \varepsilon $$
フックの法則より、応力$\sigma$はヤング率$E$とひずみの積なので、
$$\sigma=E\varepsilon$$
つまり応力は距離に比例します。
応力と距離の比例関係
$$ y \propto \sigma $$
軸からの距離が大きくなるほど応力は大きくなります。
ここで、応力の単位は$N/m^2$なので、微小面積$dA$を掛けます。
微小面積にかかる力$dF$について、
$$dF=\sigma dA$$
が成り立ちます。
ここで、梁を曲げる効果として力のモーメントを考えます。力のモーメント$dM$は力と距離の積なので、
$$dM=ydF$$
$dF=\sigma dA$より、
$$dM=y\sigma dA$$
$ y \propto \sigma $なので、
$$ dM \propto y^2dA $$
あとはこれを断面全体について足し合わせて、$$I=\int_{}^{}y^2dA$$
$dA$は面積なので$y^2$と同じ距離の$2$乗です。よって断面二次モーメントは距離の$4$乗となります。これが断面二次モーメントが$m^4$で表される所以です。