多項係数の畳み込み
ヴァンデルモンドの恒等式みたいな畳み込みは、多項係数でも成り立つのか試したらうまくいきました。
証明も出来たので見てください。
まず下降冪多項定理を証明します。
$(x)_{n}$を下降冪とします。
$(x_0+x_1+x_2+…+x_r)_{n+1} =(x_0+x_1+x_2+…+x_r-n)(x_0+x_1+x_2+…+x_r)_{n}$
$ =\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n}((x_0-y_0)+(x_1-y_1)+(x_2-y_2)+…+(x_r-y_r)) \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r} $
$=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n} \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}((x_0-y_0)+(x_1-y_1)+(x_2-y_2)+…+(x_r-y_r))(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r} $
$=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n} \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}((x_0-y_0)(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r}+(x_1-y_1)(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r}+(x_2-y_2)(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r}+…+(x_r-y_r)(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r})$
$=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n} \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}((x_0)_{y_0+1}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r}+(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1+1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r}+(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2+1}…(x_r)_{y_r}+…+(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r+1})$
$=\sum_{(y_0+1)+y_1+y_2+…+y_r=n+1} \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
(y_0-1)y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r}$
$+\sum_{y_0+(y_1+1)+y_2+…+y_r=n+1} \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0(y_1-1)y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r}$
$+\sum_{y_0+y_1+(y_2+1)+…+y_r=n+1} \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1(y_2-1)…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r}$
$…+\sum_{y_0+y_1+y_2+…+(y_r+1)=n+1} \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…(y_r-1)
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r}$
$ =\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n+1}(\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
(y_0-1)y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray} $ $+\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0(y_1-1)y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}+$ $\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1(y_2-1)…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}+…$ $+\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…(y_r-1)
\end{array}
\right)
\end{eqnarray})(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r}$
$=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n+1}\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n+1 \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r}$
これを踏まえてさらに進みます。
$(x_0+x_1+x_2+…+x_r)_{n}=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n}\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r}$
$ \frac{(x_0+x_1+x_2+…+x_r)!}{(x_0+x_1+x_2+…+x_r)-n!}=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n}\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray} \frac{x_0!}{x_0-y_0!}\frac{x_1!}{x_1-y_1!}\frac{x_2!}{x_2-y_2!}…\frac{x_r!}{x_r-y_r!} $
$\frac{(x_0+x_1+x_2+…+x_r)!}{(x_0+x_1+x_2+…+x_r)-n!n!}=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n} \frac{x_0!}{x_0-y_0!y_0!}\frac{x_1!}{x_1-y_1!y_1!}\frac{x_2!}{x_2-y_2!y_2!}…\frac{x_r!}{x_r-y_r!y_r!} $
$ $
$\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
x_0x_1x_2…x_r \\
n
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}$
$
＝\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n} \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
x_0 \\
y_0
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
x_1 \\
y_1
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}$$ \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
x_2 \\
y_2
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}…$$ \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
x_r \\
y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}$
$(x_0+x_1+x_2+…+x_r)_{n}=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n}\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}(x_0)_{y_0}(x_1)_{y_1}(x_2)_{y_2}…(x_r)_{y_r}$
$ \frac{(x_0+x_1+x_2+…+x_r)!}{(x_0+x_1+x_2+…+x_r)-n!}=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n}\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray} \frac{x_0!}{x_0-y_0!}\frac{x_1!}{x_1-y_1!}\frac{x_2!}{x_2-y_2!}…\frac{x_r!}{x_r-y_r!} $
$ \frac{(x_0+x_1+x_2+…+x_r)!}{x_0!x_1!x_2!…x_r!}=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n}\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray} \frac{(x_0+x_1+x_2+…+x_r)-n!}{(x_0-y_0)!(x_1-y_1)!(x_2-y_2)!…(x_r-y_r)!}$
$(x_0+x_1+x_2+…+x_r)＝r$とすると
$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} r \\ x_0x_1x_2…x_r \end{array} \right) \end{eqnarray} $ $ ＝\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n}\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} n \\ y_0y_1y_2…y_r \end{array} \right) \end{eqnarray}$ $ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} r−n \\ (x_0-y_0)(x_1-y_1)(x_2-y_2)…(x_r-y_r) \end{array} \right) \end{eqnarray}$
$(x)^{n}$を上昇冪とします。
$(x_0+x_1+x_2+…+x_r)^{n+1} =(x_0+x_1+x_2+…+x_r+n)(x_0+x_1+x_2+…+x_r)^{n}$
$ =\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n}((x_0+y_0)+(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+…+(x_r+y_r)) \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r} $
$=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n} \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}((x_0+y_0)+(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+…+(x_r+y_r))(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r} $
$=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n} \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}((x_0+y_0)(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r}+(x_1+y_1)(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r}+(x_2+y_2)(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r}+…+(x_r+y_r)(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r})$
$=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n} \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}((x_0)^{y_0+1}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r}+(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1+1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r}+(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2+1}…(x_r)^{y_r}+…+(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r+1})$
$=\sum_{(y_0+1)+y_1+y_2+…+y_r=n+1} \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
(y_0-1)y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r}$
$+\sum_{y_0+(y_1+1)+y_2+…+y_r=n+1} \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0(y_1-1)y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r}$
$+\sum_{y_0+y_1+(y_2+1)+…+y_r=n+1} \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1(y_2-1)…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r}$
$…+\sum_{y_0+y_1+y_2+…+(y_r+1)=n+1} \begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…(y_r-1)
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r}$
$ =\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n+1}(\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
(y_0-1)y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray} $ $+\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0(y_1-1)y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}+$ $\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1(y_2-1)…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}+…$ $+\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…(y_r-1)
\end{array}
\right)
\end{eqnarray})(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r}$
$=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n+1}\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n+1 \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r}$
$(x_0+x_1+x_2+…+x_r)^{n}=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n}\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}(x_0)^{y_0}(x_1)^{y_1}(x_2)^{y_2}…(x_r)^{y_r}$
$ \frac{(x_0+x_1+x_2+…+x_r)+n-1!}{(x_0+x_1+x_2+…+x_r)-1!}=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n}\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray} \frac{(x_0+y_0-1)!}{x_0-1!}\frac{(x_1+y_1-1)!}{x_1-1!}\frac{(x_2+y_2-1)!}{x_2-1!}…\frac{(x_r+y_r-1)!}{x_r-1!} $
$ \frac{(x_0+x_1+x_2+…+x_r)+n-1!}{(x_0+x_1+x_2+…+x_r)-1!}=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n}\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{cc}
n \\
y_0y_1y_2…y_r
\end{array}
\right)
\end{eqnarray} \frac{(x_0+y_0-1)!}{x_0-1!}\frac{(x_1+y_1-1)!}{x_1-1!}\frac{(x_2+y_2-1)!}{x_2-1!}…\frac{(x_r+y_r-1)!}{x_r-1!}$
$ \frac{(x_0+x_1+x_2+…+x_r)+n-1!}{(x_0+x_1+x_2+…+x_r)-1!n!}=\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n} \frac{(x_0+y_0-1)!}{x_0-1!y_0!}\frac{(x_1+y_1-1)!}{x_1-1!y_1!}\frac{(x_2+y_2-1)!}{x_2-1!y_2!}…\frac{(x_r+y_r-1)!}{x_r-1!y_r!}$
$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} x_0+x_1+x_2+…+x_r+n-1 \\ n \end{array} \right) \end{eqnarray}$$ ＝\sum_{y_0+y_1+y_2+…+y_r=n} \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} x_0+y_0-1 \\ y_0 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} x_1+y_1-1 \\ y_1 \end{array} \right) \end{eqnarray}$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} x_2+y_2-1 \\ y_2 \end{array} \right) \end{eqnarray}…$$ \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} x_r+y_r-1 \\ y_r \end{array} \right) \end{eqnarray}$
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
