
&&&exc 
関数$f(x), g(x)$を微分可能な関数とし, $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$とおく。このとき$h^{\prime}(\alpha)=0$となる実数$\alpha$に対し
\begin{align*}
\dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)}=\dfrac{f^{\prime}(\alpha)}{g^{\prime}(\alpha)}
\end{align*}
が成り立つ。ただし任意の実数$x$対し、$g(x)\neq{0}$であり$g^{\prime}(\alpha)\neq{0}.$
&&&
&&&prf 
証明
\begin{align*}
h^{\prime}(x)=\dfrac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{\{g^{\prime}(x)\}^{2}}
\end{align*}
なので
\begin{align*}
h^{\prime}(\alpha)=0&\iff \dfrac{f^{\prime}(\alpha)g(\alpha)-f(\alpha)g^{\prime}(\alpha)}{\{g^{\prime}(\alpha)\}^{2}}=0\\
&\iff \dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)}=\dfrac{f^{\prime}(\alpha)}{g^{\prime}(\alpha)}.
\end{align*}
&&&




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