一般のモノイダル圏上の豊穣圏論におけるweighted limitについて

はじめに

圏論は数学の抽象的な構造を統一的に扱う道具であり、極限や余極限はその中核にある概念だ。しかし、射の集合を単なる「集合」として捉える通常の圏論の枠組みでは、時にこのモデルが物足りなくなる場面がある。もっと「豊かな」構造を射の間に考えたい——そんなときに登場するのが、豊穣圏（enriched category）だ。
豊穣圏では、射をモノイダル圏の対象として扱うことで、線形性や順序といった追加の構造を取り込むことができる。その中でも「weighted limit（重み付き極限）」は、豊穣圏の枠組みで極限を一般化した概念である。
weighted limitを定義できる豊穣圏論のベースとなるモノイダル圏は、とりわけ行儀の良いものになっている。
この記事では、より一般のモノイダル圏上の豊穣圏に対してweighted limitの定義について紹介し、米田の補題の計算やベースが行儀の良い場合との関係について観ていく。モノイダル圏および豊穣圏の定義をおさらいし、行儀の良いモノイダル圏上の場合のweighted limitを紹介する。

準備

モノイダル圏

まず、モノイダル圏論における基本事項について述べる。

モノイダル圏

圏 $M$ 上のモノイダル構造(monoidal structure over a category $M$ )とは、以下のデータからなる:
(1) テンソル積: 函手 $\otimes : M \times M \to M$ ;
(2) 単位対象: 対象 $I \in M$ ;
(3) 結合子: 自然同型 $α : \otimes \circ (\otimes \times {id}_{M}) \Rightarrow \otimes \circ ({id}_{M} \times \otimes)$ ;
(4) 左単位子: 自然同型 $λ : I \otimes {id}_{M} \Rightarrow {id}_{M}$ ;
(5) 右単位子: 自然同型 $ρ : {id}_{M} \otimes I \Rightarrow {id}_{M}$ ;
これらのデータは、以下の公理を満たす:
(R1) 結合律: $a, b, c, d \in M$ に対して以下の図式が可換となる:

(a \otimes (b \otimes c)) \otimes d α_{a, b \otimes c, d} ((a \otimes b) \otimes c) \otimes d α_{a b c} \otimes d α_{a \otimes b, c, d} (a \otimes b) \otimes (c \otimes d) α_{a, b, c \otimes d} a \otimes ((b \otimes c) \otimes d) id \otimes α_{b c d} a \otimes (b \otimes (c \otimes d))

(R2) 単位律:

a, b \in M

に対して以下の図式が可換となる:

(a \otimes I) \otimes b α_{a, I, b} ρ_{a} \otimes b a \otimes (I \otimes b) a \otimes λ_{b} a \otimes b

これらの組 $(M, \otimes, I, α, λ, ρ)$ をモノイダル圏(monoidal category)といい、 $M$ をこのモノイダル圏の下部圏(underlying category)という。
代表的なモノイダル構造として、圏論的直積をテンソル積とするものがある。このようなモノイダル圏は特にカルテシアン圏(cartesian category)と呼ばれており、以下のような例がある:

1以上の整数全体 $N$ と整数の整除関係 $|$ の組 $(N, |)$ などの、完備束の元とその間の順序関係により定まる圏,
集合とその間の写像のなす圏 $Set$ ,
位相空間とその間の連続写像のなす圏 $Top$
モノイダル圏 $M$ に対して、積 $\otimes_{M}$ を反転して得られるモノイダル圏を $M$ の反転といい、 $M^{rev}$ で表す。
圏 $C$ に対して、 $C$ 上の自己函手のなす圏 $End C : = Func (C, C)$ は、函手の合成をテンソル積とし、恒等函手を単位対象としてモノイダル圏となるため、以後 $End C$ にはこのようなモノイダル構造が備わっているとみなす。

モノイダル函手

モノイダル圏 $M, N$ に対して、 $M$ から $N$ へのlaxモノイダル函手(lax monoidal functor from $M$ to $N$ )とは、以下のデータからなる:
(1) 函手構造: 下部圏の間の函手 $T : M \to N$ ;
(2) 劣加法手: 自然変換 $η : \otimes_{N} \circ (T \times T) \Rightarrow T \circ \otimes_{M}$ ;
(3) 単位手: $N$ の射 $μ : I_{N} \to T (I_{M})$ ;
これらのデータは以下の公理を満たす:
(R1) 結合律: 以下の図式が可換となる:

(T (a) \otimes T (b)) \otimes T (c) α^{N} η_{a b} \otimes T (c) T (a) \otimes (T (b) \otimes T (c)) T (a) \otimes η_{b c} T (a \otimes b) \otimes T (c) η_{a \otimes b, c} T (a) \otimes T (b \otimes c) η_{a, b \otimes c} T ((a \otimes b) \otimes c) T (α^{M}) T (a \otimes (b \otimes c))

(R2) 単位律: 以下の図式が可換となる:

\begin{array}{cc} T (a) \otimes I_{N} T (a) \otimes μ ρ_{N} T (a) \otimes T (I_{M}) η_{a, I_{M}} T (a) T (a \otimes I_{M}) T (ρ_{M}) & I_{N} \otimes T (a) μ \otimes T (a) λ_{N} T (I_{M}) \otimes T (a) η_{I_{M}, a} T (a) T (I_{M} \otimes a) T (λ_{M}) \end{array}

双対的に( $η$ と $μ$ の向きを逆にして)定義される関係をoplaxモノイダル函手(oplax monoidal functor)と呼ぶ。
特に、 $μ$ が自然同型なとき正規モノイダル函手(normal monoidal functor)といい、 $η$ , $μ$ がともに同型なとき強モノイダル函手(strong monoidal functor)、 $η$ , $μ$ がともに恒等なとき厳格モノイダル函手(strict monoidal functor)という。
以後、単にモノイダル函手と言った場合はlaxモノイダル函手を指すものとする。

モノイダル自然変換

モノイダル函手 $F, G : M \to N$ に対して、 $F$ から $G$ へのモノイダル自然変換(monoidal natural transformation from $F$ to $G$ )とは、自然変換 $σ : F \Rightarrow G$ であって以下の図式がそれぞれ可換となる:

\begin{array}{cc} F (a) \otimes F (b) σ_{a} \otimes σ_{b} η_{a b}^{F} G (a) \otimes G (b) η_{a b}^{G} F (a \otimes b) σ_{a \otimes b} G (a \otimes b) & F (I_{M}) σ_{I_{M}} G (I_{M}) I_{N} μ^{F} μ^{G} \end{array}

圏上のモノイダル構造は一意的ではない具体的な例として、可換環 $R$ 上の加群のなす圏 $Mod R$ 上のモノイダル構造として以下の2つが挙げられる。
(1) 加群の直和をテンソル積とし、零加群を単位対象として得られるモノイダル構造
(2) 加群のテンソル積をテンソル積とし、整数からなる加法群 $Z$ を単位対象として得られるモノイダル構造
これらのモノイダル構造は、下部圏が圏同値だがモノイダル圏同値でない例である。

豊穣圏

以下、 $M$ をモノイダル圏する。

豊穣圏

$M$ 上の豊穣圏(category enriched over $M$ )、あるいは単に $M$ -圏( $M$ -category)とは、以下のデータからなる:
(1) 対象の集まり: $Ob A$ ;
(2) 各対象 $a, b \in Ob A$ に対して、 $M$ の対象 $A (a, b)$ ;
(3) 各対象 $a \in Ob A$ に対して、 $M$ の射 ${id}_{a} : I \to A (a, a)$ ;
(4) 各対象 $a, b, c \in Ob A$ に対して、 $M$ の射 $(\otimes_{A})_{a c}^{b} : A (b, c) \otimes A (a, b) \to A (a, c)$ ;
これらのデータは以下の公理をそれぞれ満たす:
(R1) 結合律: 各 $a, b, c, d \in Ob A$ に対して、以下の図式が可換となる:

(A (c, d) \otimes A (b, c)) \otimes A (a, b) α (\otimes_{A})_{b d}^{c} \otimes A (a, b) A (c, d) \otimes (A (b, c) \otimes A (a, b)) A (c, d) \otimes (\otimes_{A})_{a c}^{b} A (b, d) \otimes A (a, b) (\otimes_{A})_{a d}^{b} A (c, d) \otimes A (a, c) (\otimes_{A})_{a d}^{c} A (a, c)

(R2) 単位律: 各

a, b \in Ob A

に対して、以下の図式が可換となる:

\begin{array}{cc} I \otimes A (a, b) λ {id}_{b} \otimes A (a, b) A (a, b) A (b, b) \otimes A (a, b) (\otimes_{A})_{a b}^{b} & A (a, b) \otimes I ρ A (a, b) \otimes {id}_{a} A (a, b) A (a, b) \otimes A (a, a) (\otimes_{A})_{a b}^{a} \end{array}

豊穣圏

A = (Ob A, {hom}_{A} = (A (a, b) : a, b \in Ob A), {id}_{∙}, \otimes_{A})

に対して、

a \in Ob A

を

a \in A

と表すこととする。

特に、 $M$ -圏の対象の集まりが特に集合となるとき、それは小さいといい、小さい $M$ -圏を $M$ -小圏という。
$M$ -圏 $A$ の対象 $a, a^{'} \in A$ に対して、 $M$ の射 $I \to A (a, a^{'})$ を $a$ から $a^{'}$ への射として圏 $A_{0}$ が定義できる。これを $A$ の下部圏と呼ぶこととする。

通常の圏論と同様に定まる $M$ -圏 $A$ の双対圏 $A^{op}$ は、 $M^{rev}$ -圏となる。

豊穣圏の間の函手

$M$ -圏 $A, B$ に対して、 $A$ から $B$ への豊穣函手(enriched functor from $A$ to $B$ )、あるいは単に $M$ -函手( $M$ -functor)とは、以下のデータからなる:
(1) 対象の間の写像: $Ob F : Ob A \to Ob B$ ( $Ob F$ の $a \in A$ における値を $F a$ と表す);
(2) Hom対象の間の射: 各 $a, a^{'} \in A$ に対して、 $M$ の射 $F_{a a^{'}} : A (a, a^{'}) \to B (F a, F a^{'})$ ;
これらのデータは、以下の公理をそれぞれ満たす:
(R1) 合成を保つ: 各 $a, b, c \in A$ に対して、以下の図式が可換となる:

A (b, c) \otimes A (a, b) F_{b c} \otimes F_{a b} (\otimes_{A})_{a c}^{b} B (F b, F c) \otimes B (F a, F b) (\otimes_{B})_{F a, F c}^{F b} A (a, c) F_{a c} B (F a, F c)

(R2) 恒等射を保つ: 各

a \in A

に対して、以下の図式が可換となる:

I {id}_{a} {id}_{F a} A (a, a) F_{a a} B (F a, F a)

モノイダル圏(特にカルテシアン圏)の例として紹介した集合の圏 $Set$ だが、 $Set$ 上の豊穣圏とは局所小圏のことであり、 $Set$ -函手とは通常の圏の間の函手の定義に一致する。

豊穣函手の間の自然変換

$A$ , $B$ を $M$ -圏、 $F, G : A \to B$ を $M$ -函手とする。
このとき、 $F$ から $G$ への豊穣自然変換(enriched natural transformation from $F$ to $G$ )、あるいは単に $M$ -自然変換 $θ : F \Rightarrow G$ とは、 $M$ の射の族 $(I \overset{θ_{a}}{\to} B (F a, G a))_{a \in A}$ であって、次の図式が可換となる:

I \otimes A (a, b) λ^{- 1} θ_{b} \otimes F_{a b} B (F b, G b) \otimes B (F a, F b) c o m p . A (a, b) ρ^{- 1} B (F a, G b) c o m p . A (a, b) \otimes I G_{a b} \otimes θ_{a} B (G a, G b) \otimes B (F a, G a)

$M$ -圏 $A$ から $B$ への $M$ -函手とその間の $M$ -自然変換のなす圏を、 ${Func}_{M} (A, B)$ で表す。
特に、ベースとなるモノイダル圏が文脈から明らかな場合は、 $Func (A, B)$ と略記する。

weighted limitについて

アイディア

通常の圏論における極限･余極限は、対角函手の左随伴および右随伴として特徴づけられるが、一般のモノイダル圏上の豊穣圏論では、対角函手が標準的に定義できないため、別の定義を採用する必要がある。
ここで、通常の圏論における図式 $F : J \to C$ の極限 $lim F$ は同型

\begin{aligned} C (-, lim F) & ≅ lim C (-, F) \\ ≅ Set (pt, lim C (-, F)) \\ ≅ [J, Set] (Δ pt, C (-, F)) \end{aligned}

により、函手

[J, Set] (Δ pt, C (-, F))

の表現として特徴付けれるため、

Δ pt : J \to Set

を一般の函手

W : J \to Set

とすることで、

Set

における

F

の

W

で重み付けられたweighted limitは、函手

[J, Set] (W, C (-, F))

の表現として定義できる。
これを一般のモノイダル圏

M

上で定義するために、次の課題を解決する必要がある:

函手 $W : J \to M$ とは? ( $M$ は一般に $M$ -圏でないため、先の $M$ -函手の定義は使えない)
函手圏 $[J, M]$ をどう定義すれば、適切に $[J, M] (W, C (-, F))$ の表現を考えられるか?

これらは、 $M$ を完備かつ余完備な対称閉モノイダル圏(complete and cocomplete closed symmetric monoidal category)とすれば解決する。

完備かつ余完備な対称閉モノイダル圏上でのweighted limit

モノイダル圏 $M$ が対称閉であるとは、 $a, b \in M$ について自然な同型 $β_{a, b} : a \otimes b \to b \otimes a$ と、函手 $[-, -] : M^{op} \times M \to M$ が備わっており、以下の公理をそれぞれ満たす:
(R1) $β_{b, a} \circ β_{a, b} = {id}_{a \otimes b}$ ;
(R2) 以下の図式が可換となる:

(a \otimes b) \otimes c β_{a b} \otimes c α_{a b c} (b \otimes a) \otimes c α_{b a c} b \otimes (a \otimes c) b \otimes β_{a c} a \otimes (b \otimes c) β_{a, b \otimes c} (b \otimes c) \otimes a α_{b c a} b \otimes (c \otimes a)

(R3) 任意の

v \in M

に対して随伴

- \otimes v ⊣ [v, -]

が成り立つ。
以後、

M

を完備かつ余完備な対称閉モノイダル圏とする。

[-, -] : M^{op} \times M \to M

をHom函手として、

M 自 身 が M

-圏となるため、以後これらは区別しないものとする。
通常の函手

C \to D

の函手圏

Func (C, D)

のEndによる特徴づけ

Func (C, D) (F, G) ≅ \int_{c \in C} D (F c, G c)

と同様に、豊穣函手

F, G : A \to B

に対して

[A, B] (F, G) : = \int_{a \in A} B (F a, G a)

として

[A, B]

を定義することで、

[A, B]

は豊穣圏となる。
これらから、

M

-圏におけるweighted limitは、次のように定義される。

$M$ -函手 $F : J \to A$ に対して、 $F$ の $W : J \to M$ で重み付けられた極限(weighted limit over $F$ with $W$ )を、 $M$ -函手 $[J, M] (W, A (-, F)) : A^{op} \to M$ の表現として定義する。
すなわち、 $a \in A$ について自然な同型

A (a, \lim^{W} F) ≅ [J, M] (W, A (a, F))

が成り立つような対象

\lim^{W} F

のことである。
双対的に、 $F$ の $W : J^{op} \to M$ で重み付けられた余極限(weighted colimit over $F$ with $W$ )を、

M

-函手

[J^{op}, M] (W, A (F, -)) : A \to M

の表現として定義する。
すなわち、

a \in A

について自然な同型

A ({colim}^{W} F, a) ≅ [J^{op}, M] (W, A (F, a))

が成り立つような対象

{colim}^{W} F

のことである。

Kan拡張

極限を用いた、各点右Kan拡張の具体的な結果について紹介する。

Kan拡張

$J$ , $K$ , $L$ を $M$ -圏とし、 $F : J \to K$ , $E : J \to L$ を $M$ -函手とする。 $F$ に沿った $E$ の左Kan拡張(left Kan extension of $E$ along $F$ )とは、 $M$ -函手 $F^{†} E : K \to L$ と $M$ -自然変換 $η : E \Rightarrow (F^{†} E) \circ F$ の組 $(F^{†} E, η)$ であって、以下の普遍性を満たすものである:

$M$ -函手 $G : K \to L$ と $M$ -自然変換 $θ : E \Rightarrow G \circ F$ の組 $(G, θ)$ に対して、一意的な $M$ -自然変換 $τ : F^{†} E \Rightarrow G$ が存在して、 $θ = τ_{F} \circ η$ と分解できる。
他方、 $F$ に沿った $E$ の右Kan拡張(right Kan extension $E$ along $F$ )とは、 $M$ -函手 $F^{‡} E : K \to L$ と $M$ -自然変換 $ε : (F^{‡} E) \circ F \Rightarrow E$ の組 $(F^{‡} E, ε)$ であって、以下の普遍性を満たすものである:
$M$ -函手 $G : K \to L$ と $M$ -自然変換 $θ : G \circ F \Rightarrow E$ の組 $(G, θ)$ に対して、一意的な $M$ -自然変換 $σ : G \Rightarrow F^{‡} E$ が存在して、 $θ = ε \circ σ_{F}$ と分解できる。

通常の圏論であれば、函手 $D \overset{F}{\leftarrow} C \overset{E}{\to} U$ について、 $C$ が小圏かつ $U$ が余完備なとき、左Kan拡張 $F^{†} E$ は各 $d \in D$ ごとに以下のように計算できる:

(F^{†} E) (d) ≅ \underset{F c \to d \in (F / d)}{colim} E c

すなわち、

d \in D

と

u \in U

について自然な同型

\begin{aligned} U ((F^{†} E) (d), u) & ≅ Hom ((F / d) \overset{proj .}{\to} C \overset{E}{\to} U, Δ u) \\ ≅ Hom (D (F -, d), U (E -, u)) \end{aligned}

が成り立つ。
他方、

C

が小圏かつ

D

が完備なとき、右Kan拡張

F^{‡} E

は各

d \in D

ごとに以下のように計算できる:

(F^{‡} E) (d) ≅ lim_{d \to F c \in (d / F)} E c

すなわち、

d \in D

と

u \in U

について自然な同型

\begin{aligned} U (u, (F^{‡} E) (d)) & ≅ Hom (Δ u, (d / F) \overset{proj .}{\to} C \overset{E}{\to} U) \\ ≅ Hom (D (d, F -), U (u, E -)) \end{aligned}

が成り立つ。
これらは各点Kan拡張と呼ばれる計算について、一般の豊穣圏においても、先に定義したweighted limitおよびweighted colimitにより、次のように計算できる:

$M$ -函手 $F : C \to D$ , $E : C \to V$ に対して、各点左Kan拡張 $F^{†} E$ の定義より、 $v \in V$ について自然な同型

V (F^{†} E (d), v) ≅ [C^{op}, M] (D (F, d), V (E, v))

が成り立つため、

F^{†} E (d) ≅ {colim}^{D (F, d)} E

である。
これは、

d \in D

について自然な同型であるため、余極限の存在性と各点左Kan拡張の存在性は同値である。

投稿日：2024年12月18日

更新日：2024年12月26日

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桜武

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普段は、ITエンジニアとして働いています。面白そうなガジェットやジャンクを買っては改造したり修理したりして遊んでいます。解析的整数論 / 高次圏論 / 豊穣圏論

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